एक ग्राफ एक अभिविन्यास कब स्वीकार करता है जिसमें सबसे अधिक एक सेंट वॉक पर होता है?

Question

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

इनपुट: एक सरल (अप्रत्यक्ष) ग्राफ ।$G=(V,E)$

प्रश्न: वहाँ के उन्मुखीकरण है संपत्ति संतोषजनक हर के लिए है कि वहाँ सबसे एक (निर्देशित) पर है - की पैदल दूरी पर?$G$$s,t \in V$$s$$t$

इसे समकक्ष रूप से प्रतिपादित किया जा सकता है:

इनपुट: एक सरल (अप्रत्यक्ष) ग्राफ ।$G=(V,E)$

प्रश्न: क्या की संपत्ति का आकलन करने के लिए एक चक्रीय अभिविन्यास है जो कि हर में सबसे अधिक (निर्देशित) - पथ पर है?$G$$s,t \in V$$s$$t$

ग्राफ़ की वह कौन सी श्रेणी है जिसके लिए उत्तर "हाँ" है? क्या यह समस्या बहुपद समय में हल हो सकती है?

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कुछ अवलोकन:

1. यदि ग्राफ द्विदलीय है, तो इसका उत्तर "हां" है।
2. यदि ग्राफ़ में त्रिभुज है, तो इसका उत्तर "नहीं" है।

पहला अवलोकन किनारों को एक विभाजन से दूसरे तक उन्मुख करके निम्नानुसार है। दूसरा अवलोकन जांचना आसान है। इससे मुझे दो गलत अनुमान लगे:

1. इसका उत्तर "हाँ" है यदि और केवल यदि ग्राफ द्विदलीय है। (प्रतिसाद: 5-चक्र)
2. इसका उत्तर "हाँ" है यदि और केवल यदि ग्राफ त्रिभुज-मुक्त है (प्रतिसाद: 5-चक्र वाले किनारे का कार्टेशियन उत्पाद)

Answer 1

यह एनपी-पूर्ण नहीं है-सभी-बराबर -3SAT से कमी के द्वारा। इसे देखने के लिए, इसका अवलोकन करें

• चक्र का एकमात्र मान्य अभिविन्यास वह है जिसमें किनारों को वैकल्पिक झुकाव कहा जाता है।$4$
• चलो एक तीन किनारे अनिर्दिष्ट पथ हो, और के अंतिम बिंदुओं को एक डिग्री दो शीर्ष आसन्न जोड़ने एक बनाने के लिए चक्र। तब का एकमात्र झुकाव जिसे पूरे चक्रों के वैध झुकाव तक बढ़ाया जा सकता है , वे हैं जिनमें एक निर्देशित पथ के रूप में लगातार उन्मुख नहीं है।$P$$P$$5$$P$$5$$P$

हम एक चर के लिए एक चर गैजेट के रूप में के अंतर्गत आता है कि NAE-3SAT उदाहरण के विभिन्न खंड, चिपकाने एक साथ द्वारा साझा एक साझा किनारे पर -cycles। फिर चक्रों में से प्रत्येक में , साझा किनारे के विपरीत किनारे को अन्य चक्रों के साथ लगातार उन्मुख होना पड़ता है। हम इन किनारों के इस निरंतर अभिविन्यास के साथ चर के सत्य मूल्य को जोड़ेंगे। इसके अतिरिक्त, इन चक्रों में से प्रत्येक के किसी भी वैध अभिविन्यास में , एक चक्र से दूसरे में कोई रास्ता नहीं है$v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-साइकल, इसलिए ये गैजेट्स केवल एक दूसरे के साथ अपने किनारों के उन्मुखीकरण में बातचीत कर सकते हैं और लंबे रास्तों के अस्तित्व के माध्यम से नहीं।

हम NAE-3SAT उदाहरण के 3-चर खंड के लिए एक क्लॉज गैजेट बनाते हैं, तीन किनारों के साथ एक साथ ग्लूइंग करके , उपयुक्त तीन वैरिएबल गैजेट्स के साझा किनारों के विपरीत, 3-एज पथ और फिर एक डिग्री जोड़कर एक चक्र में को पूरा करने के लिए -two शीर्ष । जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, यह चक्र लगातार उन्मुख हो सकता है यदि और केवल तभी इसके तीन किनारों को एक निर्देशित पथ के रूप में उन्मुख नहीं किया जाता है, जो (जब सही ढंग से चिपकाया जाता है) सच है अगर और केवल इन अभिविन्यासों से जुड़े सत्य मूल्य सभी नहीं हैं बराबरी का।$4$$P$$P$$5$$5$

वैसे, प्रत्येक - जोड़ी के लिए सबसे अधिक - वॉक के साथ डीएजीएस का अध्ययन "मल्टीट्रीज़", "दृढ़ता से अस्पष्ट रेखांकन", या "मैन्ग्रोव्स" के रूप में किया गया है; देख https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree$s$$t$$s$$t$

Comments

धन्यवाद! मैं इससे पहले मल्टीट्री विकी पर आ गया था। ऐसा लगता है कि वे लगभग वही हैं जो मैं चाहता हूं। एक अंतर यह है कि मैं त्रिभुज की चक्रीय अभिविन्यास नहीं चाहता, लेकिन यह एक मल्टीट्री है।

— ऑस्टिन बुकानन

मैं इसका हवाला देना चाहूंगा। क्या आप मुझे सुरेश के यहाँ या किसी और तरीके के उत्तर के अनुसार उद्धृत करना पसंद करेंगे ?

— ऑस्टिन बुकानन

सुरेश के जवाब में तरीका ठीक है। BTW, पुन: मल्टीट्रीज़: एक त्रिकोण का एसाइक्लिक क्रम ठीक है यदि आप इसे एन-मुक्त आंशिक ऑर्डर के द्विआधारी संबंध के रूप में सोच रहे हैं, लेकिन परिभाषा के डीएजी संस्करण के लिए नहीं, क्योंकि डीएजी को आंशिक रूप से माना जाता है कम और एसाइक्लिक त्रिकोण नहीं है। इसलिए मुझे लगता है कि मल्टीट्रीज़ (डीएजी के रूप में) वास्तव में आपके प्रश्न के समान हैं।

— डेविड एपपस्टीन