क्या जटिलता सिद्धांत में संरक्षण कानून हैं?

Question

कुछ उदाहरणों से शुरू करता हूं। सीवीपी पी में दिखाने के लिए इतना तुच्छ क्यों है लेकिन एल पी में दिखाने के लिए इतना कठिन है; जबकि दोनों पी-पूर्ण समस्याएं हैं।

या प्राण-प्रतिष्ठा कर लें। एनपी (जिसे प्रैट की आवश्यकता थी) में पीआई की तुलना में एनपी में कंपोजिट दिखाना आसान है और आखिरकार पी। में इस विषमता को आखिर क्यों दिखाना पड़ा?

मैं हिल्बर्ट को जानता हूं, रचनात्मकता की जरूरत है, सबूत एनपी आदि में हैं, लेकिन इसने मुझे यह महसूस करने से नहीं रोका है कि आंख से मिलने के अलावा भी बहुत कुछ है।

क्या "काम" की मात्रात्मक धारणा है और क्या जटिलता सिद्धांत में "संरक्षण कानून" है? उदाहरण के लिए, पता चलता है कि भले ही सीवीपी और एलपी दोनों पी-पूर्ण हैं, फिर भी वे "अलग-अलग स्थानों" पर अपनी जटिलताओं को छिपाते हैं - घट में एक (सीवीपी सरल है क्योंकि सभी काम घट में किए जाते हैं?) और भाषा की अभिव्यक्ति में अन्य।

किसी और के साथ भी और कुछ अंतर्दृष्टि के साथ? या हम झिड़कते हैं और कहते हैं / स्वीकार करते हैं कि यह गणना की प्रकृति है?

इस मंच के लिए मेरा पहला सवाल है: उंगलियों को पार कर गया।

संपादित करें: CVP सर्किट वैल्यू समस्या है और LP रैखिक प्रोग्रामिंग है। शुक्रिया सादिक, एक भ्रम को इंगित करने के लिए।

Comments

सबसे पहले, मैंने क्लोजेस्ट वेक्टर प्रॉब्लम (जो एनपी-हार्ड है) के लिए सीवीपी को गलत समझा । तब मैंने नोट किया कि यह सर्किट वैल्यू प्रॉब्लम है । मुझे लगा कि इसका उल्लेख करना मददगार होगा।

— एमएस डौस्ती

दिलचस्प सवाल। यकीन नहीं है कि वहाँ एक दिलचस्प जवाब है :)

— सुरेश वेंकट

सिर्फ एक अवलोकन: एनपी (कहना) की सदस्यता को साबित करने की कठिनाई भाषा की संपत्ति नहीं है, बल्कि एक भाषा के विवरण की संपत्ति है । उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए कुछ प्रयासों की आवश्यकता है कि प्रिम्स का सेट एनपी में है, लेकिन यह तुच्छ है कि पूर्णांक प्रमाण पत्र वाले पूर्णांकों का सेट एनपी में है।

— त्सुयोशी इतो

क्या इस सवाल के शब्दों के अर्थ में संरक्षण कानून के रूप में समय-स्थान के व्यापार के आधार पर लागू नहीं है?

— मेवरिक वू

कम्प्यूटेशनल गहराई (मूल रूप से "तार्किक गहराई") की चार्ल्स बेनेट की धारणा "जटिलता तथ्य प्रदर्शित करने के लिए आवश्यक कार्य" के अंतर्ज्ञान के हिस्से को पकड़ सकती है।

— हारून स्टर्लिंग

Answer 1

यह एक ऐसा सवाल है जो मेरे दिमाग में कई बार चला है।

मुझे लगता है कि देखने के लिए एक जगह सूचना सिद्धांत है। यहाँ मेरा एक अटकल है। एक समस्या को देखते हुए शायद हम इनपुट के रूप में दी गई जानकारी और एल्गोरिथ्म से प्राप्त जानकारी के लिए किसी प्रकार का एन्ट्रोपी मूल्य दे सकते हैं। यदि हम ऐसा कर सकते हैं, तो उस समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम द्वारा आवश्यक कुछ न्यूनतम जानकारी प्राप्त होगी।

एक संबंधित चीज है जिसे मैंने समझ लिया है। कुछ एनपी-पूर्ण समस्याओं में आप पी में एक विवश संस्करण पा सकते हैं; हैमिल्टनियन पथ के साथ यदि आप निर्दिष्ट करते हैं कि ग्राफ एक डीएजी है तो इसे हल करने के लिए एक पी-टाइम एल्गोरिदम है। टीएसपी जैसी अन्य समस्याओं के साथ, अक्सर पी-टाइम एल्गोरिदम होता है जो इष्टतम को अनुमानित करेगा। यह मुझे लगता है, विवश पी-टाइम एल्गोरिदम के लिए, इसके अतिरिक्त जानकारी और रन-टाइम जटिलता में कमी के बीच कुछ आनुपातिक संबंध होना चाहिए। टीएसपी के मामले में हम अतिरिक्त जानकारी ग्रहण नहीं कर रहे हैं, हम उस परिशुद्धता को शिथिल कर रहे हैं, जिसकी मुझे किसी भी प्रकार की एल्गोरिथम सूचना के लाभ पर समान प्रभाव पड़ने की उम्मीद है।

संरक्षण कानूनों पर ध्यान दें

पहले 1900 में एमिली नोथर नाम का जर्मन-अमेरिकी गणितज्ञ बहुत कम था। अन्य बातों के अलावा वह आइंस्टीन और हिल्बर्ट द्वारा गणित के इतिहास में सबसे अधिक आयात महिलाओं के रूप में वर्णित किया गया था। 1915 में उन्होंने प्रकाशित किया जो अब नोथर के पहले प्रमेय के रूप में जाना जाता है । प्रमेय संरक्षण के भौतिक नियमों के बारे में था, और कहा कि सभी संरक्षण कानूनों में भौतिक प्रणाली में एक समान अंतर समरूपता है। कोणीय संवेग का संरक्षण अंतरिक्ष में घूर्णी समरूपता से आता है, रेखीय संवेग का संरक्षण अंतरिक्ष में अनुवाद है, ऊर्जा का संरक्षण समय में अनुवाद है। यह देखते हुए कि औपचारिक अर्थों में जटिलता के संरक्षण के कुछ कानून होने के लिए, लैंग्रेगियन फ़ंक्शन में कुछ इसी अंतर समरूपता की आवश्यकता होगी।

Comments

+1 शानदार जवाब! मेरे पास अक्सर समान संगीत (@MattRS: मुझे ईमेल भेजें) होता है। वैसे, मुझे नहीं लगता कि एमी नोथेर "अल्पज्ञात" है, लेकिन वास्तव में काफी विपरीत है, हालांकि शायद वह टीसीएस में अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है। नोथर्स फर्स्ट प्रमेय भौतिकविदों के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है, और नोथेरियन के छल्ले कम्यूटेट बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक केंद्रीय उद्देश्य हैं। कई अन्य महत्वपूर्ण प्रमेय, ज्यादातर उन क्षेत्रों में, जो उसका नाम भी रखते हैं।

— जोशुआ ग्रोको

हाँ मेरा मतलब है; विज्ञान की गणना करने के लिए अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है। मुझे हमेशा लगा कि अमूर्त बीजगणित को सीएस में अधिक व्यापक रूप से पढ़ाया जाना चाहिए।

— मैट्रो

$\alpha > 1$$\alpha - \epsilon$$\epsilon > 0$

Answer 2

मुझे लगता है कि तर्क हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली तार्किक प्रणाली के भीतर है। प्रत्येक औपचारिक प्रणाली में स्वयंसिद्धों का एक समूह और अनुमान के नियमों का एक समूह होता है ।

एक औपचारिक प्रणाली में एक प्रमाण सिर्फ सूत्रों का एक अनुक्रम है जैसे कि अनुक्रम में प्रत्येक सूत्र या तो एक स्वयंसिद्ध है या अनुक्रम के पहले सूत्रों से प्राप्त किया जाता है जिसमें एक नियम का उल्लंघन होता है। औपचारिक प्रणाली का एक सिद्धांत एक प्रमाण में अंतिम सूत्र है।

एक प्रमेय के प्रमाण की लंबाई, यह मानते हुए कि यह तार्किक प्रणाली में निर्णायक है, पूरी तरह से स्वयंसिद्धों और अनुमान के नियमों पर निर्भर करता है ।

उदाहरण के लिए, प्रस्तावक तर्क पर विचार करें, जिसके लिए कई लक्षण मौजूद हैं: फ्रीज (1879), निकोड (1917), और मेंडेलसन (1979)। ( अधिक जानकारी के लिए यह लघु सर्वेक्षण देखें ।)

$\varphi \to \varphi$

इस समस्या को प्रमाण जटिलता कहा जाता है । Beame & Pitassi उद्धृत करने के लिए :

तर्क के सबसे बुनियादी प्रश्नों में से एक निम्नलिखित है: एक सार्वभौमिक रूप से सत्य कथन (टॉटोलॉजी) को देखते हुए, कुछ मानक स्वयंसिद्ध प्रमाण प्रणाली में कथन के सबसे छोटे प्रमाण की लंबाई क्या है? प्रमेय सिद्ध करने और जटिलता सिद्धांत दोनों के लिए कंप्यूटर विज्ञान में इस प्रश्न का प्रस्ताव तर्क तर्क विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। महत्वपूर्ण संबंधित एल्गोरिथम प्रश्न हैं: क्या कोई ई that cient एल्गोरिथ्म है जो किसी भी सूचना विज्ञान के प्रमाण का उत्पादन करेगा? वहाँ किसी भी tautology का सबसे छोटा सबूत का उत्पादन करने के लिए एक ई algorithm cient एल्गोरिथ्म है? प्रमेय साबित करने और जटिलता के ऐसे सवालों ने एनपी-पूर्णता पर कुक के सेमिनल पेपर को प्रेरित किया, जो कि "प्रमेय-साबित करने की प्रक्रियाओं की जटिलता" के विशेष रूप से हकदार थे और गॉनडेल द्वारा उनके अब तक के प्रसिद्ध पत्र वॉन न्यूमैन के लिए पहले भी चिंतन किया गया था।

Answer 3

मैं उसी दिन इस सवाल के बारे में सोच रहा था, जब मैं भौतिकी पर फेनमैन के कुछ व्याख्यान दोहरा रहा था, और ऊर्जा के संरक्षण पर 4 पाठ करने के लिए आया था । व्याख्यान में फेनमैन एक साधारण मशीन के उदाहरण का उपयोग करता है जो (लीवर या पुली की कुछ प्रणाली के माध्यम से या जो भी हो) कुछ दूरी x द्वारा एक इकाई का वजन कम करता है, और 3 इकाइयों के दूसरे वजन को उठाने के लिए उपयोग करता है। वजन कितना बढ़ाया जा सकता है? फेनमैन अवलोकन करता है कि यदि मशीन प्रतिवर्ती है, तो हमें मशीन के तंत्र के बारे में कुछ भी जानने की आवश्यकता नहीं है - हम इसे एक ब्लैक बॉक्स की तरह मान सकते हैं - और यह हमेशा अधिकतम दूरी को उठाएगा ( x / 3 इस मामले में)।

क्या इसकी गणना में एक एनालॉग है? प्रतिवर्ती संगणना का विचार लैंडौअर और बेनेट के काम को ध्यान में रखता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह उस शब्द की समझ है जिसमें हम रुचि रखते हैं। सहज रूप से, अगर हमारे पास कुछ समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म है जो इष्टतम है, तो वहाँ कोई व्यर्थ "काम" नहीं है जो कि बिटिंग बिट्स किया जा रहा है; एक ही समस्या के लिए एक जानवर बल दृष्टिकोण दूर छोड़ दिया और सही CPU चक्र फेंक दिया जाएगा। हालाँकि, मुझे लगता है कि कोई भी एल्गोरिदम के लिए एक भौतिक रूप से प्रतिवर्ती सर्किट का निर्माण कर सकता है।

मुझे लगता है कि कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए एक संरक्षण कानून से संपर्क करने का पहला कदम यह पता लगाना है कि किस चीज का संरक्षण होना चाहिए। अंतरिक्ष और समय प्रत्येक महत्वपूर्ण मैट्रिक्स हैं, लेकिन यह अंतरिक्ष / समय के व्यापार-नापसंद के अस्तित्व से स्पष्ट है कि न तो खुद से एक ही एक एल्गोरिदम द्वारा कितना "काम" करने के उपाय के रूप में पर्याप्त होने जा रहा है। अन्य मेट्रिक्स जैसे टीएम हेड रिवर्सल या टेप सेल क्रॉसिंग हैं जिनका उपयोग किया गया है। इनमें से कोई भी वास्तव में गणना करने के लिए आवश्यक "काम" की मात्रा के हमारे अंतर्ज्ञान के करीब नहीं लगता है।

समस्या का दूसरा पहलू यह पता लगाना है कि क्या काम में परिवर्तित हो जाता है। एक बार जब आप एक प्रोग्राम से आउटपुट प्राप्त करते हैं, तो वास्तव में यह क्या है जो आपने प्राप्त किया है?

Answer 4

संरक्षण कानून के अस्तित्व का सुझाव देने वाली कुछ टिप्पणियां:

$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

$P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

Answer 5

ताओ गणित में कठिनाई के संरक्षण के कानून के अस्तित्व का सुझाव देते हैं : "किसी भी सामान्य गैर-तुच्छ परिणाम को साबित करने के लिए, कुछ कठिन परिश्रम कहीं करना पड़ता है"।

उनका तर्क है कि कुछ गणितीय प्रमाणों की कठिनाई प्रमेय साबित करने की प्रक्रिया के लिए आवश्यक प्रयास की मात्रा को कमतर करने का सुझाव देती है।