पेयरवाइज स्वतंत्र गॉसियन

Question

$X_1,\ldots,X_k$ (iid gaussians with mean $0$ और variance $1$ ) को देखते हुए , क्या यह संभव है (कैसे?) नमूना के लिए ( $m=k^2$ ) $Y_1, \ldots, Y_m$ ऐसा है कि $Y_i$ युग्मित है। माध्य $0$ और विचरण साथ स्वतंत्र गॉसियन $1$।

Comments

@ सुरेश, $E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$ इसलिए यह काम नहीं लगता है।

— केवह

मुझे पता नहीं क्यों, लेकिन मुझे इस सवाल का एमओ जवाब काफी प्रफुल्लित करने वाला है (पॉइंटर से लेकर आँकड़े एसई तक): mathoverflow.net/questions/46180/…

— सुरेश वेंकट

मैं जिस चीज की तलाश कर रहा था, वह लीनियर कॉम्बिनेशन (जो स्पष्ट रूप से काम नहीं करता है) या पोलीनॉमियल आदि (जो कि तुरंत काम नहीं करता है) लेने जैसा था, लेकिन मैं वास्तव में किसी भी उचित धारणा के बारे में नहीं सोच सकता, जो मैथ्यूफ्लोवर पर शाय का जवाब नहीं मिलता है।

हो सकता है कि आपको MO पर उत्तर को इंगित करने वाले प्रश्न को अपडेट करना चाहिए?

— सुरेश वेंकट

क्या आपको संयुक्त रूप से गौसियन वितरण की आवश्यकता है? यदि ऐसा है, तो आपको जो चाहिए वह असंभव प्रतीत होता है क्योंकि इस तरह का वितरण उसके सहसंयोजक मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है और इस प्रकार, जोड़ीदार स्वतंत्रता और पूर्ण स्वतंत्रता समान होगी।

— महदी चेरघीची

Answer 1

MathOverflow पर पोस्टिंग बताती है कि स्वतंत्र यूनिफ़ॉर्म की एक छोटी संख्या से कैसे जाना है [0,1] यादृच्छिक रूप से बड़ी संख्या में जोड़ी-स्वतंत्र यूनिफ़ॉर्म [0,1] यादृच्छिक चर। आप सीडीएफ में प्रवेश करके यूनिफॉर्म [0,1] और गौसियन के बीच निश्चित रूप से आगे और पीछे जा सकते हैं। लेकिन इसके लिए संख्यात्मक विश्लेषण की आवश्यकता होती है क्योंकि CDF बंद नहीं होता है।

$X_1, X_2$$\arctan(X_1/X_2)$$[0,2 \pi]$

इसी तरह, बॉक्स-मुलर विधि दो स्वतंत्र यूनिफॉर्म [0,1] चर को दो स्वतंत्र गाऊसी यादृच्छिक चर में बदल देती है।

$O(1)$

Answer 2

$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

प्रत्येक विशिष्ट जोड़ी , , जहाँ साइन फंक्शन है। यह स्पष्ट है कि प्रत्येक औसत 0 और विचरण के साथ एक सामान्य चर है। यह देखने के लिए कि वे ऑर्थोगोनल हैं, , उस ध्यान दें। जिसे आसानी से बीच संभावित समानता के विभिन्न मामलों को देखकर बराबर 0 की जाँच की जा सकती है ।$(i,j) \in {[k] \choose 2}$$Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$$\sigma(\cdot)$$Y_{i,j}$$(i,j) \neq (i',j')$

$$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$$ $i,i',j,j'$

पुनश्च: एक पिछले संस्करण ने जोड़ीदार स्वतंत्रता का झूठा दावा किया।

Comments

मैं इस बात का पालन नहीं कर सकता कि उत्पाद शून्य होने का मतलब स्वतंत्रता कैसे होगा।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशीइतो: आपकी आलोचना सही थी, निश्चित रूप से। मैंने अभी भी इस उत्तर को छोड़ दिया है, क्योंकि मुझे लगता है कि यह दिलचस्प है।

— अर्नब

यदि आप अपनी पोस्ट रखना चाहते हैं, तो कृपया पाठकों को भ्रमित करने से बचने के लिए आवश्यक सावधानी बरतें। आप तर्क दे सकते हैं कि आपकी पोस्ट का वर्तमान संस्करण (संशोधन 3) कुछ भी गलत नहीं बताता है। यह सच है, लेकिन सवाल कुछ पूछता है, और आपकी पोस्ट कुछ और जवाब देती है। कृपया यह समझें कि यह पाठकों के लिए बेहद भ्रामक है।

— त्सुयोशी इतो