निर्देशित रेखांकन का समय कवर करें

Question

एक ग्राफ पर एक यादृच्छिक चलने को देखते हुए कवर टाइम पहली बार है (कदमों की अपेक्षित संख्या) जो कि प्रत्येक शीर्ष पर चलना द्वारा कवर (कवर) किया गया है। जुड़े हुए अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए, आवरण समय को द्वारा ऊपरी सीमा के रूप में जाना जाता है $O(n^3)$। में कवर समय घातीय के साथ दृढ़ता से जुड़े डिग्राफ हैं $n$। इस का एक उदाहरण है, एक निर्देशित चक्र से मिलकर संयुक्ताक्षर है $(1, 2, ..., n, 1)$ , और किनारों $(j, 1)$ , कोने से । शिखर से शुरू 1 , एक यादृच्छिक टहलने के लिए उम्मीद समय शिखर तक पहुंचने के लिए n है Ω ( 2 n ) । मेरे दो सवाल हैं:$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) बहुपद कवर समय के साथ निर्देशित रेखांकन के ज्ञात वर्ग क्या हैं? इन वर्गों को ग्राफिकल-प्रमेय गुणों (या) द्वारा संबंधित आसन्न मैट्रिक्स के गुणों द्वारा ( ) कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि A सममित है तो ग्राफ का कवर समय बहुपद है।$A$$A$

2) क्या अधिक सरल उदाहरण हैं (जैसे ऊपर उल्लेखित चक्र उदाहरण) जहां कवर का समय घातीय है?

3) क्या अर्ध-बहुपद आवरण समय के साथ उदाहरण हैं?

मैं इस विषय पर अच्छे सर्वेक्षण / पुस्तकों के लिए किसी भी संकेत की सराहना करूंगा।

Comments

आपका चक्र उदाहरण शायद निर्देशित परिधि के साथ रेखांकन करने के लिए थोड़ा सामान्यीकृत किया जा सकता है एक घातीय कवर समय के साथ 2 Ω ( एन / छ ) । $g$$2^{\Omega(n/g)}$

— डेरिक स्टोले

इसके अलावा, विस्तारक रेखांकन सबसे तेजी से कवर समय की संभावना है।

— डेरिक स्टोले 5

मिहेल के पत्र में बताया गया है कि कैसे चालन के संदर्भ में नियमित डिग्राफ और यहां तक ​​कि सामान्य मार्कोव श्रृंखलाओं के अभिसरण दर को सीमित करना है। इसका उपयोग कवर टाइम बाउंड करने के लिए भी किया जा सकता है (मुझे लगता है)। देखें: ieeexplore.ieee.org/iel2/260/2317/00063529.pdf

— Zeyu

@Zeyu, एक उत्तर होना चाहिए!

— सुरेश वेंकट

फैन चुंग का एक पेपर "लैपलैसियन्स एंड द चेगर इनइक्वालिटी फॉर डायरेक्टेड ग्राफ्स" का पेपर संभवतः प्रासंगिक है। इसमें फिल के पिछले काम के कुछ संकेत भी हैं। springerlink.com/content/pn149711511373w9

— चंद्रा चकुरी

Answer 1

स्पष्ट रूप से बहुपद मिश्रण समय का तात्पर्य बहुपद आवरण समय है। (खैर, सामान्य रूप से नहीं। हमें प्रत्येक शीर्ष पर कम से कम स्थिर संभावना की आवश्यकता है ।) इसलिए Mihail के कागज की जांच करें।$1/poly(n)$ आचरण और मार्कोव श्रृंखला के अभिसरण की -विस्तार का एक संयोजन उपचार जो नियमित रूप से तेजी से मिश्रण साबित होता है। चालन के आधार पर निर्देशित रेखांकन और सामान्य मार्कोव श्रृंखला।

इसके अलावा कागज देख Pseudorandom नियमित द्वि आलेख पर चलता है और आर एल बनाम एल समस्या Reingold, Trevisan, और Vadhan द्वारा। मिहेल के काम के बाद। उन्होंने पैरामीटर परिभाषित किया जो कि λ 2 ( G ) के बराबर है , निरपेक्ष मान में दूसरा सबसे बड़ा प्रतिजन, जब ग्राफ G समय-प्रतिवर्ती है, और सामान्य मार्कोव श्रृंखला के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। इस पैरामीटर का उपयोग G के मिश्रण समय को बांधने के लिए किया जाता है ।$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Comments

मिश्रण समय के लिए, तथाकथित पाइनेरे स्थिरांक (जो अपरिवर्तनीय सेटिंग के लिए वर्णक्रमीय अंतराल का एक सामान्यीकरण है) का उपयोग करके संबंधित रूपरेखा कार्य भी है। लॉरेंट Saloff Coste कुछ नोट (है springerlink.com/content/27114435w5149665 ) इस ढांचे में मार्कोव चेन इलाज। टेटली और मोंटेनेग्रो द्वारा एक मोनोग्राफ ( संकाय ।uml.edu/rmontenegro/research/TCS008-journal.pdf) भी है । बेशक, यह मिक्सिंग टाइम के बारे में है, लेकिन ज़ीयू द्वारा बताए गए कवर टाइम को बाउंड करने के लिए उपयोगी हो सकता है।

— पीयूष

Answer 2

कॉलिन कूपर और एलन फ्रेज़ में यादृच्छिक डिग्राफ के संदर्भ में परिणामों का एक सेट है जो ब्याज की हो सकती है। वे यादृच्छिक निर्देशित ग्राफ पर एक सरल यादृच्छिक चलना के गुणों का अध्ययन करते हैं जब एन पी = डी लॉग $D_{n,p}$ । उन्होंने साबित किया है कि:$np=d \log n, d>1$

• के लिए , whp के कवर समय डी एन , पी के लिए उपगामी है घ लॉग ( घ / ( घ - 1 ) ) एन लॉग इन करें n । यदि घ = घ ( एन ) → ∞ साथ n , कवर करने के लिए समय उपगामी है$d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$ ।$n \log n$

• अगर और घ > 1 तो whp सी जी एन , पी ~ घ लॉग ( घ / ( घ - 1 ) $p = d \log n/n$$d>1$ ।$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• चलो और जाने एक्स में समाधान निरूपित ( 0 , 1 ) के एक्स = 1 - ई - डी एक्स । बता दें कि एक्स जी जी एन , पी , पी = डी / एन का विशाल घटक है । फिर व्हॉट सी एक्स जी ∼ डी एक्स ( 2 - एक्स $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$ ।$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• तो एक स्थिर है और जी एन , आर एक यादृच्छिक को दर्शाता आर शिखर सेट पर नियमित ग्राफ [ एन ] के साथ आर ≥ 3 तब whp सी जी एन , आर ~ r - $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$।$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• $m \geq 2$$G_m$$2m$$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$.

See Cooper, C., & Frieze, A. Stationary distribution and cover time of random walks on random digraphs. Journal of Combinatorial Theory, Series B. (2011).