पूर्णांक की मिंकोव्स्की राशि में गवाह का पता लगाना

Question

और को सबसेट होने दें । हम मिन्कोवस्की राशि खोजने में रुचि रखते हैं ।$A$$B$$\{0,\ldots,n\}$$A+B=\{a+b~|~a\in A,b\in B\}$

$\chi_X:\{0,\ldots,2n\}\to \{0,1\}$ , का एक विशिष्ट कार्य है अगर$X$

$$\chi_X(x) = \begin{cases} 1 \text{ if } x\in X\\ 0 \text{ otherwise}\end{cases}$$

चलो के असतत घुमाव हो और , तो यदि और केवल यदि । इसलिए को एफएफटी के माध्यम से असतत सजा द्वारा समय में गणना की जा सकती है ।$f$$\chi_A$$\chi_B$$x\in A+B$$f(x)> 0$$A+B$$O(n\log n)$

कभी-कभी वास्तविक जोड़ी और पता लगाना महत्वपूर्ण होता है जो कि । एक कहा जाता है गवाह की वहाँ मौजूद हैं, ऐसी है कि । एक समारोह एक कहा जाता है गवाह समारोह अगर के एक गवाह है ।$a\in A$$b\in B$$x$$a\in A$$x$$b\in B$$a+b=x$$w:A+B\to A$$w(x)$$x$

क्या समय में एक गवाह समारोह की गणना करना संभव है ?$O(n\log n)$

Comments

$O( n polylog n )$ विशेष रूप से कठिन नहीं है।

— सरीएल हर-पेलेड

आप बाइनरी खोज का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, को दो मोटे तौर पर समान आकार के सेट और और गणना करें ; जाँच करें कि कौन सा में है; और फिर से आना। यह आपको जैसा कुछ मिलेगा । $A$$A_L,A_R$$A_L+B$$A_R+B$$x$$O(n \lg^2 n)$

— DW

@ डीडब्ल्यू यह केवल एक लिए एक गवाह मिल सकता है , लेकिन हम में प्रत्येक तत्व के लिए एक गवाह चाहते हैं । (मेरा शब्द स्पष्ट नहीं लगता है, इसलिए मैंने सिर्फ सवाल अपडेट किया है)एक्स ए + $x$$A+B$

— चाओ जू जू

लेकिन क्या आप O (n polylog n) समाधान में रुचि रखते हैं?

— सरील हर-पेलेड

@ SarielHar-Peled हाँ, मैं नियतात्मक एल्गोरिथ्म में भी दिलचस्पी रखता हूँ । $O(n polylog n)$

— चाओ जू जू

Answer 1

यहाँ मैं प्राप्त करने का तरीका बताने रहा $O(n *\mathrm{polylog} n)$ समय चल रहा बेतरतीब। हमें टिप्पणियों का एक क्रम चाहिए:

1. मान का एक गवाह में संख्याओं _ की एक जोड़ी है जैसे कि । चलो और तुलनात्मक रूप से परिभाषित किया जा। गौर करें कि के गुणांक में गवाहों की संख्या वहाँ मूल्य के लिए कर रहे हैं ।$v$$(a,b) \in A \times B$$a+b=v$$P_A(x) = \sum_{i \in A} x^i$$P_B(x)$$x^v$$P_A(x) * P_B(x)$$v$

2. मान लें एक भी गवाह है , और बहुपद पर विचार । जाहिर है, के गुणांक में है , और इस तरह के रूप में हम अब जोड़ी पता और हम किया जाता है।$v$$(a,b) \in A \times B$$Q_A(x) = \sum_{i \in A} i*x^i$$x^v$$Q_A(x)*P_B(x)$$a$$(a,v-a)$

3. इसलिए, हम इस मामले के साथ हैं कि एक एकल गवाह है। तो इस बात पर विचार करें कि में गवाह । आइए । उस निरीक्षण करें । इसके बाद, , , के लिए यादृच्छिक नमूने हों, जैसे कि का प्रत्येक तत्व प्रायिकता में चुना गया है। । संभावना है कि का में एक भी साक्षी हैv कश्मीर ( एक 1 , बी 1 ) , ... , ( एक कश्मीर , ख कश्मीर ) मैं ( कश्मीर ) = ⌈ एलजी $v$$k$$(a_1, b_1),\ldots, (a_k,b_k)$कश्मीर ⌉2मैं(कश्मीर)-1≤$i(k) = \lceil{\lg \sqrt{k}}\rceil$कश्मीर ≤2 मैं ( कश्मीर ) आरजे=(एजे,बीजे)j=1,...,मीटरमीटर=हे(लॉग इन करेंn)एकएकमैंपी=1/2 मैं ( कश्मीर ) वीआरजेα= ($2^{i(k)-1} \leq \sqrt{k} \leq 2^{i(k)}$$R_j = (A_j, B_j)$$j=1,\ldots, m$$m=O(\log n)$$A$$A_i$$p = 1/2^{i(k)}$$v$$R_j$$\alpha = \binom{k}{1}p^2 (1-p^2)^{k-1}$, क्योंकि साक्षी संख्याओं के जोड़े के विच्छेद हैं (क्योंकि प्रत्येक जोड़ी का योग )। यह सत्यापित करने के लिए आसान है में एक स्थिर है के मूल्य का स्वतंत्र । इस प्रकार, यह उच्च संभावना के साथ होना चाहिए, कि में नमूने में से एक में एकल गवाह है । जैसे, इस तरह के नमूने के साथ जुड़े दो बहुपद का आकलन करके, जैसा कि ऊपर वर्णित है, एफएफटी का उपयोग करके समय (प्रति नमूना) में, हम इसे निरंतर समय में तय कर सकते हैं।v α ( 0 , 1 ) k v R 1 , … , R m O ( n log n $v$$\alpha$$(0,1)$$k$$v$$R_1, \ldots, R_{m}$$O(n \log n)$

4. हम लगभग कर चुके हैं। प्रस्तावों लिए उपरोक्त यादृच्छिक नमूनों की गणना करें । इस तरह के प्रत्येक संकल्प के लिए यादृच्छिक नमूने और संबंधित बहुपद की गणना करें। इसके अलावा, और लिए संबंधित बहुपद की गणना करें । यह प्रीप्रोसेसिंग भोलेपन से लेता है , लेकिन मुझे संदेह है कि थोड़ा और अधिक सावधान रहना a कारक को हटाने योग्य होना चाहिए।मैं = 1 , ... , ⌈ एलजी n ⌉ एक बी ओ ( n लॉग ऑन 3 n ) लॉग $i=1,\ldots, \lceil\lg n\rceil$$A$$B$$O(n \log^3 n)$$\log n$

5. एल्गोरिथ्म: प्रत्येक मान , कितने गवाह की गणना करें, कहे कि, यह बहुपद से परामर्श करके निरंतर समय में है । अगला, लिए प्रासंगिक डेटा-संरचना पर जाएं । फिर, यह यादृच्छिक नमूने को ढूँढता है जिसके पास एक एकल गवाह के रूप में है, और यह उस जोड़ी को निकालता है जो निरंतर समय में इस गवाह है।वी क्यू एक ( एक्स ) * पी बी ( x ) मैं ( कश्मीर $v$$Q_A(x)*P_B(x)$$i(k)$

6. अजीब तरह से पर्याप्त है, प्रीप्रोसेसिंग समय , लेकिन गवाह को खोजने के लिए अपेक्षित समय स्वयं समय लेते हैं , क्योंकि कोई भी एक गवाह को ढूंढते ही खोज को रोक सकता है। इससे पता चलता है कि यह एल्गोरिथम कामचलाऊ होना चाहिए। विशेष रूप से, , उत्पन्न बहुपद बहुत विरल हैं, और किसी को बहुत तेज़ी से FFT करने में सक्षम होना चाहिए।$O(n \log^3 n)$$O(n)$$i(k) \ll \lg n$

Answer 2

ठीक है, मैं बंद कर रहा हूँ क्योंकि सरिएल को जवाब देने के लिए श्रेय मिलना चाहिए, लेकिन मैं इंतजार कर के थक गया हूं, इसलिए यहां मेरा एक निकट-रेखीय यादृच्छिक एल्गोरिथ्म में कटौती की गई है।

• , नमूने चुनकर , आप एक उपप्रकार संख्या का लघुगणक संख्या प्राप्त कर सकते हैं, जैसे कि मूल समस्या से प्रत्येक योग को एक में विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने की निरंतर संभावना है उपप्रोम्बल (वह स्थान जहाँ नमूना प्रतिसाद की अपेक्षित संख्या को घटाकर 1 के पास कर देता है)।$n(1-\epsilon)^i$$i=0,1,\dots$
• नमूनाकरण प्रक्रिया को दोहराते हुए एक लघुगणक संख्या जितनी बार आप उच्च संभावना के साथ अद्वितीय प्रतिनिधित्व करने के लिए सभी रकम प्राप्त कर सकते हैं।
• आप में से एक विभाजन है, तो और दो उप-समूहों में, फिर चार से संख्या गुणा, में उप-समूहों में से एक में नंबरों के लिए 2 जोड़कर है, और में सबसेट में से एक में नंबरों के लिए 1 जोड़ने , आप कर सकते हैं प्राप्त योगों के mod-4 मानों से दूर पढ़ें कि दोनों में से कौन सा उपसमूह उनके समन से आता है।$A$$B$$A$$B$
• विभाजन प्रक्रिया को दोहराते हुए, कई बार एक लघुगणक संख्या होती है, प्रत्येक चरण में विभाजन का चयन करने के लिए उपप्रोम्बलों में मूल्यों या सूचकांकों के द्विआधारी प्रतिनिधित्व की प्रत्येक बिट स्थिति का उपयोग करके, आप विशिष्ट रूप से प्रत्येक विशिष्ट प्रतिनिधित्व वाले योग के सारांश की पहचान कर सकते हैं।

यह तीन लॉगरिदमिक कारकों द्वारा चल रहे समय को उड़ा देता है; शायद इसे कम किया जा सकता है।

Comments

हा हा;)। मैं इसे लिखने के बीच में था, और फिर दोपहर के भोजन के लिए चला गया ...

— Sariel Har-Peled

Answer 3

यह उत्तर एक निर्धारक O ( n p o o l y l o o g n )  एल्गोरिदम देता है।$O(n~\mathrm{polylog} n)$

ऐसा प्रतीत होता है कि सरियल और डेविड के एल्गोरिथ्म को इस पेपर के समान दृष्टिकोण के माध्यम से व्युत्पन्न किया जा सकता है । [२] इस प्रक्रिया से गुजरने के दौरान मैंने पाया कि एक और सामान्य समस्या है जो इस परिणाम का संकेत देती है।

कश्मीर -reconstruction समस्या$k$

वहाँ छिपे हुए हैं सेट एस 1 , ... , एस एन ⊂ { 1 , ... , मीटर } , हम दो देववाणी है एस मैं जेड ई और एस यू मी कि एक प्रश्न सेट ले क्यू ।$S_1,\ldots,S_n \subset \{1,\ldots,m\}$$Size$$Sum$$Q$

1. एस मैं जेड ई ( क्यू ) रिटर्न ( | एस 1 ∩ क्यू | , | एस 2 ∩ क्यू | , ... , | एस एन ∩ क्यू | ) , प्रत्येक चौराहे के आकार।$Size(Q)$$(|S_1\cap Q|,|S_2\cap Q|,\ldots,|S_n\cap Q|)$
2. एस यू m ( क्यू ) रिटर्न ( Σ रों ∈ एस 1 ∩ क्यू एस , Σ रों ∈ एस 2 ∩ क्यू एस , ... , Σ रों ∈ एस एन ∩ क्यू एस ) , प्रत्येक चौराहे में तत्वों की राशि।$Sum(Q)$$(\sum_{s\in S_1\cap Q} s,\sum_{s\in S_2\cap Q} s,\ldots,\sum_{s\in S_n\cap Q} s)$

कश्मीर -reconstruction समस्या एक पूछता है खोजने के लिए n सबसेट एस ' 1 , ... , एस ' n ऐसा है कि एस ' मैं ⊂ एस मैं और | एस ' मैं | = मिनट ( कश्मीर , | एस मैं | ) सभी के लिए मैं ।$k$$n$$S_1',\ldots,S_n'$$S_i'\subset S_i$$|S_i'|=\min(k,|S_i|)$$i$

चलो च देववाणी बुला का चलने का समय हो सकता है, और यह मान च = Ω ( मीटर + n ) , फिर एक सेट नियतात्मक में पा सकते हैं हे ( च कश्मीर लॉग एन पी ओ एल वाई एल ओ जी ( मीटर ) ) समय। [1]$f$$f=\Omega(m+n)$$O(f k \log n~\mathrm{polylog}(m))$

अब हम खोज की गवाह समस्या को 1 -reconstruction समस्या को कम कर सकते हैं । यहाँ एस 1 , ... , एस 2 n ⊂ { 1 , ... , 2 n } जहां एस मैं = { एक | एक + ख = मैं , एक ∈ ए , बी ∈ बी } ।$1$$S_1,\ldots,S_{2n}\subset \{1,\ldots,2n\}$$S_i = \{a|a+b = i, a\in A, b\in B\}$

परिभाषित करें बहुआयामी पद χ क्यू ( एक्स ) = Σ मैं ∈ क्यू x मैं , मैं क्यू ( एक्स ) = Σ मैं ∈ क्यू मैं एक्स $\chi_Q(x) = \sum_{i \in Q} x^i$$I_Q(x) = \sum_{i \in Q} i x^i$

के लिए गुणांक एक्स मैं में χ क्यू χ बी ( x ) है | एस मैं ∩ क्यू | और में मैं क्यू χ बी ( x ) है Σ रों ∈ एस मैं ∩ क्यू एस । इसलिए oracles प्रति कॉल O ( n लॉग एन ) समय लेते हैं।$x^i$$\chi_Q\chi_B(x)$$|S_i\cap Q|$$I_Q\chi_B(x)$$\sum_{s\in S_i\cap Q} s$$O(n\log n)$

यह हमें एक देता हे ( एन पी ओ एल वाई एल ओ जी ( एन ) )  समय नियतात्मक एल्गोरिथ्म।$O(n~\mathrm{polylog}(n))$

[१] योनातन औमन, मोशे लेवेनस्टीन, नोआ लेवेन्स्टीन, डेकेल ससुर: छीलने के द्वारा गवाहों का पता लगाना । एल्गोरिथम 7 पर ACM लेनदेन (2): 24 (2011)

[२] नोगा अलोन, मोनी नोर : डर्गेनेलाइज़ेशन, बूलियन मैट्रिक्स गुणन और सही हैश कार्यों के निर्माण के गवाह हैं । एलगोरिदमिका 16 (4-5) (1996)