प्रतिलिपि भाषा की राज्य जटिलता क्या है?

एक नंबर दिया जाए। निम्नलिखित भाषा पर विचार करें $n$ । $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

शब्दों में, लंबाई के कॉपी स्ट्रिंग का सेट है । $L_n$ $2n$

पर विचार करें निम्नलिखित राज्य जटिलता समारोह ऐसी है कि सबसे छोटी पुशडाउन ऑटोमेटा में राज्यों की संख्या कि पहचानता है । $s$ $s(n)$ $L_n$

प्रश्न: क्या आप औपचारिक रूप से लिए किसी सार्थक निचली सीमा को सिद्ध कर सकते हैं ? $s(n)$

मेरा अनुमान: । $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

ज्ञात Upperbound: । $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

नियम:

(1) स्टैक वर्णमाला बाइनरी होनी चाहिए।

(2) इनपुट टेप एक तरफ़ा है और किसी भी इनपुट कैरेक्टर पर नहीं रुक सकता है।

— माइकल वेहर
स्रोत

वर्तमान में मेरे पास कोई सार्थक निम्न सीमा नहीं है। ऐसा लगता है कि आप सीएफजी के लिए आवश्यक चर की संख्या के लिए कम बाध्य साबित हो सकते हैं जो भाषा को पहचानते हैं। हालाँकि, मैं इस बारे में पूरी तरह आश्वस्त नहीं हूँ।

— माइकल वीहर

मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि जैसे आप इनपुट टेप से पात्रों को स्टैक में धकेलते हैं, आप एक समस्या में भाग लेते हैं। यदि आप कभी इन बिट्स को बाद में प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको उन सभी बिट्स को दूर करना होगा जिन्हें आपने इसके ऊपर धकेल दिया था। दूसरे शब्दों में, ऐसा प्रतीत होता है कि स्टैक आपकी मदद नहीं करता है क्योंकि जितना अधिक आप इसे धक्का देते हैं, उतना ही आप बाद में भूलने के लिए मजबूर होते हैं।

— माइकल वीहर

टिप्पणी: डीएफए के लिए (एक स्टैक के बिना ऑटोमेटा), आप एक घातीय राज्य जटिलता कम बाध्य साबित कर सकते हैं।

— माइकल वीहर

क्या आप

की सरल समस्या के लिए एक उचित निचली सीमा दिखा सकते हैं ?

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— आंद्र सलाम जूल

एक अधिक सटीक ऊपरी सीमा लगती है

अवस्था।

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— आंद्र सलाम जूल

युवल द्वारा वर्णित तकनीक:

क्या वहाँ बहुपद आकार CFG मौजूद है जो इस परिमित भाषा का वर्णन करता है?

(आप यह भी पढ़ सकते हैं: विशिष्ट परिमित भाषाओं के लिए CFG के आकार पर निम्न सीमाएँ )

बहुत आसानी से सीएफजी के लिए एक घातीय कम बाध्य दिखाने की अनुमति देता है। लिए चॉम्स्की नॉर्मल फॉर्म में व्याकरण दें । हर शब्द के लिए वहाँ कम से कम एक गैर टर्मिनल मौजूद है को स्वीकार करने के लिए एक subword की के बीच लंबाई वाले और । चलो में एक पद होना $G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ जहां यह सब-वे होता है। वहाँ कम से कम कर रहे हैं सभी शब्दों को बिट्स आम ऐसी है कि और । नतीजतन, अधिकांश शब्द हो सकते हैं जिनमें समान और । इसलिए कम से कम $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ गैर टर्मिनलों। $2^{\Theta(n)}$

इसके अलावा, पीडीए एक CFG में CNF में, बहुपद आकार की परिवर्तित किया जा सकता तो यह भी देता है के राज्य जटिलता पर बाध्य । $2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— जोसेफ स्टैक
स्रोत

बहुत बढ़िया, फिर से धन्यवाद! मैं अब देखता हूं और पुष्टि करने के लिए इसके बारे में सोचूंगा। :)

— माइकल वीहर

फिर से:

से

तक बदलती लंबाई ने एक और मुद्दा पेश किया। मुझे युवल्स (काउंटिंग ओवरलैप्स) के समान तर्क को परिष्कृत करना था। अब मेरा मानना है कि यह सही है, अंत में। मैंने उत्तर संपादित किया और अपनी टिप्पणियों को हटा दिया

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

— जोसेफ स्टैक

मामले में यह किसी और में मदद करता है: ध्यान दें कि एक बार

चुना गया है,

ही कभी के एकल subword उपज कर सकते हैं

उस स्थिति में शुरू होता है

। तो यह वास्तव में दिखाता है कि इस भाषा के लिए किसी भी सही सीएनएफ-सीएफजी में कई गैर-मध्यस्थ होने चाहिए जो प्रत्येक एक लंबे समय तक उप-उत्पन्न करते हैं।

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

— एंड्रस सलामन

भी प्रमेय 7 देखें मेरी अखबार में: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf ।

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus यह भी ध्यान देने योग्य है कि एंड्रास ने ऊपरी और निचले सीमा को मिलाने की कोशिश में बहुत समय बिताया। मेरे मित्र पेपे और मैंने परिमित भाषाओं के एक सामान्य वर्ग को परिभाषित किया और उन्हें तकनीक लागू की। हमने हालांकि कभी कुछ नहीं लिखा। यदि आपको कभी भी कोई समस्या है, तो हम सहयोग करने के लिए तैयार हैं। एक बार फिर धन्यवाद।

— माइकल वीहर