आयत के फैले पेड़ों की संख्या के लिए सटीक सूत्र

Question

यह ब्लॉग एक कंप्यूटर का उपयोग करते हुए "एक छोटे से माज़" को उत्पन्न करने की बात करता है। यूएसटी प्राप्त करने के लिए विल्सन के एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए गणना की जा सकती है , लेकिन मुझे वहां कितने का फार्मूला याद नहीं है।

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

सिद्धांत रूप में मैट्रिक्स ट्री प्रमेय में कहा गया है कि ग्राफ़ के फैले पेड़ों की संख्या ग्राफ के लाप्लासियन मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है। चलो ग्राफ हो और समीपवर्ती मैट्रिक्स हो, डिग्री मैट्रिक्स हो, फिर साथ eigenvalues , फिर:$G= (E,V)$$A$$D$$\Delta = D - A$$\lambda$

$$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$$

आयत के मामले में और eigenvalues दोनों को विशेष रूप से सरल रूप लेना चाहिए, जो मुझे नहीं मिल सकता है। $m \times n$$A$

एक आयत के # फैले पेड़ों के लिए सटीक सूत्र (और स्पर्शोन्मुख) क्या है ?$m \times n$

यहां एक्शन में विल्सन के एल्गोरिथ्म का एक सुंदर उदाहरण है।

Comments

इंटेगर सीक्वेंस के ऑनलाइन इनसाइक्लोपीडिया सटीक सूत्र आसान नहीं लगते हैं।

— पीटर शोर

@PeterShor OEIS का हवाला देते हैं: जर्मेन क्रूएरेस, कॉम्प्लेक्साइट एट सर्किट यूलेरेन्स डैन लेस सोम्स टेंसोरीलेस डे ग्राफेस , जे। कॉम्बिन। थ्योरी, बी 24 (1978), 202-212। वह वही वस्तुएं हैं जो हमारे लिए सही हैं?

— जॉन मंगल

वे कई अलग-अलग वस्तुओं को कवर करते हैं, जिसमें क्वाड्रिलेज प्लानर भी शामिल है , जो कि ग्रिड है। $m \times n$

— पीटर शोर

Answer 1

Https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf के अनुसार कोई भी बंद-फॉर्मूला ज्ञात नहीं है।

Http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0004341v1.pdf के अनुसार संख्या asymptotic ( और दोनों बड़े के लिए) to जहां लेकिन मैं हूं यह सुनिश्चित नहीं है कि यह एक कठोर बाध्यता है या अनुमानी भौतिकी-आधारित तर्क का परिणाम है। एक ही पेपर समान प्रकार के एसिम्प्टोटिक सूत्र भी देता है जब एक छोटे से स्थिरांक पर तय होता है और बड़ा होता है।m exp ( z s q m n ) z s q = $n$$m$

$$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$$ मीटर $$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$$ $m$$n$

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एक आयत में फैले पेड़ों की संख्या के लिए सटीक असममित सूत्र हैं (और आयताकार बहुभुजों द्वारा वर्णित उपसमूह के अधिक सामान्य क्रम) यहां दिए गए हैं: arxiv.org/pdf/math-ph-0011042.pdf (विशेष रूप से, corollary 2 और प्रस्ताव 13) )

— लोरेंजो नजट

फिर, कि एक गणितीय भौतिकी भंडार में है। क्या वे स्पर्शोन्मुख सूत्रों को कठोरता से सिद्ध करते हैं या वे सिर्फ भौतिक विज्ञान की तरह ansatz तर्क का उपयोग करते हैं?

— डेविड एप्पस्टीन

यह एक्टा मठ 185 (2000) नं में प्रकाशित हुआ था। 2, 239-286।

— लोरेंजो नजट

Answer 2

एम-बाय-एन-आयत ग्राफ के आइगेनवैल्यू का उपयोग ऐसे ग्राफ़ में परिपूर्ण मिलान की संख्या के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। डोमिनोज़ झुकाव पर विकिपीडिया लेख देखें ।

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यह दिलचस्प है, लेकिन क्या आप विस्तृत कर सकते हैं कि यह प्रश्न कैसे स्वीकार करता है? क्या इस खास मामले में परफेक्ट मैचिंग और फैले पेड़ों के बीच किसी तरह की मैपिंग है?

— सईद