सबूत जो एक गहरी संरचना को उजागर करते हैं

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चेरनॉफ़ बाउंड ( रैंडमाइज्ड अल्गोरिद्म टेक्स्टबुक से) का मानक प्रमाण मार्कोव असमानता और पल उत्पन्न करने वाले कार्यों का उपयोग करता है, जिसमें टेलर के एक बिट के साथ विस्तार किया जाता है। कुछ भी मुश्किल नहीं है, लेकिन कुछ यांत्रिक है।

लेकिन अन्य चेरनॉफ बाउंड प्रूफ हैं जो परिणाम को चलाने वाली गहरी संरचना को उजागर करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सूचना-सिद्धांत संबंधी संस्करण है, जो इम्पाग्लियाज़ो और कबनेट्स के इस पेपर के साथ-साथ संजोय दासगुप्ता के इस संक्षिप्त पद के उदाहरणों के माध्यम से जाता है । ये बाद के प्रमाण अधिक "सहज" हैं, जिसमें वे मानक परिणाम का एक सामान्यीकरण प्रदान करते हैं, साथ ही यह बताते हुए कि प्रतिपादक में मज़ेदार शब्द कहाँ से आते हैं (यह एक केएल-विचलन है)।

ऐसी बातों के अच्छे उदाहरण क्या हैं? अधिक ठोस होने के लिए, यहाँ नियम हैं:

इस कथन को यथोचित रूप से जाना जाना चाहिए (किसी प्रकार की स्नातक कक्षा में पढ़ाया जाना चाहिए)

पाठ्यपुस्तकों या मानक संदर्भ सामग्री में "मानक" प्रमाण उपलब्ध होना चाहिए जो "सामान्यतः" पढ़ाया जाता है

एक वैकल्पिक सबूत होना चाहिए जो इतनी अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है, आमतौर पर पढ़ाया नहीं जाता है, और या तो एक अधिक सामान्य बयान साबित होता है या बयान को एक गहरी गणितीय संरचना से जोड़ता है।

मैं दो उदाहरणों के साथ शुरुआत करूँगा।

चेरनॉफ बाउंड
- "पाठ्यपुस्तक" प्रमाण: मार्को असमानता, पल पैदा करने वाले कार्य, टेलर विस्तार (MR)
- असामान्य और आनंददायक प्रमाण: प्रकार की विधि, केएल-विचलन से जुड़े पूंछ के घातांक
श्वार्ट्ज-जिप्पल लेम्मा
- "पाठ्यपुस्तक" प्रमाण: आधार-केस जिसमें एकतरफा बहुपद होता है। चर की संख्या पर संकेत
- "असामान्य" प्रमाण: दाना मोशकोविट्ज़ (और प्रति वोगसेन ) के माध्यम से ज्यामितीय तर्क

कृपया प्रति उत्तर एक उदाहरण।

ps मैं जरूरी नहीं है कि असामान्य प्रमाण को पढ़ाया जाना चाहिए: छात्रों के लिए एक प्रत्यक्ष प्रमाण अक्सर आसान होता है। लेकिन इस अर्थ में कि "प्रमाण हमें समझने में मदद करते हैं", ये वैकल्पिक प्रमाण बहुत सहायक हैं।

big-list proofs

— सुरेश वेंकट को रिवील किया
स्रोत

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मुझे यकीन नहीं है कि यह वही है जो आप खोज रहे हैं, क्योंकि मैंने पाठ्यपुस्तकों में "असामान्य" प्रमाण देखा है, लेकिन: ओ (एन लॉग एन) क्विकॉर्ट के लिए बाध्य समय।

"पाठ्यपुस्तक" प्रमाण: एक यादृच्छिक पुनरावृत्ति संबंध स्थापित करें, इस प्रेरण से साबित करें कि इसका वांछित समाधान है।
"असामान्य" प्रमाण: इस संभावना के लिए एक सरल सूत्र ढूंढें कि किसी भी दो तत्वों की तुलना की जाती है (यह सिर्फ 2 / (d + 1) है जहां d क्रमबद्ध क्रम में उनके रैंक के बीच अंतर है), और अपेक्षा और हार्मोनिक श्रृंखला की रैखिकता का उपयोग करें तुलना करने वाले जोड़े की अपेक्षित संख्या की गणना करना।

पाठ्यपुस्तक प्रमाण को कम रचनात्मक अंतर्दृष्टि की आवश्यकता होती है, लेकिन असामान्य प्रमाण एक ऐसी तकनीक का परिचय देता है जो कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में यादृच्छिक वृद्धिशील एल्गोरिदम के लिए अन्य एल्गोरिथ्म विश्लेषण में बहुत उपयोगी है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

3

मुझे लगता है कि यह काम करता है। यह एक अच्छा उदाहरण है। आप सही हैं कि 'असामान्य' प्रमाण पाठ्यपुस्तकों में भी है, लेकिन फिर भी यह आम नहीं है।

— सुरेश वेंकट

1

मैं एक दशक से अधिक के लिए "असामान्य" प्रमाण को पढ़ता रहा हूँ।

— जेफ़ ε

मुझे नहीं पता कि दूसरे इसके बारे में क्या सोचते हैं; लेकिन जॉन बेंटले ने पाठ सुंदर कोड में त्वरित क्रम के अपेक्षित क्रम के लिए एक बहुत ही सुंदर रनटाइम विश्लेषण दिया है। आप उनके वीडियो को उसी विषय <a href=" youtube.com/watch?v=aMnn0Jq0J-E"> यहां </ a > पर भी आरोपित कर सकते हैं । मुझे पूरा यकीन है कि यह क्विकॉर्ट के अपेक्षित रनटाइम का "पुस्तक का विश्लेषण" है

— आकाश कुमार

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मैं सबूत है कि बीपीपी में है जटिलता से एक बाहर फेंक, करेंगे । पाठ्यपुस्तक सबूत Lautemann की वजह से, बस लिख है अभिव्यक्ति और यह एक साधारण संभाव्य तर्क के साथ काम करता दिखा। असामान्य सबूत: एक कठिन समारोह (लगता अनुमान लगाना, कठोरता जाँच करने के लिए) और निसान-Wigderson जनरेटर में प्लग। $\Sigma_2^p$ $\exists\forall$ $\exists$ $\forall$

— लांस फोर्टे
स्रोत

उसको जोड़ते हुए, लुटेमान के प्रमाण में सिपसर के प्रमाण (1983) को बहुत सरल किया गया है, जिसका श्रेय सिपसर द्वारा गैक्स को दिया जाता है।

— एमएस डौस्टी

1

क्या "असामान्य" प्रमाण के लिए एक संदर्भ है, या यह लोककथा है?

— एमएस डौस्ती

2

इसका प्रमाण निसान-विगडरसन पेपर में है।

— लांस फोर्टनॉ

2

यह एक "असामान्य सबूत" ठीक है, लेकिन इस सबूत से "नई समझ" क्या है? मुझे लगता है कि लुटेमान का प्रमाण अधिक रोशन करने वाला है। क्या मुझसे कोई चूक हो रही है?

— वी विनय

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$\sum_i a_iX_i$ $\pm 1$ $X_i$ $\sigma = \|a\|_2$ $t \ge 2$

\begin{array}{rcl} E [{(\sum_{i} a_{i} X_{i})}^{t}] & = & \sum_{i_{1}, \dots, i_{t}} (\prod_{j = 1}^{t} a_{i_{j}}) E [\prod_{j = 1}^{t} X_{i_{j}}] \\ \leq & \sum_{i_{1}, \dots, i_{t}} (\prod_{j = 1}^{t} | a_{i_{j}} |) E [\prod_{j = 1}^{t} X_{i_{j}}] \\ = & \sum_{\begin{matrix} i_{1} < \dots < i_{m} \\ r_{1}, \dots, r_{m} \\ \sum_{j} r_{j} = t \\ \forall j r_{j} > 0 \end{matrix}} (\binom{t}{r_{1}, \dots, r_{m}}) (\prod_{j = 1}^{m} | a_{i_{j}} |^{r_{j}}) (\prod_{j = 1}^{m} E [X_{i_{j}}^{r_{j}}]) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] &=& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t a_{i_j}\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &\le& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t |a_{i_j}|\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &=& \sum_{\substack{i_1<\ldots< i_m\\ r_1,\ldots,r_m\\ \sum_j r_j = t\\ \forall j\ r_j > 0}} \binom{t}{r_1,\ldots,r_m}\left(\prod_{j=1}^m |a_{i_j}|^{r_j}\right)\left(\prod_{j=1}^m \mathbf{E}[X_{i_j}^{r_j}]\right) \end{eqnarray*}$

अब, दायीं ओर उपरोक्त योग को देखें। किसी भी दिए गए सारांश में, या तो कुछ विषम है, जिससे अपेक्षा , या सभी सम हैं, इसे बना रहे हैं । गॉसियन साथ सभी को बदलने की कल्पना करें । फिर हम एक ऐसी ही स्थिति में हो जाएगा: अजीब देना होगा , और सभी भी उत्पाद बनाना होगा कम से कम । इसलिए गॉसियन केस टर्म बर्नौली केस पर हावी है। इस प्रकार, $r_j$ $0$ $1$ $X_i$ $G_i$ $r_j$ $0$ $r_j$ $1$

E [{(\sum_{i} a_{i} X_{i})}^{t}] \leq E [{(\sum_{i} | a_{i} | G_{i})}^{t}]

$\mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] \le \mathbf{E}\left[\left(\sum_i |a_i|G_i\right)^t\right]$

लेकिन, गाऊसी की , स्वयं मानक विचलन वाला एक गाऊसी है , इसलिए हम इसके क्षणों को जानते हैं! इस प्रकार, हमारा th क्षण से घिरा है (मोटे तौर पर ); इसे खिनचाइन की असमानता के रूप में जाना जाता है। फिर, $2$ $\sum_i |a_i| G_i$ $\|a\|_2$ $t$ $\|a\|_2^t \cdot t! / (2^{t/2} \cdot (t/2)!)$ $\|a\|_2^tt^{t/2}$

P r [| \sum_{i} a_{i} X_{i} | > λ] < 2^{O (t)} \cdot λ^{- t} \cdot ‖ a ‖_{2}^{t} t^{t / 2}

$\mathbf{Pr}\left[\left|\sum_i a_iX_i\right| > \lambda\right] < 2^{O(t)}\cdot \lambda^{-t}\cdot \|a\|_2^t t^{t/2}$ सेट पर्याप्त रूप से बड़े स्थिर लिए और आपको गौसियन टेल बाउंड । डैनियल केन के साथ बातचीत करते समय मैंने पहली बार खिनचाइन की असमानता का यह सबूत सुना, लेकिन शायद एक पुराना संदर्भ है। सबूत पर ध्यान दें यह भी स्पष्ट करता है कि बीच स्वतंत्रता के किस स्तर पर आपको विभिन्न पूंछ सीमाएं प्राप्त करने की आवश्यकता है।

t = λ^{2} / (C \cdot ‖ a ‖_{2}^{2})

$t = \lambda^2 / (C\cdot \|a\|_2^2)$

C

$C$

e x p (- Ω (λ^{2} / ‖ a ‖_{2}^{2}))

$\mathrm{exp}(-\Omega(\lambda^2 / \|a\|_2^2))$

X_{i}

$X_i$

— जेलानी नेल्सन को दर्शाता है
स्रोत

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Minc ने अनुमान लगाया और Brggman ने साबित कर दिया कि यदि , 1 की पंक्ति के साथ 0-1 मैट्रिक्स है , तो का स्थायी भाग अधिकांश अलोन और स्पेंसर की पाठ्यपुस्तक द प्रोबेबिलिस्टिक मेथड में एक छोटा सा प्रमाण है , लेकिन यकीनन "पुस्तक" का प्रमाण जयप्रकाश राधाकृष्णन का प्रमाण है जिसमें एन्ट्रॉपी ( जे। कॉम्बिन। थ्योरी सर्। ए 77 (1997), 161-164) का उपयोग किया गया है। यह परिणाम के बयान से बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि एन्ट्रापी की अवधारणा यहां सतह के नीचे है। $A$ $r_i$ $i$ $A$

\prod_{i} (r_{i}!)^{1 / r_{i}} .

$\prod_i (r_i!)^{1/r_i}.$

— टिमोथी चौ
स्रोत