1-इन -3 सैट क्या एनपी-हार्ड बना रहता है, भले ही हर वेरिएबल पॉजिटिव और निगेटिव दोनों में आता हो?

मानक समस्या 1-इन -3 सैट (या एक्ससैट या एक्स 3 एसएटी ) है:
उदाहरण : प्रत्येक 3 खंडों वाले प्रत्येक खंड के साथ एक सीएनएफ फॉर्मूला
प्रश्न : क्या एक संतोषजनक असाइनमेंट सेटिंग प्रति 1 खंड प्रति सत्य सही है?

समस्या एनपी-पूर्ण है और कोई भी चर नहीं होने पर भी कठोर बना रहता है। मुझे आश्चर्य है कि क्या यह समस्या आसान हो जाती है या कठिन रहती है यदि प्रत्येक चर को सकारात्मक रूप से कम से कम एक बार और नकारात्मक रूप से कम से कम एक बार होने की आवश्यकता होती है ।

3SAT से सामान्य कमी यह दर्शाती है कि 1-इन -3 सैट हार्ड क्लोज़ को क्लॉस , , जहाँ प्रत्येक खंड के लिए ताज़ा हैं। इस प्रकार, यह कमी मेरे प्रश्न का उत्तर देने में मदद नहीं करती है। मुझे इस संस्करण की कठोरता दिखाने वाले गैजेट के साथ आने में परेशानी हुई है, क्योंकि अगर एक खंड में 1 शाब्दिक सच है, तो गैर-सममित रूप से 2 लीटर झूठे हैं। यदि यह आसान हो जाता है, तो क्लॉज सेट के विभाजन के संदर्भ में सोच यह कर सकती है, लेकिन मैं यह नहीं देख सकता कि कैसे। $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$

cc.complexity-theory np-hardness sat

— डोमिनिक पीटर्स
स्रोत

क्या इसे घटाकर 2 सैट किया जा सकता है?

— जोशुआ हरमन

संकेत: प्रत्येक var , क्लाज और, कहें। ।

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

— नील युवा

हा, वह काम करता है (बेशक जोड़ने का भी )। यदि कोई भी कभी भी इतना थोड़ा असंतुष्ट चाल को कर सकता है, तो मैं प्रश्न को खुला छोड़ दूँगा ।

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

— डोमिनिक पीटर्स

क्या मैं आपको अपने स्वयं के प्रश्न का पूरा उत्तर लिखने के लिए प्रोत्साहित कर सकता हूं, शायद नील के विचार पर आधारित है? (संयोग से, मुझे यकीन नहीं है कि "असंतोषजनक" क्यों है। एक कमी एक कमी है।)

— DW

यदि वह विशेष मामला वह है जिसकी आप वास्तव में परवाह करते हैं, तो हो सकता है कि आपके प्रश्न को संपादित करने के लिए उस अतिरिक्त बाधा को प्रतिबिंबित करने का कोई मतलब हो?

— DW

एक टिप्पणी में, ओपी ने एक कमी में रुचि व्यक्त की जो प्रति खंड 3 अलग-अलग चर के साथ उदाहरण उत्पन्न करती है। यहाँ एक सरल तरीका है:

कमी प्रति खंड 3 अलग-अलग चर के साथ 1-इन -3 सैट से है:

सबसे पहले, इनपुट फॉर्मूले के सभी क्लॉज़ को आउटपुट फॉर्मूला में क्लॉज़ के रूप में शामिल करें।
दूसरा, तीन नए चर , और और आउटपुट सूत्र में निम्नलिखित तीन खंड जोड़ें: , , और । $F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
अंत में, मूल सूत्र में प्रत्येक चर के लिए, एक नया चर शुरू करें , और आउटपुट सूत्र में निम्नलिखित दो खंड जोड़ते हैं: और । $x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

आइए सत्यापित करें कि यह कमी हम क्या चाहते हैं। निम्नलिखित गुण हैं जो हम चाहते हैं:

प्रत्येक खंड में हमेशा तीन अलग-अलग चर होते हैं।
प्रत्येक चर कुछ खंड में सकारात्मक और कुछ खंड में नकारात्मक रूप से होता है।
इनपुट फॉर्मूला आउटपुट फॉर्मूला के बराबर है।

संपत्ति 1 जांच के लिए तुच्छ है। संपत्ति 2 भी जांचना आसान है: चर , , और दोनों सकारात्मक रूप से और नकारात्मक रूप से दूसरी गोली बिंदु में जोड़े गए खंडों में होते हैं, जबकि सूत्र में प्रत्येक अन्य चर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों खंडों में जोड़ा जाता है। तीसरी गोली बिंदु। $F_1$ $F_2$ $F_3$

संपत्ति 3 के लिए, यह कम तुच्छ लेकिन अभी भी आसान है। आप आसानी से तर्क दे सकते हैं कि चर के लिए एकमात्र असाइनमेंट $F_1$ , $F_2$ , तथा $F_3$ दूसरी गोली बिंदु से प्रत्येक खंड को संतुष्ट करने के लिए तीनों बनाना है $F_i$ झूठा है। लेकिन तब के लिए असत्य का मान लेना $F_1$ , खंड $(x, x', F_1)$ तथा $(\neg x, \neg x', F_1)$ तीसरी बुलेट बिंदु में जोड़े गए संतुष्ट हैं यदि और केवल अगर $x' = \neg x$ । चूंकि अन्य कोई अड़चन नहीं हैं $x'$ , इसका मतलब यह है कि इनपुट फॉर्मूला के लिए एक संतोषजनक असाइनमेंट को आउटपुट फॉर्मूले के लिए संतोषजनक असाइनमेंट में विस्तारित करना हमेशा संभव होता है: बस प्रत्येक के लिए $x'$ संबंधित की उपेक्षा होना $x$ और प्रत्येक सेट करें $F_i$ असत्य को।

— मिखाइल रूडोय
स्रोत