क्या यह नियम है कि असतत समस्याएं एनपी-कठिन हैं और निरंतर समस्याएं नहीं हैं?

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अपने कंप्यूटर विज्ञान की शिक्षा में, मैं तेजी से नोटिस करता हूं कि अधिकांश असतत समस्याएं एनपी-पूर्ण (कम से कम) हैं, जबकि निरंतर समस्याओं का अनुकूलन लगभग हमेशा आसानी से प्राप्त होता है, आमतौर पर ढाल तकनीकों के माध्यम से। क्या इसके अपवाद हैं?

cc.complexity-theory co.combinatorics optimization

— alekdimi
स्रोत

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निश्चित रूप से, उनमें से कई हैं। Bipartite और सामान्य मिलान, और न्यूनतम कटौती तीन शास्त्रीय बहुपद समय हल करने योग्य असतत समस्याएं हैं। कई निरंतर गैर-उत्तल अनुकूलन समस्याएं एनपी-हार्ड हैं: एक उत्तल सेट के व्यास का पता लगाना, या 3-डी टेंसर के इंजेक्शन मानक की गणना करना।

— साशो निकोलेव

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यहाँ एक सरल निरंतर अनुकूलन समस्या है जिसे हल करना मुश्किल है: cstheory.stackexchange.com/questions/14630/…

— Jukka Suomela

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मुझे यकीन नहीं है कि आपके मन में क्या समस्याएं हैं, लेकिन कई निरंतर समस्याएं जो "हल की गई" हैं, धीरे-धीरे तरीकों से "हल" नहीं होती हैं: विधि केवल कुछ प्रकार के स्थानीय इष्टतम को ढूंढती है।

— सुरेश वेंकट

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अब तक की सभी प्रतिक्रियाएँ प्रतिपक्ष लगती हैं, लेकिन कुछ मामलों को देखना अच्छा होगा जहाँ यह नियम सही लगता है। दो जो दिमाग में आते हैं वे हैं लेज़र प्रोग्रामिंग बनाम पूर्णांक प्रोग्रामिंग और उत्तल अनुकूलन बनाम सबमॉड्यूलर अधिकतमकरण।

— usul

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मुझे लगता है कि पूरे असतत बनाम निरंतर चीज एक लाल हेरिंग है। एक समस्या को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए बहुत विशेष संरचना होना आवश्यक है। मुझे लगता है कि यहां वास्तविक अंतर यह है कि आसान निरंतर समस्याओं के मामले में विशेष संरचना उत्तलता की ओर जाती है, जबकि आसान असतत समस्याओं के मामले में चीजें अधिक जटिल दिखती हैं: कभी-कभी संरचना सबमॉड्यूलरिटी या मैट्रोइड चौराहा होती है, लेकिन अक्सर ऐसा नहीं होता है। यह शायद इस तथ्य के साथ अधिक है कि हम अभी तक असतत गणित को बहुत अच्छी तरह से नहीं समझते हैं।

— साशो निकोलेव

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एक उदाहरण जो मुझे पसंद है वह समस्या है, जहाँ अलग-अलग , यह तय करें कि: $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{N}$

\int_{- π}^{π} \cos (a_{1} z) \cos (a_{2} z) \dots \cos (a_{n} z) d z \neq 0

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(a_1 z) \cos(a_2 z) \ldots \cos(a_n z) \, dz \ne 0$

यह पहली बार इस अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए एक निरंतर समस्या की तरह लगता है, हालांकि यह दिखाना आसान है कि यह अभिन्न शून्य नहीं है अगर वहाँ सेट एक संतुलित विभाजन मौजूद है , तो यह अभिन्न समस्या है वास्तव में एनपी-पूर्ण। $\{a_1, \ldots, a_n\}$

बेशक, मैं अपने आप को समझाने के लिए कुछ संख्यात्मक उपकरणों के साथ खेलने के लिए प्रोत्साहित करता हूं कि इस अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए अधिकांश (यदि सभी नहीं) संख्यात्मक चालें विफलता के लिए बर्बाद हो जाती हैं एक बार काफी बड़ा हो जाता है। $n$

— जो बीबेल
स्रोत

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चूंकि हम इस विषय पर हैं, इसलिए इस समस्या का सबसे पहला संदर्भ मैं मूर और मर्टेंस द्वारा "द नेचर ऑफ कम्प्यूटेशन" में पा सकता हूं। वे कोई संदर्भ नहीं देते हैं, इसलिए मुझे लगता है कि या तो उन्होंने इसका आविष्कार किया है, या यह लोककथाओं से आता है। अगर किसी को इस समस्या का स्रोत पता है तो मैं सराहना करूंगा।

— जो बीबेल

संभवत: न केवल सबसे बल्कि सभी संख्यात्मक तकनीकें बड़े पर्याप्त लिए भयावह रूप से ? चूंकि समस्या एनपी-पूर्ण है, इसलिए उस इंटीग्रल का मूल्यांकन करने के लिए एक सटीक संख्यात्मक तकनीक जो में बहुपद को स्केल करती है, P = NP को दिखाने के लिए पर्याप्त होगी।

n

$n$

n

$n$

— ईपी

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सही, एक एल्गोरिथ्म जो हमेशा मूल्यांकन करता है कि में बहुपद में सही ढंग से अभिन्न पी = एनपी दिखाने के लिए पर्याप्त होगा। दूसरी ओर, मैं कुछ संख्यात्मक तकनीकों की संभावना को 100% खारिज नहीं कर सकता कि मैं किसी भी तरह से इस अभिन्न के विशिष्ट उदाहरणों के बारे में अच्छी तरह से नहीं जानता हूं, यहां तक कि जब बड़ा है, तो यह बहुत पसंद है कि एसएटी सॉल्वर अक्सर कैसे सक्षम होते हैं हजारों वैरिएबल वाले कुछ फ़ार्मुलों के लिए संतोषजनक असाइनमेंट खोजने के लिए, भले ही सबसे खराब स्थिति खराब हो। इसलिए, यहां तक कि अगर मुझे संदेह है कि इस तरह के तरीके मौजूद हैं, तो मैंने अपना जवाब थोड़ा सा दिया।

n

$n$

n

$n$

— जो बीबेल

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स्पष्ट रूप से इस समस्या का मूल स्रोत है: डेविड प्लाव्ड, कुछ बहुपद और पूर्णांक विभाजन समस्याएं एनपी-हार्ड हैं। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल, 7 (4): 458-464, 1978. संदर्भ मूर और Mertens के पीछे है, सिर्फ पाठ के शरीर में नहीं।

— जो बीबेल

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प्रपत्र "परीक्षण की कई निरंतर समस्याएं हैं कि क्या इस जुझारू इनपुट को एक ज्यामितीय संरचना के रूप में महसूस किया जा सकता है" जो वास्तविक रूप से अस्तित्व के सिद्धांत के लिए पूर्ण हैं , एनपी का एक निरंतर एनालॉग। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि ये समस्याएं बहुपद के रूप में ठोस होने के बजाय एनपी-कठोर हैं। उदाहरणों में यह परीक्षण करना शामिल है कि क्या दिया गया ग्राफ एक इकाई दूरी का ग्राफ है, क्या दिए गए ग्राफ को सीधी रेखा के सेगमेंट के किनारों के साथ और अधिक से अधिक क्रॉसिंग पर विमान में खींचा जा सकता है, या किसी दिए गए छद्म व्यवस्था को रेखा बनाने के लिए बढ़ाया जा सकता है या नहीं व्यवस्था।

अन्य निरंतर समस्याएं हैं जो और भी कठिन हैं: उदाहरण के लिए, 3 डी में पॉलीहेड्रल बाधाओं के बीच सबसे छोटा रास्ता ढूंढना PSPACE-complete (Canny & Reif, FOCS'87) है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

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'पॉलीहेड्रल बाधाओं के बीच सबसे छोटा रास्ता' केवल नाम में निरंतर है, है ना? हम विन्यास स्थान को कई असतत टुकड़ों के संघात के रूप में सोच सकते हैं, जो कि पथों के दिए गए सेट को 'हग' करते हैं; तब प्रत्येक दिए गए टुकड़े के भीतर स्थानीय अनुकूलन (यानी, बाधाओं के किसी भी सेट के भीतर) सीधा है, लेकिन यह तय करना कि विश्व स्तर पर सबसे अच्छी दूरी किन रास्तों में है, समस्या का कठिन हिस्सा है।

— स्टीवन स्टडनिक

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हालांकि यह आपके मूल प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, यह दार्शनिक प्रतिरूप के एक प्रकार का (विशेषण) उदाहरण है: एक समस्या जहां प्रस्तुति विचलित होती है, लेकिन सभी कठोरता समस्या के 'निरंतर' पहलू से आती है।

$A=\{a_1, a_2, \ldots, a_m\}$ $B=\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ $\sum_{i=1}^m \sqrt{a_i}\leq\sum_{j=1}^n\sqrt{b_j}$ कठोर, यह व्यापक रूप से संदेह है कि यह एनपी-हार्ड हो सकता है और वास्तव में एनपी के बाहर हो सकता है (टिप्पणी के रूप में नोट किया गया है, यह विश्वास करने के उत्कृष्ट कारण हैं कि यह एनपी-पूर्ण नहीं है); तिथि के लिए जाना जाने वाला एकमात्र नियंत्रण कई स्तर है जो बहुपद पदानुक्रम से अधिक है। जाहिर है कि इस समस्या का प्रस्तुतीकरण उतना ही असतत है - पूर्णांक का एक सेट और उनके बारे में हाँ / नहीं का सवाल - लेकिन चुनौती इसलिए पैदा होती है क्योंकि किसी निर्दिष्ट परिशुद्धता के लिए वर्गमूलों की गणना करना एक आसान समस्या है, उन्हें गणना करने की आवश्यकता हो सकती है असमानता को एक तरह से या दूसरे को निपटाने के लिए उच्च (संभावित सुपरपोलीनोमियल) सटीकता के लिए। यह एक 'असतत' समस्या है जो अनुकूलन संदर्भों की एक आश्चर्यजनक संख्या में फसल करती है और अपनी स्वयं की जटिलता में योगदान करने में मदद करती है।

— स्टीवन स्टैडनिक
स्रोत

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मुझे यह उदाहरण बहुत पसंद है, हालांकि यह इंगित करने योग्य है कि यह मानने के मजबूत कारण हैं कि यह एनपी-पूर्ण नहीं है; देखें ( cstheory.stackexchange.com/a/4010/8985 )

— जो

@JoeBebel बहुत अच्छा बिंदु - मैंने अपनी भाषा को थोड़ा प्रतिबिंबित करने के लिए संशोधित किया है। धन्यवाद!

— स्टीवन स्टडनिक

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असतत समस्याएं आमतौर पर कठिन होती हैं (उदाहरण के लिए एलपी बनाम आईएलपी) लेकिन यह स्वयं की समस्या नहीं है। यह समस्या यह है ... कि कैसे बाधाएं प्रभावित करती हैं कि आप अपने डोमेन को कैसे खोज सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप सोच सकते हैं कि एक बहुपद का अनुकूलन एक ऐसी चीज है जिसे आप कुशलतापूर्वक कर सकते हैं, लेकिन चतुर्थांश (डिग्री -4 बहुपद) की उत्तलता का निर्णय लेना एनपी-कठिन है ।

जिसका मतलब है कि भले ही आपके पास पहले से ही किसी तरह से इष्टतम है, बस यह साबित करना कि आप इष्टतम हैं पहले से ही एनपी-हार्ड है।

— mehrdad
स्रोत

मुझे लगता है कि विसंगति भी समस्या का हिस्सा है। उदाहरण के लिए कहें तो आपके पास एलपी का आईएलपी संस्करण होगा। उदाहरण के लिए, आप एलपी संस्करण के लिए समाधान खोजने के उद्देश्य से कर सकते हैं, लेकिन फिर भी 2^n" दिलचस्प पड़ोसी " हैं जिन्हें आपको खोजना होगा।

— विल्म वान ओन्सेम

@CommuSoft: वास्तव में नहीं ... इस विसंगति का मुद्दा नहीं है। सबसे छोटी पथ समस्या की जाँच करें , जो एक असतत समस्या है, लेकिन फिर भी अभिन्न रैखिक प्रोग्रामिंग के एक विशेष मामले को कम कर देता है , जो कि पी-टाइम सॉल्वेबल है ( पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए , जो स्पष्ट रूप से एनपी-हार्ड है)।

— मेहरदाद

यह वास्तव में आश्चर्य की बात नहीं है: चूंकि पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग एनपी-पूर्ण है, पी में हर समस्या (जिसे पाली समय में हल किया जा सकता है), पाली समय में एक आईएलपी समस्या में बदल सकता है।

— विल्म वान ओन्सेम

@CommuSoft: क्या आपने टिप्पणी पूरी तरह से पढ़ी है? मैं ILP के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ।

— मेहरदाद

क्षमा करें, उपवास पढ़ें। लेकिन फिर भी, क्योंकि बाधाएं पूरी तरह से असमान हैं , इसलिए केवल अच्छी तरह से संरचित बाधाओं की "कृपा" से, ऐसी समस्याएं आसान हल करने योग्य हैं। सामान्य विवेक में समस्याओं में एक समस्यात्मक पहलू है।

— विल्म वान ओन्सेम

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हालांकि कुछ लोकप्रिय समस्याओं के लिए, यह वास्तव में सच है, मुझे लगता है कि दोनों धारणाएं हैं - आप एक अनुकूलन समस्या के रूप में जो परिभाषित करते हैं, उसके आधार पर - सच नहीं है।

पहली कुछ परिभाषाएँ: अधिकांश अनुकूलन समस्याएं एनपी का हिस्सा नहीं हैं । उदाहरण के लिए, नॅप्सैक समस्या के लिए : कोई भी गैर-नियतत्ववाद का फायदा नहीं उठा सकता है क्योंकि सबसे मूल्यवान बैग का निर्माण सरल है, क्योंकि विभिन्न गैर-नियतात्मक शाखाओं में कोई साझा मेमोरी नहीं है। एनपी को "पॉलीनोमियलली वेरिफिएबल" (एक प्रमाण पत्र का सत्यापन) के रूप में भी परिभाषित किया गया है [1, p. 34]। इस मामले में प्रमाण पत्र एक बैग के लिए है : एक बिटस्ट्रिंग जहां यदि i -th बिट सेट किया गया है, तो इसका मतलब है कि i -th आइटम बैग का हिस्सा है। आप वास्तव में बहुपद समय की जांच कर सकते हैं यदि ऐसा बैग किसी दिए गए सीमा से अधिक मूल्यवान है (यह निर्णय संस्करण है), लेकिन आप ऐसा नहीं कर सकते - जहां तक हम जानते हैं - एक बैग पर आधारित है, (एक बहुपद संख्या बैग), यह तय करें कि क्या बैग सभी संभावित बैगों में सबसे मूल्यवान है। उदाहरण के लिए एनपी और EXP के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है : EXP में , आप सभी संभावित बैगों पर गणना कर सकते हैं और बुककीपिंग कर सकते हैं कि कौन सा बैग सबसे अच्छा है।

निर्णय संस्करण अनुकूलन समस्याओं के के कुछ मामलों के हिस्से में है एनपी , एक के बीच स्पष्ट अंतर करने की जरूरत को अधिकतम स्वाद और निर्णय स्वाद । निर्णय स्वाद में, सवाल यह है: " एक अनुकूलन समस्या को देखते हुए, और एक उपयोगिता बाध्य है, क्या उस सीमा से अधिक या बराबर उपयोगिता के साथ एक समाधान है " (या एक न्यूनता समस्या के लिए थोड़ा संशोधित)।

मैं भी मान लेते हैं कि द्वारा एनपी आप में से (काल्पनिक) हिस्सा मतलब एनपी कि का हिस्सा नहीं है पी । यदि पी = एनपी , बेशक एनपी-पूर्ण अभी भी मौजूद है, लेकिन यह पी के बराबर होगा (केवल पी के साथ कम होने की कुछ धारणाओं के लिए मेल खाता है, जैसे @ एन्ड्रेसलमोन द्वारा बहुपद-समय कई-एक कटौती), जो कि प्रभावशाली नहीं है ( और " अंतर " को कम कर देगा जिसे आप अपने प्रश्न में बता रहे हैं)।

मैं तेजी से नोटिस करता हूं कि ज्यादातर असतत समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं।

अब जब हमने यह हल कर लिया है कि: बहुत सारी अनुकूलन समस्याएं हैं जो पी में हैं : सबसे छोटी पथ समस्या , अधिकतम प्रवाह समस्या (अभिन्न क्षमताओं के लिए), न्यूनतम फैले हुए पेड़ और अधिकतम मिलान । हालाँकि ये समस्याएं आपको "हल करने के लिए तुच्छ" लग सकती हैं, फिर भी ये अनुकूलन समस्याएं हैं, और कई मामलों में निर्माण (और शुद्धता को साबित करना) इतना आसान नहीं है। इसलिए दावा नहीं करता है कि सभी असतत समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं। दिए गए P , NP के बराबर नहीं है , इसलिए ये समस्याएं NP- पूर्ण नहीं हो सकती हैं ।

$\Sigma^P_i$

जबकि निरंतर समस्याओं का अनुकूलन लगभग हमेशा आसानी से प्राप्त होता है।

एक लोकप्रिय निरंतर समस्या जो एनपी-हार्ड है द्विघात प्रोग्रामिंग है ।

$\vec{x}$

\frac{{\vec{x}}^{T} \cdot Q \cdot \vec{x}}{2} + {\vec{c}}^{T} \cdot \vec{x}

$\dfrac{\vec{x}^T\cdot Q\cdot\vec{x}}{2}+\vec{c}^T\cdot\vec{x}$

A \cdot \vec{x} \leq \vec{b}

$A\cdot\vec{x}\leq\vec{b}$

वास्तव में रैखिक प्रोग्रामिंग लंबे समय से एनपी-हार्ड के रूप में अच्छी तरह से माना जाता है , लेकिन बहुत अच्छी तरह से प्रदर्शन करने वाले हेयुरेटिक्स ( सिम्पलेक्स विधि) के साथ। कर्मकार का एल्गोरिथ्म हालांकि पी में है ।

इस समय से अनुकूलन समस्या गैर-उत्तल वस्तुओं से संबंधित है, सामान्य तौर पर यह कठिन होगा - यदि असंभव नहीं है - एक कुशल एल्गोरिदम खोजने के लिए।

ग्रन्थसूची

[1] कम्प्यूटेशनल जटिलता, एक आधुनिक दृष्टिकोण , संजीव अरोड़ा और बोज बराक

— विलेम वान ओन्सेम
स्रोत

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परिभाषा अनुच्छेद वास्तव में भ्रमित है। Knapsack एक एनपी अनुकूलन समस्या है। यह सच नहीं है कि "यह ज्ञात नहीं है" यदि अनुकूलन संस्करण एनपी में है: यह नहीं है, बस परिभाषा से। इसके अलावा मुझे नहीं लगता कि हम किसी भी समस्या को जानते हैं जो एनपी पर पूरी तरह से एनपी पर सशर्त है न कि पीआई 3-सैट के बराबर एनपी-पूर्ण होगा भले ही पी = एनपी (वास्तव में अगर पी = एनपी पी में हर समस्या एनपी पूरी है)।

— साशो निकोलेव

@ AndrásSalamon: बिंदु लिया गया। मैंने वो हिस्सा हटा दिया। यह वास्तव में थोड़ा टेढ़ा था।

— विलेम वैन ओन्सेम

@ AndrásSalamon: जाहिर है यह सच है। इसलिए यह कहता है: "

— गिविंग

@ AndrásSalamon: ठीक है, तो P=NP, में हर समस्या एन पी-सम्पूर्ण की परिभाषा भाग कर रहा है एनपी है और इस तरह का विस्तार से पी , अब पी का मतलब है एक बहुपद एल्गोरिथ्म है। मुद्दा यह है, मुझे लगता है कि परिवर्तन कोई मायने नहीं रखता है, क्योंकि पी में हर भाषा के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म मौजूद होना चाहिए। चाहे आप (अधिकांश बहुपद में) परिवर्तन लेते हैं या नहीं, अप्रासंगिक है। यह बहुपद रहता है, इस प्रकार पी में । दूसरे शब्दों में, क्योंकि मूल तत्व पी में है , आप हर पॉली-टाइम परिवर्तन को मुफ्त में ले सकते हैं (परिणामस्वरूप हाइपर कॉम्प्लेक्स क्लास नहीं)।

— विलेम वैन ओन्सेम

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अनुकूलन समस्या के रूप में नैकपैक निश्चित रूप से एनपी-पूर्ण नहीं है, क्योंकि यह निर्णय की समस्या नहीं है, इसलिए एनपी में नहीं। किसी भी मामले में, मैं समझता हूं कि आप क्या कह रहे हैं, लेकिन यह इस तरह का अंडरग्रेड स्तर का विवरण है जो मुझे लगता है कि CStheory @ एसई जैसे शोध स्तर के मंच पर दी जानी चाहिए, जैसा कि मुझे स्पष्टीकरण देखने की उम्मीद नहीं है प्रायिकता में अभिसरण कैसे संभव है, इसके बारे में माथोवरफ़्लो पर लगभग निश्चित रूप से अभिसरण नहीं है।

— साशो निकोलोव