ऊपरी सीमा को साबित करके निचली सीमा को साबित करना

Question

रेयान विलियम्स की हालिया सफलता सर्किट जटिलता कम-बाउंड परिणाम एक प्रमाण तकनीक प्रदान करती है जो जटिलता को कम करने के लिए ऊपरी-बाउंड परिणाम का उपयोग करती है। सुरेश वेंकट इस सवाल के जवाब में, क्या सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में कोई प्रति-सहज परिणाम हैं? , ऊपरी सीमाओं को साबित करके निचली सीमा की स्थापना के दो उदाहरण प्रदान किए।

• जटिलता निचले-सीमा को साबित करने के लिए अन्य दिलचस्प परिणाम क्या हैं जो जटिलता ऊपरी सीमा साबित करके प्राप्त की गई थीं?

• $NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

Comments

क्या यह सीडब्ल्यू होना चाहिए?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

मुझे यह पसंद है (जैसा कि सीडब्ल्यू नहीं है), लेकिन मेरा मानना ​​है कि यह एक है [soft-question]।

— एमएस डौस्टी

@Sadeq: ऐसा मत सोचो कि यह एक नरम सवाल है, यह स्पष्ट जवाब देने के लिए पर्याप्त सटीक है।

— केवह

मेयर का परिणाम सुरेश ने बताया कि EXP के लिए बहुपद सर्किट का अस्तित्व P \ ne NP$EXP$ साबित होगा । $P \ne NP$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

Answer 1

कोई भी सवाल को घुमा सकता है और पूछ सकता है कि ऊपरी सीमा साबित करने से क्या निचली सीमाएं साबित नहीं होती हैं। लगभग सभी संचार जटिलता कम सीमाएँ (और स्ट्रीमिंग एल्गोरिथम कम बाध्य और डेटा संरचना कम सीमाएँ जो संचार जटिलता तर्क पर निर्भर करती हैं) यह दर्शाने से सिद्ध होती हैं कि संचार प्रोटोकॉल को एन्कोडिंग योजना में बदल दिया जा सकता है, जो एन्कोडिंग की लंबाई पर निर्भर करता है। प्रोटोकॉल की संचार जटिलता, और प्रोटोकॉल के लिए निचली सीमा इस तथ्य से है कि आप n-1 बिट्स या कम का उपयोग करके सभी n बिट संदेशों को एन्कोड नहीं कर सकते।

रेज़बोरोव-स्मोलेंस्की सर्किट लोअर बाउंड्स काम करते हैं जो यह दिखाते हैं कि कैसे कम-डिग्री पॉलिनेरियल्स द्वारा बाउंड-डेप्थ सर्किट का अनुकरण किया जाए।

निचले सीमा के उम्मीदवारों के एक जोड़े को ऊपरी सीमा के साथ साबित नहीं किया जा सकता है समय पदानुक्रम प्रमेय हो सकता है (हालांकि, सबसे तंग सीमा पाने के लिए, एक कुशल सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन की आवश्यकता होती है, जो एक गैर-तुच्छ एल्गोरिथम कार्य और प्रमाण है AC0 के निचले हिस्से में स्विचिंग लेम्मा का उपयोग किया जाता है (लेकिन स्विचिंग लेम्मा का सबसे साफ प्रमाण एक गिनती / अपूर्णता / कोलमोगोरोव-जटिलता का उपयोग करता है)

Comments

दिलचस्प है, यह संचार जटिलता कम सीमा का एक बड़ा सारांश है! एक और (विषम?) उम्मीदवार: लडनेर का प्रमेय / विकर्ण। सीमा, निश्चित रूप से, निर्दिष्ट नहीं है (और न ही समस्या (ओं)!), लेकिन यह कुछ समस्या के लिए बाध्य सुपरपोलिनोमियल लोअर दिखाता है। बेशक, यह P एनपी को मानता है , जो एक ऊपरी बाध्यता, एक ला जीसीटी के साथ अवधारणा को साबित कर सकता है ...$\ne$

— डैनियल अपॉन

Answer 2

एक अजीब तरीके से, पीसीपी प्रमेय ही एक ऊपरी सीमा के माध्यम से एक निचली सीमा को साबित करने का एक अच्छा उदाहरण है। प्रमाण की निरंतर संख्या का उपयोग करके एक प्रमाण की पुष्टि करने के लिए एक "कुशल" यादृच्छिक रणनीति और केवल यादृच्छिक बिट्स 3SAT के उदाहरण में संतुष्ट खंडों की संख्या को अनुमानित करने के लिए कम बाध्य होती है।$\log n$

Comments

यदि आप एनपी-कठोरता (एक वर्ग से अलग होने के विपरीत) को कम सीमा के रूप में गिनते हैं, तो आपको पीसीपी प्रमेय की आवश्यकता नहीं है; कटौती कुशल एल्गोरिदम हैं जो साबित करते हैं कि कुछ समस्याएं कठिन हैं।

— त्सुयोशी इतो

यह एक अच्छी बात है, त्सुओशी। हालांकि, एनपी-कठोरता में कमी "प्रत्यक्ष" है। दिखाएँ कि अज्ञात समस्या को हल करना एक ज्ञात कठिन समस्या को हल करता है। यहाँ दिए गए कुछ उदाहरण अधिक अप्रत्यक्ष हैं। लेकिन यह निश्चित रूप से व्यक्तिपरक है।

— सुरेश वेंकट

PCP प्रमेय का बहुत कथन गैप -3 SAT की NP-पूर्णता है। इसके अलावा, मुझे नहीं पता कि पीसीपी प्रमेय अप्रत्यक्ष होने का दावा करने से आपका क्या मतलब है। यह सच है कि पीसीपी प्रमेय को एनपी-पूर्णता परिणामों के बीच सबसे जटिल सबूतों में से एक की आवश्यकता होती है, लेकिन क्या यह अच्छी बात है?

— त्सुयोशी इतो

सुरेश, क्या आप यहां एक नए उत्तर के रूप में पोस्ट कर सकते हैं, दो उदाहरणों का एक विस्तारित संस्करण जो आपने दूसरे प्रश्न के उत्तर में दिया था (मेयर का परिणाम और जीसीटी)?

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

किसी भी कारण से? मुझे ऐसा करने में कोई समस्या नहीं है, लेकिन क्या यह आवश्यक है क्योंकि आप इसे प्रश्न में उद्धृत करते हैं?

— सुरेश वेंकट

Answer 3

अपूर्णता विधि कम सीमा को साबित करने के लिए कोलमोगोरोव जटिलता पर आधारित एक विधि है। इस विधि के पहले आवेदन में से एक यह साबित करना था कि ट्यूरिंग मशीन पर एक टेप के साथ पलिंड्रोम को पहचानने के लिए द्विघात समय की आवश्यकता होती है।

धीरे-धीरे बोलना, इस पद्धति का विचार एक इनपुट का पता लगाने के लिए एक प्रक्रिया का वर्णन करना है जो कि इस इनपुट पर विचार करने वाली समस्या को हल करने वाले एल्गोरिथ्म के उपयोग में निहित जानकारी का उपयोग करता है। बेहतर प्रक्रिया है, उच्च मूल समस्या पर कम बाध्य है।

बेशक, पूर्ण विवरण ली और विटनी की पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है ।

Answer 4

"ऊपरी बाउंड के माध्यम से निचली सीमा" प्रश्न के लिए आपने पूछा:

एसटीओसी 2010 का पेपर "इंटरएक्टिव कम्युनिकेशन को कैसे कम करें" [BBCR10] इंटरैक्टिव संचार के लिए एक बेहतर संपीड़न प्रोटोकॉल का प्रदर्शन करके यादृच्छिक संचार जटिलता के लिए एक बेहतर प्रत्यक्ष योग प्रमेय पर आता है।

विशेष रूप से, दो पक्षों के अपने आपसी आदानों की कुछ संयुक्त समारोह (यानी एक इंटरैक्टिव गणना परिदृश्य) कंप्यूटिंग को देखते हुए वे बताते हैं कि किसी भी प्रोटोकॉल है कि संचार बिट और पता चलता है शामिल का उपयोग कर एक नए प्रोटोकॉल से प्रेरित किया जा सकता है पार्टियों को नई जानकारी के बिट्स बिट्स - बेहतर ऊपरी सीमा।मैं ~ हे ( $C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

इस सुधार प्रोटोकॉल संपीड़न का एक परिणाम के रूप में, वे बताते हैं कि सबसे खराब स्थिति में: को देखते हुए किसी भी समारोह कि लेता है समय अलग-अलग गणना करने के लिए, कंप्यूटिंग की प्रतियां की आवश्यकता कम से कम समय - सुधार निम्न परिबंध।n k f $f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

Answer 5

यह किसी भी तरह से अलग है जो आपने पूछा था, लेकिन चूंकि यह संबंधित है, मैंने सोचा कि मैं इसका उल्लेख कर सकता हूं।

कार्टर एंड वीगमैन (1977) ने सार्वभौमिक हैशिंग की धारणा शुरू की । इस धारणा का उपयोग कई पत्र ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985) , और Goldwasser & Sipser (1986 ) में किया गया था, जो लगभग निचले सीमा को सिद्ध करता है ।

यह 1987 तक था, जिसमें फोर्टवे ने लगभग ऊपरी सीमा को साबित करने के लिए सार्वभौमिक हैशिंग का उपयोग किया था । (वास्तव में, लगभग ऊपरी सीमा साबित करने के लिए एक प्रोटोकॉल प्रदान करना।)

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संपादित करें:

ये निम्न-बाध्य परिणाम नहीं हैं, लेकिन वे वैसे भी उपयोगी हो सकते हैं:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

Answer 6

मुझे डिक लिपटन के ब्लॉग, एन अप्रोच टू पी = एनपी के माध्यम से एक अच्छा उदाहरण मिला वर्णनात्मक जटिलता के माध्यम से , वह एक ऊपरी बाध्य अनुमान (हाइपोथीसिस एच) का प्रस्ताव करता है जो कि ।$P\ne NP$

परिकल्पना H : मान लीजिए कि हॉर्न क्लाज हैं । यदि वे संतोषजनक हैं, तो खंडों के विवरण जटिलता में अधिकांश बहुपद में विवरण जटिलता के साथ खंड के लिए एक मान्य असाइनमेंट है।C 1 ∧ ⋯ ∧ C $C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

प्रमेय : मान लीजिए कि परिकल्पना H सत्य है। फिर,$P \ne NP$

Answer 7

यहाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता से एक उदाहरण है: अरोरा और बराक द्वारा एक आधुनिक दृष्टिकोण (पृष्ठ 128):

यदि की हर भाषा में आकार सर्किट हैं तोओ ( 2 n / n ) पी ≠ एन $EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$