कौन से यादृच्छिक एल्गोरिदम में घातीय रूप से छोटी त्रुटि संभावना है?

मान लीजिए कि एक यादृच्छिक एल्गोरिदम $r$ यादृच्छिक बिट्स का उपयोग करता है । सबसे कम त्रुटि संभाव्यता की उम्मीद कर सकते हैं (0 त्रुटि के साथ एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म की कमी) । कौन से यादृच्छिक एल्गोरिदम इस तरह की न्यूनतम त्रुटि संभावना को प्राप्त करते हैं? $2^{-\Omega(r)}$

कुछ उदाहरण जो दिमाग में आते हैं:

नमूनाकरण एल्गोरिदम, उदाहरण के लिए, जहां कोई सेट के आकार का अनुमान लगाना चाहता है जिसके लिए कोई सदस्यता की जांच कर सकता है। यदि कोई एक समान रूप से जांच करने के लिए यादृच्छिक तत्वों पर नमूना करता है, तो चेरनॉफ बाउंड एक घातीय छोटी त्रुटि संभावना की गारंटी देता है।
न्यूनतम फैले हुए पेड़ की गणना के लिए कारगर-क्लेन-टार्जन एल्गोरिथ्म। एल्गोरिथ्म प्रत्येक किनारे को प्रायिकता 1/2 के साथ उठाता है, और नमूना में एमएसटी को पुन: खोजता है। चेरनॉफ का उपयोग यह तर्क देने के लिए किया जा सकता है कि यह बहुत ही कम संभावना है कि किनारों की 2n + 0.1 मी होगी जो कि पेड़ से बेहतर है (यानी, एक को पेड़ के किनारों में से एक पर ले जाना पसंद करेंगे)।

क्या आप अन्य उदाहरणों के बारे में सोच सकते हैं?

: नीचे एनड्रास 'जवाब के बाद वास्तव में, हर बहुपद समय एल्गोरिथ्म एक में बदला जा सकता धीमी तेजी से छोटी त्रुटि संभावना के साथ बहुपद समय एल्गोरिथ्म। मेरा ध्यान एल्गोरिदम पर है जो यथासंभव कुशल है। विशेष रूप से, मैंने जो दो उदाहरण दिए, उनमें नियतात्मक बहुपद समय एल्गोरिदम हैं जो समस्याओं को हल करते हैं। यादृच्छिक एल्गोरिदम में रुचि उनकी दक्षता के कारण है।

randomized-algorithms

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

पूर्ण उत्तर नहीं है, लेकिन यादृच्छिक संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में कुछ काम किया गया है। youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— बेबी ड्रैगन

शायद कोई इसकी उम्मीद नहीं कर सकता है , लेकिन एक निश्चित रूप से उम्मीद कर सकता है (अभी भी "0 त्रुटि के साथ एक निर्धारक एल्गोरिथ्म की कमी") कि सभी वास्तविक संख्याओं के लिए , अगर तो एक एल्गोरिथ्म जिसकी त्रुटि संभावना । _ मेरा मानना है कि बहुपद पहचान परीक्षण एक ऐसी समस्या है।

c

$c\hspace{-0.02 in}$

c < 1

$\: c<1 \:$

$\hspace{.34 in}$

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$

$\:$

$\hspace{.49 in}$

@ रिकीडेमर मैं आपकी टिप्पणी को नहीं समझता। पीआईटी के लिए सामान्य यादृच्छिक एल्गोरिदम में त्रुटि है जो यादृच्छिकता में घातीय नहीं है। तो तुम क्या कह रहे हो? क्या आप कह रहे हैं कि किसी भी BPP समस्या के लिए इस तरह के एक एल्गोरिथ्म मौजूद हो सकता है?

— साशो निकोलेव

मुझे अब एहसास हुआ कि मैं वास्तव में यह दिखाने का कोई तरीका नहीं देखता कि पीआईटी उस कक्षा में है जिसका मैंने वर्णन किया है। दूसरी ओर, को में सुपर-बहुपद देने की अनुमति देता है (यानी, लंबाई (S) को लंबाई में घना होना) (घ) Schwartz-Zippel के लिए पर्याप्त होगा lemma (जारी ... ... )

$\:$

S

$S$

d

$d$

$\:$

$\;\;\;\;$

कई प्रोबेबिलिटिक विधि निर्माणों में ऐसा व्यवहार होता है, नहीं? उदाहरण के लिए, बाइनरी स्ट्रिंग्स का एक यादृच्छिक सेट चुनना और उनकी निकटतम जोड़ी को देखना - संभावना है कि तुलना में दूरी में दो तार बहुत छोटे होंगे। -------------------------------------------------- ----------------------- नीचे BPP उत्तर की भावना में: n कोने के साथ एक स्थिर डिग्री विस्तारक, और चिह्नित कोने को देखते हुए , लंबाई के एक यादृच्छिक की पैदल दूरी की संभावना

एक चिह्नित शिखर याद है

, अगर

।

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— सरील हर-पेलेड

जवाबों:

इम्पेग्लियाज़ो और ज़करमैन ने साबित किया (FOCS'89, यहाँ देखें ) कि अगर एक BPP एल्गोरिथ्म कम से कम 2/3 की शुद्धता संभावना प्राप्त करने के लिए यादृच्छिक बिट्स का उपयोग करता है , तो, विस्तारक ग्राफ़ पर यादृच्छिक चलता लागू करने से, यह एक शुद्धता संभावना में सुधार किया जा सकता है की , का उपयोग कर यादृच्छिक बिट्स। ( ध्यान दें: जबकि लेखक अमूर्त में विशिष्ट निरंतर 2/3 का उपयोग करते हैं, इसे 1/2 से अधिक किसी भी अन्य स्थिर के साथ बदला जा सकता है।) $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

हम लेते हैं , इस का मतलब है कि किसी भी बीपीपी एल्गोरिथ्म है कि एक निरंतर त्रुटी संभावना को प्राप्त होता है , का उपयोग करते हुए यादृच्छिक बिट्स, हो सकता है (गैर तुच्छता) त्रुटी संभावना है करने के लिए सुधार । इस प्रकार, (जब तक मैं गलत समझा कुछ), की त्रुटी संभावना के लिए प्राप्त है हर बीपीपी में समस्या। $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— एंड्रास फरगो
स्रोत

ऐसी प्रवर्धन तकनीकों के साथ समस्या यह है कि वे एल्गोरिथ्म को धीमा कर देती हैं। नया एल्गोरिथ्म केवल O (r) यादृच्छिक बिट्स का उपयोग कर सकता है, लेकिन इसका चलने का समय r समय (मूल-रन-टाइम) है। यदि r है, तो कहें, इनपुट आकार n में कम से कम रैखिक (जो आमतौर पर है), आपने बस एक कारक n द्वारा एल्गोरिथ्म को धीमा कर दिया। यह कुछ ऐसा नहीं है, जिसके बारे में सबसे अधिक एल्गोरिदमवादियों को खुशी होगी ...

— दाना मोशकोविट्ज़

मुझे यकीन नहीं है कि यह वही है जो आप खोज रहे हैं, लेकिन यह संबंधित है:

मान लीजिए कि मैं एक यादृच्छिक -bit प्राइम नंबर खोजना चाहता हूं । सामान्य एल्गोरिथ्म एक यादृच्छिक (विषम) -बिट पूर्णांक को लेने और उस पर राउंड के लिए मिलर-राबिन प्राणिकता परीक्षण चलाने के लिए और एक संभावित प्राइम पाए जाने तक दोहराता है। क्या संभावना है कि यह प्रक्रिया एक समग्र संख्या लौटाती है? इस प्रायिकता कॉल करें । $k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

मिलर-राबिन प्राइमलिटी टेस्ट के मानक विश्लेषण से पता चलता है कि राउंड सबसे अधिक पर विफलता की संभावना देता है । यह अभाज्य संख्या प्रमेय के साथ साथ, तात्पर्य $t$ $4^{-t}$

{पी}_{क, टी} \leq हे (क \cdot 4^{- टी}) ।

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

हालाँकि, हम रैंडम इनपुट्स पर मिलर-राबिन परीक्षण चला रहे हैं, इसलिए हम एक औसत-केस त्रुटि गारंटी का उपयोग कर सकते हैं। हम बहुत बेहतर बंधे हुए हैं। विशेष रूप से, के लिए , $t=1$ यह कहना है, हमपरीक्षण केकेवल एक पुनरावृत्तिकेसाथ एक घातीय-छोटी विफलता संभावनाप्राप्त करते हैं!

{पी}_{क, 1} \leq 2^{- (1 - ओ (1)) \frac{क \ln \ln क}{\ln क}} \leq 2^{- \tilde{Ω} (क)} ।

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

देखें Erdös और Pomerance (1986) , किम और Pomerance (1989) , और Dåmgard, Landrock, और Pomerance (1993) अधिक जानकारी के लिए।

यह एक निर्णय समस्या नहीं है और इस्तेमाल की जाने वाली यादृच्छिकता की मात्रा बिट्स है (हालांकि मुझे संदेह है कि इसे आसानी से तक कम किया जा सकता है )। हालाँकि, यह एक दिलचस्प उदाहरण है जहाँ हमें स्वाभाविक रूप से छोटी-छोटी विफलताएँ मिलती हैं। $O(k^2)$ $O(k)$

— थॉमस मोनिका का समर्थन करता है
स्रोत