अंडरग्रेजुएट्स के लिए काउंटरिंटुइक्टिव परिणाम

Question

मैं ऐसे परिणामों के उदाहरणों की तलाश कर रहा हूं जो एक आम दर्शक की बात के लिए लोगों के अंतर्ज्ञान के खिलाफ जाते हैं। परिणाम जो अगर गैर-विशेषज्ञों से पूछा जाता है "आपका अंतर्ज्ञान आपको क्या बताता है?", लगभग सभी इसे गलत मिलेगा। परिणाम का विवरण आसानी से सीएस / गणित में स्नातक करने के लिए समझा जा सकता है। मैं मुख्य रूप से कंप्यूटर विज्ञान में परिणाम खोज रहा हूं।

आपके क्षेत्र में सबसे सामान्य / अप्रत्याशित परिणाम (सामान्य हित के) क्या हैं?

Comments

निकटता से संबंधित: cstheory.stackexchange.com/q/276/4896 और cstheory.stackexchange.com/q/2802/4896

— Sasho Nikolov

eprint.iacr.org/2014/827.pdf $\;$

Sasho के लिंक का दूसरा एक डुप्लिकेट है, नहीं?

— हक बेनेट

समान लेकिन समान नहीं। मैं उन परिणामों की तलाश कर रहा हूं जो सामान्य सीएसएस / गणित के लिए दिलचस्प और प्रतिस्पद्र्धात्मक हैं, न कि शोधकर्ताओं को कम आंकने वाले। उदाहरण के लिए IP = PSPACE एक अच्छा जवाब नहीं होगा।

— अनाम

पर्याप्त रूप से बड़े इनपुट आकारों के लिए, पहले से कम समय में प्राथमिकता तय की जा सकती है$\hspace{.85 in}$ सबसे तेजी से ज्ञात तरीका एक आरएसए मापांक फैक्टरिंग का एक गैर-नगण्य मौका है। $\hspace{.76 in}$

Answer 1

एक सामान्य दर्शक के लिए आपको उन चीजों से चिपके रहना होगा जो वे देख सकते हैं । जैसे ही आप सिद्धांत देना शुरू करते हैं वे अपने मोबाइल फोन शुरू कर देंगे।

यहां कुछ विचार दिए गए हैं, जिन्हें पूरा करने के लिए उदाहरण दिए जा सकते हैं:

1. एक सतह है जिसका केवल एक पक्ष है ।
2. एक वक्र एक पूरे वर्ग को भर सकता है ।
3. कर रहे हैं निरंतर चौड़ाई घटता वृत के अलावा अन्य।
4. विमान को तीन रंगों से इस तरह से रंगना संभव है कि हर सीमा बिंदु एक त्रि-सीमा है ।

यदि आप थोड़ा गणितीय ज्ञान पर भरोसा कर सकते हैं, तो आप और अधिक कर सकते हैं:

1. जितनी भी प्राकृतिक संख्याएं हैं, उतनी ही विषम संख्याएँ हैं।
2. एक निरंतर और कहीं न कहीं विभेदी क्रिया है ।
3. एक फ़ंक्शन जो सभी तर्कसंगत संख्याओं में अलग है और सभी अपरिमेय संख्याओं में भिन्न है।$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. द बानाच-टार्स्की "विरोधाभास" ।

प्रोग्रामर के लिए आप कोशिश कर सकते हैं:

1. असंभव functionals : वहाँ एक प्रोग्राम है जो एक विधेय लेता है p : stream → bool, जहां streamअनंत द्विआधारी दृश्यों के डेटाप्रकार है, और रिटर्न trueयदि और केवल यदि p αहै trueके लिए सभी धाराओं α(जो uncountably कई है), और falseनहीं तो।

2. विश्वसनीय तरीके से टेलीफोन द्वारा पोकर खेलना संभव है जो धोखा देने से रोकता है।

3. लोगों का एक समूह किसी अन्य व्यक्ति के वेतन का पता लगाए बिना उनके औसत वेतन की गणना कर सकता है।

4. एक कार्यक्रम है जो निम्नलिखित गुणों के साथ एक बाइनरी ट्री निर्माण करता है$T$ :

   • पेड़ अनंत है$T$
   • कोई प्रोग्राम नहीं है जो T में एक अनंत पथ का पता लगाता है$T$

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banach-tarski विरोधाभास (और संबंधित विरोधाभास) अनंत के विचार (और जोड़तोड़) के साथ करना है, कुछ ऐसा जो पेशेवर गणितज्ञ भी गलत कर सकते हैं (या इसके बारे में बहुत असहमत हैं) :)

— निकोस एम।

सहमत हो गए, लेकिन यह हमारे महत्वपूर्ण सिद्धांत की तरह है जो लोगों के हित को उजागर करता है। यह उन्हें एक झटका देता है और उन्हें अनंत के बारे में अपने स्वयं के अंतर्ज्ञान पर संदेह करता है।

— एंड्रेज बॉयर

Answer 2

एक विचार स्ट्रीमिंग एल्गोरिदम से कुछ सरल है । संभवतः सबसे अच्छा उम्मीदवार बहुमत एल्गोरिथम है। आप की संख्या एक धारा देख कहो $s_1, \ldots, s_n$ , एक के बाद एक, और आप जानते एक संख्या समय के आधे से ज्यादा होता है, लेकिन आपके पास एक से पता नहीं है। यदि आप केवल एक बार में दो नंबर याद रख सकते हैं तो आप बहुमत संख्या कैसे पा सकते हैं ? इसका उत्तर है मिश्रा-जीस एल्गोरिथ्म।

प्रत्येक समय चरण में आप स्ट्रीम से एक संख्या और एक आवृत्ति काउंटर f स्टोर करते हैं । पर शुरू आप सेट एक्स धारा के पहले नंबर के लिए और प्रारंभ आवृत्ति च तब 1. जब भी आप देख एक नया नंबर है मैं , आप जांच करता है, तो एक्स = एस मैं । यदि x = s i , f से f + 1 बढ़ाएं , अन्यथा f से f - 1 तक घटाएं । यदि f = 0 , x को s i पर सेट करें$x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$और x के ।$f$ वापस । धारा के अंतिम तत्व के बाद, यदि बहुमत तत्व था, तो यह बराबर होगा$1$$x$

एक और विचार चित्रण के लिए प्रसिद्ध खेल है शून्य ज्ञान प्रमाण । मुझे लगता है कि यह ओडेड गोदरेज के कारण है और ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के लिए शून्य ज्ञान प्रमाण के समान है।

उत्तर को स्व-निहित बनाने के लिए, यहाँ खेल है। मान लीजिए आप अपने रंग-अंधे मित्र को विश्वास दिलाना चाहते हैं कि आप हरे से लाल बता सकते हैं। आपके मित्र के पास दो डेक कार्ड हैं, और वह जानता है कि एक ढेर हरा है और दूसरा लाल है। वह आपको देखे बिना निम्नलिखित करता है: प्रायिकता 1/2 के साथ वह प्रत्येक डेक से एक कार्ड खींचता है, प्रायिकता 1/4 के साथ वह बाएं डेक से दो कार्ड खींचता है, और प्रायिकता 1/4 के साथ वह दाहिने डेक से दो कार्ड खींचता है । फिर वह आपको कार्ड दिखाता है और आपसे पूछता है कि क्या वे एक ही रंग के हैं। यदि आप कलर ब्लाइंड नहीं हैं, तो आप हर बार सही उत्तर दे सकते हैं। यदि आप कलर ब्लाइंड हैं, तो आप प्रायिकता 1/2 से असफल हो जाएंगे। तो अब अगर खेल 10 बार खेला जाता है, तो रंग अंधा होने के दौरान हर बार जीतने की संभावना बेहद कम है।

किकर यह है कि अगर आपके दोस्त को पता था कि कार्ड के दो डेक दो अलग-अलग रंग हैं, लेकिन यह नहीं पता था कि कौन सा लाल है और कौन सा हरा है, वह अभी भी इस के अंत में नहीं जानता होगा! तो संक्षेप में:

1. प्रमाणों में यादृच्छिकता के लिए जगह है।
2. आप किसी को उनके बारे में कोई भी जानकारी दिए बिना ही उन्हें समझा सकते हैं।

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मिश्रा-ग्रीज़ के अलावा, मुझे भी लगता है कि जलाशय का नमूना सरल लेकिन अच्छा है।

— जुहो

@ जूहो मैं सहमत हूँ। बूट करने के लिए एक लोकप्रिय साक्षात्कार सवाल :)।

— साशो निकोलेव

Answer 3

एक इकाई के आयतन के आयतन का आयाम सबसे पहले बढ़ता है n बढ़ता है ( 2 , sp , 4 π / 3 , … ) लेकिन n = 6 के लिए घटने लगता है और अंततः 0 के रूप में n → ∞ में परिवर्तित हो जाता है ।$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

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और इसका कारण यूनिट रेडियस के क्षेत्रों पर विचार करने का मनमाना निर्णय है, जैसा कि एक अन्य लंबाई पैरामीटर के विपरीत है। विशेष रूप से, व्यास 1 के गोले की मात्रा गेट-गो से कम हो रही है।

— एमिल जेकाबेक

उच्च आयामों में ज्यामिति के बारे में कई संबंधित मज़ेदार, उलझे हुए तथ्य हैं। उदाहरण के लिए, यूनिट हाइपरक्यूब लें और सभी पक्षों को छूने वाले एक गोले को लिखें। गोलाकार से हाइपरक्यूब का एक कोना कितना दूर है? (उत्तर: आयाम बढ़ने पर यह grows को है। गोले की त्रिज्या 0.5 है , लेकिन केंद्र से घन के कोने तक की दूरी 0.5 $\infty$$0.5$ ।)$0.5\sqrt{n}$

— usul

Answer 4

जटिलता सिद्धांत से एक काउंटर सहज परिणाम पीसीपी प्रमेय है:

अनौपचारिक रूप से कहा गया है कि हर समस्या A के लिए , एक कुशल रैंडमाइज्ड Turing मशीन है जो प्रमाणिक शुद्धता ( A में सदस्यता का प्रमाण ) को सत्यापित कर सकती है और यादृच्छिक बिट्स के लघुगणक संख्या का उपयोग करके और प्रमाण से केवल बिट्स की निरंतर संख्या पढ़ सकती है। निरंतर को 3 बिट तक घटाया जा सकता है। इसलिए, यादृच्छिक सत्यापनकर्ता को घोषित प्रमाण से केवल तीन बिट्स को पढ़ने की आवश्यकता है।$NP$$A$$A$

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"3 बिट्स को कम किया जा सकता है" के लिए संदर्भ क्या है?

— रयान

जिसे Håstad के 3 बिट (या 3 क्वेरी) PCP प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और इसके लिए पूर्णता का त्याग करने की आवश्यकता होती है

— जो Bebel

: यहाँ आप अधिक जानकारी और Håstad के कागज के संदर्भ में लगता है people.csail.mit.edu/madhu/papers/1998/glst.pdf

— मोहम्मद अल-Turkistany

@JoeBebel वास्तव में पूर्णता के साथ 3-बिट सत्यापनकर्ता हैं। हस्ताद का सत्यापनकर्ता "रैखिक" है: यह तीन बिट्स का नमूना लेता है और उनका XOR लेता है। इस तरह के सत्यापन के लिए आपको पूर्णता का त्याग करने की आवश्यकता है। BTW, पीसीपी सबूत हैं जो केवल दो बिट्स को पढ़ते हैं (फिर जरूरी है कि पूर्ण पूर्णता के बिना)। उदाहरण के लिए मेरा उत्तर यहाँ देख cstheory.stackexchange.com/a/20549/4896

— Sasho निकोलोव

Answer 5

$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

Answer 6

MdBs उत्तर / कोण पर निर्माण, TCS में इसकी नींव पर खोज के समय कुछ स्पष्ट का एक क्लासिक परिणाम है (संयुक्त राष्ट्र) का अस्तित्व स्वयं के लिए (संयुक्त राष्ट्र) की अवनति है। 20 ^वीं सदी के हिल्बर्ट के मोड़ पर, उस समय के अन्य प्रमुख गणितज्ञों की सोच को प्रतिबिंबित करते हुए, सोचा कि गणित को व्यवस्थित किया जा सकता है (कुछ इस रूप में कि अब हम एल्गोरिथम के रूप में क्या पहचानते हैं ) और कुछ हद तक "वित्तवाद" की अवधारणा के माध्यम से ( जिसमें चरणों के परिमित अनुक्रम के रूप में एक एल्गोरिथ्म के विचार के मोटे तौर पर समानताएं हैं)। उन्होंने इन पंक्तियों के साथ प्रसिद्ध खुली समस्याओं का प्रस्ताव रखा। उनके (और अन्य) अंतर्ज्ञान शानदार तरीके से गलत हो गए। काउंटरप्रूफ हैGodels प्रमेय और Turings समस्या हल। दोनों शुरू में बेहद अमूर्त अवधारणाएं / परिणाम और लंबे, उच्च तकनीकी कागजात / तर्क थे जो उस समय के अग्रणी गणितज्ञों के लिए समझ में आते थे, लेकिन अब सरल वैचारिक संरचनाओं को परिष्कृत किया जाता है और स्नातक करने के लिए सिखाया जाता है। इन्हें शुरू में एक ही घटना के दो पहलुओं / चेहरे के रूप में नहीं देखा गया था, लेकिन अब वे हैं।

यह भी साबित करने के लिए एक सदी के ~ prove के करीब ले गया कि पूर्णांक डायोफैंटाइन समीकरण अनिर्णायक हैं, हिलबेर 10 वीं समस्या । यह इस अर्थ में प्रतिवाद है कि यह हमेशा ज्ञात था कि संख्या सिद्धांत अत्यंत कठिन था, लेकिन यह अवधारणा कि इसमें कुछ विशिष्ट / पहचानने योग्य समस्याएं वास्तव में "हल करने के लिए असंभव" हो सकती हैं, कुछ समय के लिए लगभग चौंकाने वाला था। अविश्वास की गणित / TCS में भी गहरी चुनौती बनी हुई है क्योंकि हमारे पास Moores कानून के कारण हार्डवेयर में दशकों के घातीय वृद्धि हुई है और अभी तक बड़े पैमाने पर सुपर कंप्यूटर जो अभी भी "इसके खिलाफ शक्तिहीन" हैं। अनिश्चयता के आश्चर्य के कुछ पहलुओं को क्लेन द्वारा पुस्तक गणित, नुकसान की निश्चितता में पाया जा सकता है ।

Comments

ट्यूरिंग का पेपर अत्यंत सारगर्भित / तकनीकी नहीं था । यह वास्तव में काफी सीधा और सुलभ है।

— जेफ

ठीक है, हो सकता है कि आपके लिए, अभी, लेकिन आप कितने अंडरग्रेजुएट हैं जो जानते हैं कि पूरे पेपर का अनुसरण कौन कर सकता है ? क्या आपने इसे स्नातक के रूप में अनुसरण किया ? पूर्ण वास्तविक सामग्री अंडरग्रेजुएट कक्षाओं में शामिल क्यों नहीं हैं? उस एकल पेपर का विश्लेषण करते हुए एक पूरी पुस्तक क्यों लिखी गई है? दशकों के बाद तक खोजे जाने वाले भागों के बारे में क्या पता नहीं है जैसे कि करी-हावर्ड पत्राचार, उच्च स्तरीय प्रोग्रामिंग भाषाओं, आदि?

— vzn

फिर भी, "लंबे, उच्च तकनीकी कागजात / तर्क केवल उस समय के प्रमुख गणितज्ञों के लिए समझ में आते हैं" सटीक राइट ट्यूरिंग कागज़ नहीं है, जो गोडेल के कागजात की तुलना में अधिक सुलभ परिमाण का आदेश है। यह उत्तर गैर-अनुक्रमिकों से भरा है। मैं देख नहीं सकता कि हिल्बर्ट के कार्यक्रम के साथ वित्तवाद का क्या करना है (मुझे यकीन है कि वह एक वित्तवादी नहीं होगा)। मूर के कानून को अनिर्वायता के साथ क्या करना है यह भी मेरे लिए एक पहेली है। क्या आप वास्तव में तेजी से तेजी से हार्डवेयर की उम्मीद करेंगे अनिर्दिष्ट समस्याओं को हल करेंगे ?

— साशो निकोलेव

पूर्ण वास्तविक सामग्री अंडरग्रेजुएट कक्षाओं में शामिल क्यों नहीं हैं? - पर्याप्त समय नहीं।

— जेफ

पर्याप्त रूप से, मैं हिल्बर्ट के वित्तवाद के बारे में नहीं जानता था। मैं केवल आधुनिकतावाद के आधुनिक और बहुत कड़े विचारों से परिचित था। बेहतर होगा यदि आप लोगों को चैट करने के लिए संदर्भित करने के बजाय एक अच्छा उत्तर लिखे, लेकिन मुझे किसी तरह संदेह है कि आप इस सलाह का पालन करेंगे।

— साशो निकोलेव

Answer 7

यह स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन व्यक्तिगत अनुभव से, यह विचार कि आप लगातार कई ऑपरेशनों का उपयोग करके वस्तुओं के संग्रह के औसत का अनुमान लगा सकते हैं, थोड़ा चौंकाने वाला है। और अगर यह थोड़ा बहुत तकनीकी लगता है, तो आप इसे हमेशा चुनावों के चुनाव के बारे में एक बयान में बदल सकते हैं (आपको जनसंख्या के आकार की परवाह किए बिना 3% त्रुटि के साथ नमूना प्राप्त करने के लिए 1300 लोगों की आवश्यकता है)।

इस से संबंधित निश्चित रूप से जन्मदिन का विरोधाभास है।

Answer 8

शायद एक अच्छा उदाहरण (कम्प्यूटेशनल जटिलता से सीधे संबंधित नहीं) सरल कम्प्यूटेशनल मॉडल की ट्यूरिंग सार्वभौमिकता है।

उदाहरण के लिए नियम 110 कुशलतापूर्वक (कमजोर रूप से) सार्वभौमिक है:

0-1 (श्वेत-श्याम) कोशिकाओं की एक (अनंत) सरणी को ठीक से प्रारंभिक और सरल प्रतिस्थापन नियमों को देखते हुए:

हमारे पास "काम करने वाला कंप्यूटर" है! :-)

"कमजोर रूप से" और "कुशल" की परिभाषा के लिए, और साधारण सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों के अन्य उदाहरणों के लिए देखें: टर्लो पास, डेमियन वुड्स; छोटे सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों की जटिलता: एक सर्वेक्षण ।

एक और हैरान करने वाला उदाहरण FRACTRAN "प्रोग्रामिंग लैंग्वेज" की ट्यूरिंग पूर्णता है :

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• $q_i$$n$

$n$

आप अन्य मॉडलों का भी उपयोग कर सकते हैं, जैसे चक्रीय टैग सिस्टम, एंटी-ऑटोमेटा, ....
नहीं-तो-सहज ज्ञान युक्त विचार यह है कि "गणना" लगभग हर जगह छिपी हुई है ... वुल्फराम ने 1192 पृष्ठों को आंकड़ों और पाठ से बेहतर लिखा है। उस विचार को अपनी नई तरह की विज्ञान में व्यक्त करें (हाँ ... हाँ ... कुछ आलोचनात्मक समीक्षाओं के बावजूद मैंने अंततः इसकी एक हार्ड-कॉपी खरीदी :-)

Answer 9

मेरे सिर के ऊपर से कुछ अच्छे उम्मीदवार:

• हर NFA में एक समान DFA होता है

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी

  • एन्क्रिप्टेड तर्कों के साथ एक फ़ंक्शन पर कॉल करना और अपने इनपुट के बारे में जानकारी का खुलासा किए बिना वांछित परिणाम प्राप्त करना

  • आरएसए एनक्रिपियेशन

• रीड-सोलोमन कोड

• countability

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• अधिक दार्शनिक स्तर पर, इसने मुझे चकित कर दिया कि ट्यूरिंग मशीनें सही ढंग से गणना को परिभाषित करती हैं