क्या निम्नलिखित प्रत्यक्ष-संपत्ति के साथ कार्यों को मौजूद करने के लिए जाना जाता है?

Question

यह प्रश्न या तो बूलियन सर्किट के सर्किट जटिलता के ढांचे में, या बीजीय जटिलता सिद्धांत के ढांचे में, या शायद अन्य सेटिंग्स में बहुत से पूछा जा सकता है। तर्कों की गिनती करके यह दिखाना आसान है, कि एन इनपुट पर बुलियन फ़ंक्शन मौजूद हैं जिनके लिए बहुत अधिक फाटकों की आवश्यकता होती है (हालांकि निश्चित रूप से हमारे पास कोई स्पष्ट उदाहरण नहीं है)। मान लीजिए कि मैं कुछ पूर्णांक एम के लिए एक ही फ़ंक्शन एम बार का मूल्यांकन करना चाहता हूं, इनपुट के अलग-अलग सेटों पर, ताकि इनपुट की कुल संख्या एमएन हो। यही कारण है, हम सिर्फ मूल्यांकन करना चाहते एक ही समारोह के लिएचप्रत्येक समय में।$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

प्रश्न यह है: क्या यह ज्ञात है कि फंक्शंस का एक अनुक्रम (प्रत्येक N के लिए एक फ़ंक्शन) मौजूद है, जैसे कि, किसी भी N के लिए, किसी भी M के लिए, आवश्यक गेटों की कुल संख्या M के बराबर कम से कम एक घातीय कार्य के बराबर है एन? सरल गिनती तर्क काम नहीं करता है क्योंकि हम चाहते हैं कि यह परिणाम सभी एम। के लिए आयोजित हो। एक बीजीय जटिलता सिद्धांत और अन्य क्षेत्रों में इस प्रश्न के सरल एनालॉग्स के साथ आ सकते हैं।$f$

Answer 1

ठीक है, यह गलत है: केवल ओ (एन (एम + 2 ^ एन)) फाटकों का उपयोग करके किसी भी एफ की एम प्रतियां का मूल्यांकन करना संभव है, जो एम * एक्सप (एन) से बहुत कम हो सकता है (वास्तव में, आप रैखिक परिशोधन प्राप्त करते हैं घातांक M के लिए जटिलता)। मुझे एक संदर्भ याद नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि यह निम्नलिखित की तरह कुछ कर सकता है:

सबसे पहले 2 ^ N काल्पनिक इनपुट्स जोड़ें जो सिर्फ कॉन्स्टेंट हैं 0 ... 2 ^ N-1 और अब i'th N-bit इनपुट को xi द्वारा निरूपित करते हैं (इसलिए i <= 2 ^ N के लिए हमारे पास xi = i है, और के लिए 2 ^ एन <i> <= 2 ^ एन + एम हमारे पास मूल इनपुट हैं)। अब हम M + 2 ^ N इनपुट्स में से प्रत्येक के लिए एक ट्रिपलेट बनाते हैं: (i, xi, Fi) जहां पहले 2 ^ N इनपुट के लिए फाई (i) है (एक स्थिरांक जो कि सर्किट में हार्डवार्ड है) और Fi = "*" अन्यथा। अब हम तीनों (i, xi, fi) को कुंजी xi के अनुसार क्रमबद्ध करते हैं, और j'th triplet को (i_j, x_j, f_j) होने देते हैं, इसमें से हम tri_t (i.j, x_j, g_j) को g_j होने देते हैं। f_j अगर f_j "*" नहीं है और g_j को g_j (j-1) होने दें अन्यथा। अब i_j के अनुसार नए ट्रिपल को वापस टाइप करें, और आपको सही स्थानों पर सही उत्तर मिल गए।

Comments

चतुर! एक छोटी सी बात: हमें ट्रिपल को (या किसी और तरीके से, जो यह गारंटी देता है कि फाई के साथ ट्रिपल " " = ") के साथ ट्रिपल से पहले आते हैं ।

— त्सुयोशी इतो

बहुत चालाक, और धन्यवाद। हालांकि, बीजगणितीय जटिलता सेटिंग में कुछ भी समान काम करता है या नहीं?

— मैट हेस्टिंग्स

मैं इस मामले में यह कहने का एक और तरीका अनुमान लगाता हूं कि एम अनन्तता में जाता है कि आप 2 ^ N * 2 ^ N का निवेश कर सकते हैं, जो कि f के सभी मूल्यों के लिए हैश टेबल बनाने के लिए है, और फिर आप O (N) में प्रत्येक कॉपी की गणना कर सकते हैं ) समय। मुझे लगता है कि एक और कारण है कि हमें कम से कम यह नहीं पता होना चाहिए कि क्या ऐसा कुछ सच है, यहां तक ​​कि एन के सैन्य मूल्यों के लिए भी, जो यह है कि यह ज्ञात कम सीमा से बेहतर होगा। आप n '= log n (या शायद n' = loglog n) इनपुट को बड़ी जटिलता के साथ और फिर n / n'copies के साथ इनपुट पाने के लिए पहले जानवर द्वारा बाध्य सुपरलाइनियर लोअर बाउंड के साथ एक फ़ंक्शन का निर्माण करने में सक्षम होंगे। ।

— बोअज़ बराक

ऊपर दिए गए तर्क में कि इस तरह के परिणाम कम सीमा तक क्यों जाते हैं, मुझे नहीं पता कि पुनरावृत्ति की संख्या वास्तव में मामूली है, लेकिन यह अनंत क्षेत्रों पर भी लागू होता है।

— बोअज़ बराक

हाय बोअज़, वास्तव में आपकी टिप्पणी ठीक है कि मुझे इन कार्यों के अस्तित्व में दिलचस्पी क्यों थी। हालांकि, एक सूक्ष्म बिंदु है, "जानवर मजबूर"। यह हो सकता है (जो कि मेरे प्रश्न का उद्देश्य क्या है), कि ऐसे कार्य मौजूद हैं, लेकिन हमारे पास कोई एल्गोरिथ्म नहीं है जो हमें यह प्रदर्शित करने की अनुमति देगा कि किसी दिए गए फ़ंक्शन में यह गुण है। सब के बाद, संपत्ति को भंग करने का एक तरीका प्रतीत नहीं होता है जो संपत्ति को सभी एम के लिए इतनी कम बाध्य रखता है, क्योंकि आपको विभिन्न सर्किटों की अनंत संख्या की जांच करनी होगी। इसलिए, शायद ऐसे कार्य अनंत क्षेत्रों के लिए मौजूद हैं, लेकिन हम इसे नहीं दिखा सकते हैं।

— मैट hastings 13:18 पर

Answer 2

एक और परिणाम है कि आगे जिस तरह की प्रत्यक्ष-राशि की घटना आप देख रहे हैं, उसके लिए संभावनाओं को और कम कर देता है। शैनन का एक प्रसिद्ध प्रारंभिक परिणाम (लूपानोव द्वारा कड़ा हुआ) से पता चला कि सभी बूलियन कार्य आकार सर्किट द्वारा गणना करने योग्य हैं$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"मल्टिपल इनपुट वैल्यूज़ के लिए बूलियन फ़ंक्शंस की गणना करने वाले नेटवर्क"

यह गलत है: जब तक $m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

मुझे ऑनलाइन एक अन-गेटेड कॉपी या लेखक के लिए एक मुखपृष्ठ नहीं मिल सकता है, लेकिन मैं इस कार्यवाही में पूरे कागज पर आया हूं:

बूलियन फ़ंक्शन जटिलता (लंदन गणितीय सोसायटी व्याख्यान नोट श्रृंखला)

Comments

धन्यवाद! क्या टीसीएस में विरोधाभास के बारे में पूछे जाने वाला सवाल नहीं था? यह भी वहाँ एक जवाब के रूप में सेवा कर सकता है :)

— arnab

इस उत्तर के लिए भी धन्यवाद। कार्यवाही पढ़ने में सक्षम नहीं होने पर, मैं अनुमान लगाऊंगा कि पिछले उत्तर के समान यह संभव इनपुटों की परिमित संख्या पर निर्भर हो सकता है, इसलिए फिर से ऊपर जैसा ही प्रश्न है: बीजीय जटिलता मामले में क्या?

— मैट हेस्टिंग्स

वास्तव में, ऐसा प्रतीत होता है कि शैनन ने पहले O (2 ^ n / n) ऊपरी सीमा को साबित किया था; लूपानोव को सही अग्रणी स्थिरांक मिला। मैंने इसे ठीक किया। विवरणों को "सबसे कठिन कार्यों के सर्किट आकार पर सीमा की समीक्षा" में समझाया गया है, फ्रांसेन और मिल्टरसेन द्वारा।

— एंडी ड्रकर

Answer 3

बीजगणितीय जटिलता के बारे में, मुझे एक उदाहरण नहीं पता है, जहां घातीय जटिलता उप-घातीय परिशोधन जटिलता तक जाती है, लेकिन कम से कम एक सरल उदाहरण है कि एम असंतुष्ट प्रतियों की जटिलता एक बार की जटिलता से काफी कम हो सकती है। :

"यादृच्छिक" n * n मैट्रिक्स A के लिए, A द्वारा परिभाषित बिलिनियर फॉर्म की जटिलता, (फ़ंक्शन f_A (x, y) = xAy, जहां x और y लंबाई n के 2 वैक्टर हैं) का ओमेगा (n ^ 2) है ) - यह एक "गिनती की तरह" आयाम तर्क द्वारा दिखाया जा सकता है क्योंकि आपको स्थिरांक लगाने के लिए सर्किट में n ^ 2 "स्थानों" की आवश्यकता होती है। हालांकि, वैक्टरों के अलग-अलग जोड़े (x ^ 1, y ^ 1) दिए गए ... (x ^ n, y ^ n), आप x को n * n मैट्रिक्स X की पंक्तियों में डाल सकते हैं, और इसी तरह y के a एक मैट्रिक्स Y के कॉलम में, और फिर XAY के विकर्ण से सभी उत्तर x ^ iAy ^ i पढ़ें, जहां इस की गणना n ^ 2.3 (या तो) के संचालन में तेजी से मैट्रिक्स गुणन का उपयोग करते हुए, n / n से काफी कम है। ^ 2।

Comments

धन्यवाद, मैं उस उदाहरण को जानता हूं। एक समान यह है कि एक चर में डिग्री एन बहुपद मौजूद हैं जो किसी दिए गए बिंदु पर मूल्यांकन करने के लिए समय n लेते हैं (हालांकि मुझे नहीं लगता कि कोई स्पष्ट उदाहरण हैं, क्या मैं गलत हूं?) हालांकि, एक ऐसे बहुपद का मूल्यांकन कर सकता है? n समय में एन अंक ^ 2 (एन)।

— मैट हैस्टिंग्स

मुझे '80 के दशक के बीजगणितीय प्रत्यक्ष-सम संख्या समस्या पर दो पत्र मिले: "जेजा और ताके द्वारा" प्रत्यक्ष योग अनुमान की वैधता पर ", और बशौटी द्वारा" विस्तारित प्रत्यक्ष योग अनुमान पर "। मैं उनकी सामग्री को संक्षेप में प्रस्तुत नहीं कर सकता, लेकिन शायद वे सहायक होंगे।

— एंडी ड्रकर

Answer 4

यह वुल्फगैंग पॉल द्वारा अध्ययन और हल किया गया था, जो अनिवार्य रूप से चर्चा की गई होल्ड को दर्शाता है।

Comments

अच्छा! क्या कोई संदर्भ है?

— हसीन-चिह चांग। '