रेखीय विस्तार रेखांकन के लिए डिग्री सेट

Question

एक रेखीय विस्तार $L$ एक poset की के तत्वों पर एक रेखीय क्रम है , जैसे कि में का तात्पर्य में सभी के लिए ।पी एक्स ≤ y पी एक्स ≤ y एल एक्स , वाई ∈ $\mathcal{P}$$\mathcal{P}$$x \leq y$$\mathcal{P}$$x \leq y$$L$$x,y\in\mathcal{P}$

एक रेखीय विस्तार ग्राफ एक पॉकेट के रैखिक एक्सटेंशन के सेट पर एक ग्राफ है, जहां दो रैखिक एक्सटेंशन बिल्कुल सटे हुए हैं यदि वे तत्वों के एक बगल स्वैप में a एर करते हैं।

निम्न चित्र पर -poset के रूप में जाना जाने वाला पोज़ेट है, और इसका रैखिक विस्तार ग्राफ है, जहाँ ।ए = 1234 , बी = 2134 , सी = 1243 , डी = 2143 , ई = $N$$a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

(यह आंकड़ा काम से लिया गया है ।)

जब आप रैखिक विस्तार रेखांकन (लेग) का अध्ययन करते हैं, तो आप एक विचार (अनुमान) के साथ आ सकते हैं कि अगर - एक पैर की अधिकतम डिग्री, - सम्मानजनक, न्यूनतम डिग्री, तो किसी भी पैर का डिग्री सेट होते हैं। और उनके बीच प्रत्येक प्राकृतिक संख्या। उदाहरण के लिए, आइए एक पोज लें, जिसे शेवरॉन के रूप में जाना जाता है, फिर इसके लेग में और , और भी, के अनुसार हमारे अनुमान के अनुसार, 4 और 3 डिग्री के साथ रेखांकन ग्राफ में निहित हैं। तो, सवाल यह है कि क्या हम इस अनुमान को साबित या खारिज कर सकते हैं?δ Δ , δ जी Δ ( जी ) = 5 δ ( G ) = $\Delta$$\delta$$\Delta,\delta$$\mathcal{G}$$\Delta(\mathcal{G})=5$$\delta(\mathcal{G})=2$

लेग्स के बारे में और वे कैसे दिखते हैं जैसे कि यहां मारीके मासो के शोध प्रबंध में पढ़ा जा सकता है । शेवरॉन और इसके पैर को शोध प्रबंध के पृष्ठ 23 पर देखा जा सकता है।

डिग्री सेट पर कपूर SF एट अल द्वारा शास्त्रीय पेपर " रेखांकन के लिए डिग्री सेट " है।

Comments

एक रेखीय विस्तार ग्राफ क्या है? यह कहना है, क्या आप परिभाषा को प्रश्न में मोड़ सकते हैं ताकि यह थोड़ा अधिक आत्म-निहित हो?

— सुरेश वेंकट

यह अनुमान प्यारा है। क्या अनुमान के लिए कोई प्रेरणा या ज्ञात अनुप्रयोग है? (दूसरे अनुमानों पर कटौती कहें।)

— सीन-चिह चांग 之

इस अनुमान के लिए @ Hsien-Chih चांग प्रेरणा तब है जब हम यह साबित करते हैं कि हम किसी दिए गए रेखीय विस्तार ग्राफ के अधिकतम और न्यूनतम डिग्री को जानकर ही निर्धारित डिग्री की सामग्री को जान पाएंगे।

— ऑलेक्ज़ेंडर बॉन्डारेंको

Answer 1

मुझे लगता है कि मैंने इसे कल साबित कर दिया। इस प्रकार यहाँ प्रूफ का स्केच जाता है। सबसे पहले, निम्न लीमा सिद्ध होती है।

लेम्मा । चलो आंशिक आदेश, - जी ( पी ) - अपनी रेखीय विस्तार ग्राफ और वी 1 , वी 2 - के दो आसन्न कोने जी ( पी ) । तब | डी ई जी ( वी 1 ) - डी ई जी ( वी 2 ) | ≤ २ ।$\mathcal{P}$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$G(\mathcal{P})$$|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

सबूत का स्केच।

उसी समय, पी के रैखिक विस्तार हैं जैसे कि उनमें से एक, वी 1 कहते हैं, वी 2 में आसन्न तत्वों (आसन्न ट्रांसपोज़िशन) के एक ट्रांसपोज़िशन द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है । यह (पर विचार करें, के लिए उदाहरण के लिए, देखना आसान है घ और ई ऊपर चित्र से) किसी भी तत्व है कि x मैं किसी भी रैखिक विस्तार के एल = एक्स $v_1,v_2$$\mathcal{P}$$v_1$$v_2$$d$$e$$x_i$ अधिकतम दो पर अतुलनीय आसन्न तत्वों की संख्या बदल सकते हैं:$L=x_1x_2\dots x_n$

1. यदि सब पर तो स्थानांतरित किया जा सकता है कम से कम एक अपने पड़ोसी देश, कहते हैं कि एक्स मैं + 1 , यह करने के लिए अतुलनीय है ( एक्स मैं ∥ एक्स मैं + 1 , अगर तुलनीय तो एक्स मैं ⊥ एक्स मैं + 1 )। नोट: ट्रांसपोज़ करने से पहले हमारे पास L 1 = … x i - 1 x i x i + 1 x i + 2 … और तुरंत बाद - L 2 = $x_i$$x_{i+1}$$x_i\parallel x_{i+1}$$x_i\perp x_{i+1}$$L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ ।$L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
2. आइए हम विचार करें कि एल में अतुलनीयताओं की संख्या (रैखिक विस्तार की डिग्री के रूप में ) कैसे बदल सकती है। हम पहले जोड़ी पर विचार करते हैं x i x i + 2 । के लिए एक्स मैं - 1 एक्स मैं + 1 ही निष्कर्ष समरूपता द्वारा इस प्रकार है।$G(\mathcal{P})$$L$$x_ix_{i+2}$$x_{i-1}x_{i+1}$

यदि है, तो घ ई जी ( एल ) नहीं बदलता है। यदि एक्स मैं + 1 ⊥ ( ∥ ) एक्स मैं + 2 ∧ एक्स मैं ∥ ( ⊥ ) एक्स मैं + 2 है, तो घ ई $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$$deg(L)$$x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ बढ़ता (घटता है) प्रमाण का स्केच पूरा होता है।$deg(L)$

प्रमेय । चलो - एक रेखीय विस्तार ग्राफ। तो जी ( पी ) शामिल कोने v 1 , वी 2 के साथ घ ई जी ( v 1 ) = कश्मीर , घ ई जी ( वी 2 ) = कश्मीर + 2 है, तो वहाँ वी 3 ∈ जी ( पी ) ऐसा है कि घ ई जी ( v 3$G(\mathcal{P})$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$$v_3\in G(\mathcal{P})$ ।$deg(v_3)=k+1$

सबूत का स्केच।

Suppose $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ are adjacent in $G(\mathcal{P})$, otherwise any vertex with degree $k$ in $G(\mathcal{P})$ is adjacent with some vertex if such exists with degree $k+1$.

Let us consider the case where we have $L_1,L_2$ from the previous lemma such that

और x मैं - 1 ⊥ एक्स मैं ∧ एक्स मैं - 1 ∥ एक्स मैं + 1

$$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$$ $$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$$

इस प्रकार ।$deg(L_2)=deg(L_1)+2$

अब हमें शुरू करते हैं पक्षांतरित $x_{i+1}$ की दिशा में । यह देखना आसान है कि आखिरकार हम उस स्थान पर रुक सकते हैं जहां$x_1$

कुछ के लिए j < मैं - 1 । सबूत का स्केच पूरा हो गया है।

$$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$$ $j<i-1$

Comments

प्रमेय के प्रमाण में, मैं पहले वाक्य का पालन नहीं करता। अंकन के बारे में, मैं आमतौर पर देखा है कि निरूपित किया जाता एक्स और वाई तुलनीय है। $x \sim y$$x$$y$

— एन्द्रस सलामोन

@ एंड्रस सलामोन I ने प्रमेय प्रमाण के पहले वाक्य में कुछ स्पष्टीकरण ( की डिग्री) जोड़े । $v_1,v_2$

— ओलेकेंड्रा बोंडारेंको

$x\perp y$