किस हद तक, कठिन कार्यों के लिए कम्प्यूटेशनल क्षमता आसान कार्यों को हल करने में मदद करती है

संक्षेप में, सवाल यह है: किस हद तक, कठिन कार्यों के लिए कम्प्यूटेशनल क्षमता वास्तव में आसान कार्यों को हल करने में आपकी मदद करती है। (इस प्रश्न को रोचक और गैर-तुच्छ बनाने के लिए कई तरीके हो सकते हैं, और यहाँ एक ऐसा प्रयास है।)

प्रश्न 1:

एनटी चर के साथ एक सूत्र के लिए सैट को हल करने के लिए एक सर्किट पर विचार करें। (या किनारों वाले ग्राफ के लिए हैमिल्टनियन चक्र खोजने के लिए ।) $n$

मान लीजिए कि हर गेट चर पर एक मनमाना बूलियन फ़ंक्शन की गणना की अनुमति देता है । संक्षिप्तता के लिए आइए । $m$ $m=0.6 n$

मजबूत घातीय समय परिकल्पना (SETH) का दावा है कि इस तरह के मजबूत फाटकों के साथ भी हमें सुपरपोलिनोमिक सर्किट आकार की आवश्यकता होती है। वास्तव में, हमें हर लिए कम से कमएक अर्थ में, बहुत जटिल बूलियन कार्यों (एनपी-पूर्णता से परे) का प्रतिनिधित्व करने वाले चरों के अंश पर फाटक आपको बहुत लाभ नहीं देते हैं। $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

हम आगे पूछ सकते हैं:

(i) क्या हमारे पास आकार का ऐसा सर्किट हो सकता है ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

एक "नहीं" उत्तर SETH का एक विशाल सुदृढ़ीकरण होगा। बेशक, शायद एक आसान "हां" जवाब है, जो मुझे बस याद है।

(ii) यदि (i) का उत्तर हां है, तो गेट्स की गणना करें जो बूलियन कार्यों की गणना करते हैं, गेट्स की तुलना में कुछ फायदे देते हैं जो एनपी कार्यों की "बस" गणना (कहते हैं) करते हैं; या केवल सैट के छोटे उदाहरण?

अगला प्रश्न में प्रश्नों के लिए कुछ समान पूछने का प्रयास करता है । $P$

प्रश्न 2:

जैसा कि पहले और । ( अन्य मूल्य जैसे कि भी रुचि के हैं।) निम्नलिखित प्रकार के सर्किटों पर विचार करें: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

क) एक चरण में आप चर पर एक मनमाना बूलियन फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं । $m$

बी) एक चरण में आप चर के साथ एक सैट समस्याओं को हल कर सकते हैं । या शायद चर में बहुपद आकार का एक मनमाना nondeterministic सर्किट । $m$ $m$

ग) एक चरण में आप आकार ( तय है) के चर पर एक मनमाना सर्किट प्रदर्शन कर सकते हैं । $m$ $m^d$ $d$

d) एक कदम में आप साधारण बूलियन गेट प्रदर्शन कर सकते हैं।

आइए हम किनारों के साथ एक ग्राफ के लिए एक आदर्श मिलान के प्रश्न पर विचार करें । मिलान में एक बहुपद आकार का सर्किट होता है। सवाल यह है कि अगर इस तरह के मिलान एल्गोरिथ्म में घातांक में सुधार किया जा सकता है जब आप टाइप d के सर्किट से चलते हैं) टाइप c के सर्किट से), और आकार c के सर्किट से) आकार b के सर्किट से), और आकार b के सर्किट से ) आकार के सर्किट ए)। $n$

(यह समानांतर गणना के बारे में या oracles के बारे में अच्छी तरह से ज्ञात मुद्दों से संबंधित हो सकता है।)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— गिल कलाई
स्रोत

वास्तव में स्ट्रॉन्ग ईटीएच इतना मजबूत नहीं है: यह सिर्फ यह कहता है कि आपके पास एक समान एल्गोरिथ्म नहीं चल सकता है जो समय में SAT के लिए साथ है , सभी । चर के छोटे सेटों पर मनमाने बूलियन कार्यों की अनुमति आपको गैर-वर्दी सर्किट भूमि में डालती है। "नॉनफ़ॉर्म वर्दी" एक दिलचस्प संस्करण है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि इसका अभी तक अध्ययन नहीं किया गया है।

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— रयान विलियम्स

प्रिय रेयान, ठीक है, मैं गैर-वर्दी मामले पर विचार करने के लिए अधिक सहज महसूस करता हूं। प्रश्न 1 का कोई उत्तर नॉनफोर्मेट SETH का एक विशाल सुदृढ़ीकरण होगा। (मुझे लगता है कि गैर-वर्दी SETH SETH की मजबूती के रूप में है, लेकिन शायद मैं गलत था।) संभवतः आप एक समान एल्गोरिदम के लिए प्रश्न 1 और 2 में सुधार कर सकते हैं। किसी भी स्थिति में शायद एसईटीएच और गैर-वर्दी एसईटीएच के ऐसे मजबूत संस्करणों के साथ एक काउंटरएक्सप्लिमेंट्री ढूंढना संभव होगा।

— गिल कलाई

मुझे लगता है कि आप इस बारे में सावधान रहना चाहते हैं कि क्या है: SETH में यह चर की संख्या को दर्शाता है, ऊपर में यह इनपुट लंबाई को दर्शाता है। अगर आप ऐसे गेट्स की अनुमति देते हैं जो "SAT on वैरिएबल इंस्टेंस पर गणना कर सकते हैं" तो वेरिएबल SAT के लिए एक गहराई -2 साइज सर्किट प्राप्त करना तुच्छ है : वैरिएबल्स के लिए सभी संभावित असाइनमेंट्स पर एक या अधिक ले लो। शेष चर पर SAT को हल करने के लिए अपने SAT गेट्स का उपयोग करें । लेकिन यह शायद वह नहीं है जो आप खोज रहे हैं .... क्या यह है?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— रयान विलियम्स

इसकी गणना करके आप के बारे में गणना करने के लिए सक्षम होना चाहिए आकार के इस तरह के सर्किट के साथ काम करता है इसलिए मुझे लगता है कि चाहते हैं सभी कार्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए। $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— बोअज बराक
स्रोत

हाय, @Boaz बराक। यदि आप इस साइट पर आपके दो खातों को मिला दें तो क्या आप बुरा मानेंगे?

— लेव Reyzin

धन्यवाद बोअज़। मुझे लगता है कि प्रश्न की भावना यह है: यदि आप सभी फ़ंक्शन की गणना करने के लिए जो आवश्यक है, उससे नीचे जाते हैं, तो आप अभी भी एक एनपी पूर्ण फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं।

— गिल कलाई