क्या इस कवरिंग समस्या की जटिलता ज्ञात है?

Question

चलो एक ग्राफ हो। एक शीर्ष सेट कहा जाता है महत्वपूर्ण है, तो और में कोई शिखर में वास्तव में एक शीर्ष के निकट है । समस्या यह है कि प्रत्येक महत्वपूर्ण सेट लिए जैसे न्यूनतम आकार का एक शीर्ष सेट ।$G=(V,E)$$X\subseteq V$$X\neq\emptyset$$V\setminus X$$X$$S\subseteq V$$S\cap X\neq\emptyset$$X$

इस समस्या की निम्नलिखित अफवाह फैलाने वाली व्याख्या है: वर्टेक्स अफवाह को उसके पड़ोसी तक फैलाता है अगर और केवल अगर सभी अन्य पड़ोसियों को पहले ही सूचित कर दिया जाए। सवाल यह है कि मुझे यह सुनिश्चित करने के लिए शुरू में सूचित करना होगा कि अंत में सभी को सूचित किया जाए।$i$$j$$i$

Comments

इसका एक बहुत सरल समाधान है, इसलिए शायद समस्या में निर्दिष्ट से अधिक स्थितियां हैं; विशेष मामले को अनदेखा करते हुए और यदि जुड़ा हुआ है, तो डिग्री साथ प्रत्येक वर्टेक्स साथ एक महत्वपूर्ण सेट जुड़ा होता है, इसलिए केवल अनन्य रूप से नीच 1 कोने के पड़ोसी ही में हो सकते हैं । यदि इस तरह का एक शीर्ष मौजूद है, तो एक स्टार ग्राफ है और इसका केंद्र (एक सिंगलटन के रूप में) अद्वितीय न्यूनतम । यदि जुड़ा नहीं है, तो प्रत्येक जुड़े घटक को देखें। $X=V$$G$$v$$>1$$V\setminus\{v\}$$S$$G$$S$$G$

— जो बेबल

एक स्टार के लिए पत्तियों के साथ, दो पत्तियों का हर सेट महत्वपूर्ण है, और इसलिए इष्टतम समाधान n-1 पत्ते लेना है। $K_{1,n}$$n\geqslant 2$$n-1$

— थॉमस कालिनोवस्की

ओह, मैं अपना गलत इंटरप्रिटेशन देख रहा हूं

— जो बीबेल

बहुत दिलचस्प सवाल है, एक मामूली वक्रोक्ति: आप शायद अपने महत्वपूर्ण सेटों को गैर-रिक्त होना चाहते हैं (अन्यथा कोई एस नहीं है $S$)।

— क्लॉस ड्रेगर

@JoeBebel: निर्णय समस्या "वहाँ एक समाधान सेट है अधिक से अधिक आकार की ?" एनपी में है। आप जाँच सकते हैं कि क्या एक सेट निम्नलिखित एल्गोरिथ्म द्वारा एक समाधान है। जबकि एक वर्टेक्स _ है जो बाहर पड़ोसी पर है , से को जोड़ें । यदि में अंततः सभी कोने हैं, तो आपका प्रारंभिक सेट एक समाधान था, अन्यथा आप अटक जाते हैं, और अंतिम सेट का पूरक एक महत्वपूर्ण सेट है, इसलिए प्रारंभिक कोई समाधान नहीं था। $S$$K$$S$$v\in S$$w$$S$$w$$S$$S$$S$

— थॉमस कालिनोवस्की

Answer 1

समस्या को प्रसार समस्या के रूप में जाना जाता है । अज़ामी ने अपनी पीएचडी थीसिस में साबित किया है कि भारित संस्करण एनपी-पूर्ण तब भी होता है जब ग्राफ प्लानर होता है और नोड वज़न । अनवेटेड संस्करण के लिए जटिलता एक खुली समस्या लगती है।$\{0,1\}$