क्या सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में कोई उल्टा परिणाम है?

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कुछ गणित और तर्क विरोधाभास स्वचालित रूप से शायद कंप्यूटर पर लागू हो सकते हैं, लेकिन क्या कोई विरोधाभास है जो कंप्यूटर विज्ञान में ही खोजा गया था?

विरोधाभासों से मेरा मतलब है कि एक अंतर्विरोध की तरह दिखने वाले काउंटर के सहज परिणाम।

big-list

— सर्ग
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क्या आप उन चीजों की तलाश कर रहे हैं जो विरोधाभास या वास्तविक असंगति महसूस करते हैं (जैसे रसेल के विरोधाभास)?

— राफेल

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मैं इस सवाल के लिए एक उपयुक्त टैग नहीं जानता, शायद [बड़ी तस्वीर] या [नरम-सवाल]। क्या आप अपने द्वारा उल्लेखित गणित विरोधाभासों का उदाहरण दे सकते हैं ताकि हम जान सकें कि आप किस बारे में बात कर रहे हैं?

— केवह

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जाहिर है, कंप्यूटर विज्ञान में कोई ज्ञात विसंगतियां नहीं हैं --- यह चिंताजनक होगा। क्या आप अभी-अभी नतीजे देख रहे हैं? क्या PCP प्रमेय, क्लेन के पुनरावर्तन प्रमेय और सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोकरंसी जैसे परिणाम आपके लिए विरोधाभास के रूप में गिनने के लिए पर्याप्त हैं?

— थॉमस

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@serg, यह वास्तव में उपयोगी होगा यदि आप अपने प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए प्रतिक्रिया दे सकते हैं। या तो आप अपने प्रश्न का अर्थ बहुत ही "नरम" अर्थ में लगाते हैं, जो थॉमस सुझाव देता है - जिस स्थिति में प्रश्न को बड़ी तस्वीर के रूप में सही ढंग से टैग किया गया है और मेरे नीचे का उत्तर ऑफ-टॉपिक है, या आप इसे कुछ तकनीकी अर्थों में समझते हैं ("एप्लिकेशन और" कंप्यूटर विज्ञान में तार्किक विरोधाभासों का प्रभाव ") जिस स्थिति में आपके प्रश्न को lo.logic टैग किया जाना चाहिए, न कि बड़ी तस्वीर। या आप कुछ और पूरी तरह से मतलब है कि हम चार टिप्पणीकारों का अनुमान नहीं है!

— रोब सिमंस

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प्रतिवाद समय का एक कार्य है। तथ्य यह है कि इतने सारे अलग-अलग प्रश्न सभी एनपी-पूर्ण निस्संदेह करप के कागज से पहले प्रतिरूप थे, जैसा कि यह तथ्य था कि चैनल शैनन के पहले निश्चित सूचना क्षमता रखते हैं। हालाँकि, अब लोगों को इन परिणामों के लिए इस्तेमाल किया जाता है।

— पीटर शोर

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मुझे लगता है कि नेटवर्क प्रवाह बहुपद समय काउंटर सहज ज्ञान युक्त है। यह कई एनपी-हार्ड समस्याओं की तुलना में पहली नज़र में बहुत कठिन लगता है। या इसे अलग तरह से कहें तो, सीएस में कई परिणाम हैं जहां उन्हें हल करने के लिए दौड़ने का समय उस तरीके से बेहतर है जो आप इसकी अपेक्षा करेंगे।

— सरियल हर-पेलेड
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ditto: मेरे पास छात्रों ने नेटवर्क प्रवाह के गैर-इंट्रुवेन्टेस पर टिप्पणी की है, और यहां तक कि यह तथ्य कि पॉली टाइम में मिलान किया जा सकता है, बहुत आश्चर्यचकित करता है।

— सुरेश वेंकट

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मैं काफी सहमत नहीं हूँ। नेटवर्क प्रवाह को रेखीय प्रोग्रामिंग के लिए आसानी से कम किया जा सकता है ताकि आप दावा कर रहे हैं कि रैखिक प्रोग्रामिंग P में है। शायद। लेकिन दोहरेपन से पता चलता है कि एलपी एनपी और सह-एनपी में है जो कम से कम यह सुझाव देता है कि यह उतना कठिन नहीं हो सकता है। जो कम सहज है वह यह है कि मिन-कट पी में हल है क्योंकि यह स्वाभाविक रूप से एक "आंशिक" समस्या नहीं है।

— चंद्रा चकुरी

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प्रति-सहज परिणामों का एक परिवार संपूर्ण है "परिणामों के निम्न बाध्य" परिवार को साबित करने के लिए एक ऊपरी बाध्यता है। मेयर नतीजा यह है कि तात्पर्य इस का एक उदाहरण है, और यह है कि फिर से एक ऊपरी इस्तेमाल किया दोनों केतन मुल्म्ूले के GCT काम के साथ-साथ रयान विलियम्स 'हाल ही परिणाम से मेरे मन में आए CCCUIT-SAT के लिए संदर्भ में लिए एक निचली सीमा को साबित करने के लिए बाध्य । $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P}/poly$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{ACC}$

— सुरेश वेंकट
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सुरेश, मेयर के परिणाम का संदर्भ प्रदान करें।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

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मुझे नहीं पता कि क्या इसका सीधा संदर्भ है। कार्प-लिप्टन पेपर ( संकाय ।cs.tamu.edu/chen/courses/637/2008/pres/ ashraf.pdf ) इस परिणाम के साथ मेयर को श्रेय देता है, लेकिन कोई उद्धरण नहीं है।

— सुरेश वेंकट

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SAT में एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म है यदि केवल P = NP। हमें नहीं पता कि पी = एनपी। हालाँकि, मैं SAT के लिए एक एल्गोरिथ्म लिख सकता हूं जो कि बहुपद-काल है यदि P = NP सत्य है। मैं इसके लिए सही संदर्भ नहीं जानता, लेकिन विकिपीडिया पेज इस तरह के एक एल्गोरिथ्म देता है और लेविन को श्रेय देता है।

— mikero
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इसी तरह, हमारे पास फैनिंग के लिए एक सिद्धतम रूप से इष्टतम एल्गोरिदम है जो कि बहुपद समय में चलता है यदि फैक्टरिंग पी में है, फिर भी हम नहीं जानते हैं कि फैक्टरिंग पी में है (या इस इष्टतम फ़ंक्शन के रनटाइम का विश्लेषण कैसे करें)।

— रोस स्नाइडर 12'10

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इसे आम तौर पर "लेविन सार्वभौमिक खोज" के रूप में संदर्भित किया जाता है और सही संदर्भ है: एल लेविन, सार्वभौमिक गणना समस्याएं। सूचना प्रसारण की समस्याएं, 9 (3): 265--266, 1973 (रूसी से अनुवादित)। यह वही पेपर है जिसमें लेविन ने एनपी-पूर्णता (कुक एंड कार्प भी देखें, लेकिन जहां तक मुझे पता है उनमें से किसी ने भी एक इष्टतम सार्वभौमिक खोज एल्गोरिथ्म की धारणा नहीं पेश की है)। अंग्रेजी अनुवाद ट्राख्टेनब्रोट के प्रसिद्ध सर्वेक्षण में पाया जा सकता है: doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/MAHC.1984.10036

— जोशुआ ग्रोचो

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कम्प्यूटेबिलिटी निश्चित रूप से अधिकांश छात्रों पर शिकंजा कसती है। उच्च भ्रम की दर के साथ एक सुंदर उदाहरण यह है:

$f(n) := \begin{cases}1, \quad \pi \text{ has } 0^n \text{ in its decimals} \\\\ 0, \quad else\end{cases}$

क्या कम्प्यूटेबल है? $f$

इसका जवाब है हाँ; एक चर्चा यहाँ देखें । अधिकांश लोगों को तुरंत निर्माण की कोशिश वर्तमान ज्ञान के साथ। यह काम नहीं कर सकता है और एक कथित विरोधाभास की ओर जाता है जो वास्तव में सिर्फ सूक्ष्मता है। $f$

— राफेल
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यह मेरे लिए उन समस्याओं में से एक की तरह प्रतीत होता है, जहां इसकी सारी चालबाजी यह बताई गई है। यह मुझे एक एल्गोरिथ्म लेने की याद दिलाता है, यह मानते हुए कि n कुछ स्थिर है और यह घोषणा कर रहा है कि एल्गोरिथ्म अब निरंतर समय में चलता है। कठिन प्रश्न लोग आमतौर पर सोचते होंगे कि आप पूछ रहे हैं कि क्या हम एक प्रोग्राम लिख सकते हैं जो या तो पीआई साबित करेगा जिसमें सभी n के लिए 0 ^ n स्ट्रिंग है या यह सबसे बड़ा n निर्धारित करेगा जिसके लिए यह सत्य है।

— जोसेफ गार्विन

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निश्चित रूप से, लेकिन वे जिस तरह से सोचते हैं, वह फ़ंक्शन के सूत्रीकरण की चालबाजी को स्पष्ट नहीं करता है, लेकिन लोग अस्तित्व और निर्माण के बीच के अंतर को नहीं समझते हैं।

— राफेल

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एक आश्चर्यजनक और काउंटर सहज परिणाम यह है कि , 1990 के आसपास अंकगणित का उपयोग कर साबित हुआ। $IP = PSPACE$

जैसा कि अरोड़ा और बराक ने कहा था (पृष्ठ 157) "हम जानते हैं कि अकेले बातचीत हमें एनपी से बाहर की कोई भाषा नहीं देती है। हमें यह भी संदेह है कि अकेले रैंडमाइजेशन से अभिकलन में महत्वपूर्ण शक्ति नहीं जुड़ती है। इसलिए रैंडमाइजेशन के संयोजन में कितनी शक्ति हो सकती है। बातचीत प्रदान करते हैं? "

जाहिरा तौर पर काफी एक सा!

— हक बेनेट
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जैसा कि फिलिप ने कहा, राइस का प्रमेय एक अच्छा उदाहरण है: संगणना का अध्ययन करने से पहले किसी का अंतर्ज्ञान यह है कि निश्चित रूप से कुछ ऐसा होना चाहिए जो हम अभिकलन के बारे में गणना कर सकें। यह पता चला है कि हम केवल कुछ गणनाओं के बारे में कुछ गणना कर सकते हैं ।

— मैक्स
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मार्टिन एस्कोर्डो के प्रकाशनों के बारे में कैसे पता चलता है कि अनंत सेट हैं जो आसानी से परिमित समय में खोजे जा सकते हैं? मिसाल के तौर पर, '' बेमिसाल असंभव कार्यात्मक कार्यक्रमों '' के आधार पर, एफ़रार्डो का अतिथि ब्लॉग पोस्ट करें ।

— डोमिनिक मुलिगन
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रिकर्सियन प्रमेय निश्चित रूप से पहली बार जब आप इसे देखते हैं तो काउंटर-सहज ज्ञान युक्त लगता है। अनिवार्य रूप से यह कहता है कि जब आप ट्यूरिंग मशीन का वर्णन कर रहे हैं, तो आप यह मान सकते हैं कि उसके पास स्वयं के विवरण तक पहुंच है। दूसरे शब्दों में, मैं ट्यूरिंग मशीन बना सकता हूं जैसे:

टीएम एम स्वीकार करता है यदि if n कई बार एम 1 के स्ट्रिंग प्रतिनिधित्व में "1" की संख्या से अधिक है।

TM N एक संख्या n में लेता है और स्वयं की n प्रतियां आउटपुट करता है।

ध्यान दें कि यहां "स्ट्रिंग प्रतिनिधित्व" अनौपचारिक पाठ विवरण का उल्लेख नहीं कर रहा है, बल्कि एक एन्कोडिंग है।

— मार्क रितब्लेट
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जटिलता-सिद्धांत संबंधी मान्यताओं के आधार पर सूचना-सिद्धांत संबंधी परिणामों को सिद्ध करना एक अन्य प्रति-सहज परिणाम है। उदाहरण के लिए, बेलारे एट अल। अपने पेपर में (सत्य) सांख्यिकीय शून्य ज्ञान की जटिलता ने रचनात्मक रूप से साबित कर दिया कि प्रमाणित असतत लॉग धारणा के तहत , कोई भी भाषा जो ईमानदार-सत्यापनकर्ता को स्वीकार करती है सांख्यिकीय शून्य ज्ञान को स्वीकार करती है, सांख्यिकीय शून्य ज्ञान को भी स्वीकार करती है।

परिणाम इतना विचित्र था कि इसने लेखकों को चौंका दिया। उन्होंने इस तथ्य को कई बार इंगित किया; उदाहरण के लिए, परिचय में:

यह देखते हुए कि सांख्यिकीय शून्य-ज्ञान एक कम्प्यूटेशनल रूप से स्वतंत्र धारणा है, यह कुछ हद तक अजीब है कि इसके बारे में गुणों को कम्प्यूटेशनल इंट्रेक्टबिलिटी धारणा के तहत साबित किया जा सकता है।

पुनश्च: एक मजबूत परिणाम बाद में ओकामोटो ( सांख्यिकीय शून्य-ज्ञान सबूत के बीच संबंधों पर) बिना शर्त साबित हो गया ।

कुछ शर्तों का विवरण

चूंकि उपरोक्त परिणाम में बहुत सारे क्रिप्टोग्राफिक शब्दजाल शामिल हैं, इसलिए मैं अनौपचारिक रूप से प्रत्येक शब्द को परिभाषित करने का प्रयास करता हूं।

$p$ $p-1$
शून्य ज्ञान : एक प्रोटोकॉल जो बहुपदीय-समयबद्ध दलों को कोई ज्ञान नहीं देता है।
सांख्यिकीय शून्य ज्ञान: एक प्रोटोकॉल जो नगण्य संभावना के अलावा, कम्प्यूटेशनल रूप से अनबाउंड पार्टियों के लिए भी कोई जानकारी नहीं देता है।
ईमानदार-सत्यापनकर्ता शून्य ज्ञान: एक प्रोटोकॉल जो बहुपद-समयबद्ध पार्टियों को कोई ज्ञान नहीं देता है, यदि वे प्रोटोकॉल के अनुसार निर्दिष्ट होते हैं।

— एमएस डौस्ती
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इस तथ्य के बारे में कि स्थायी कंप्यूटिंग # पी-कम्पलीट है, लेकिन कंप्यूटिंग निर्धारक - एक तरह से निरापद ऑपरेशन NC में होता है?

यह अजीब लगता है - यह उस तरह से नहीं था (या शायद यह किया ;-))

— आकाश कुमार
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रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (कमजोर रूप से) बहुपद समय में हल करने योग्य है। यह बहुत ही आश्चर्यजनक लगता है: हम एक उच्च-आयामी पॉलीटॉप के कोने के घातीय संख्या के बीच एक को क्यों खोज पाएंगे? हम ऐसी समस्या को हल करने में सक्षम क्यों होंगे जो इतनी हास्यास्पद है?

उन सभी घातीय-आकार के रैखिक कार्यक्रमों का उल्लेख नहीं करना चाहिए जिन्हें हम दीर्घवृत्त विधि और पृथक्करण oracles, और अन्य विधियों (चर, आदि जोड़कर) का उपयोग करके हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह आश्चर्यजनक है कि बिन पैकिंग के कर्मकार-करप छूट जैसे चरों की एक घातीय संख्या के साथ एक एलपी कुशलता से लगाया जा सकता है।

— साशो निकोलोव
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तथ्य यह है कि समाधान की घातीय संख्या एलपी के लिए अद्वितीय नहीं है। अधिकांश असतत अनुकूलन समस्याओं में एक ही विशेषता है लेकिन उनके पास पॉली-टाइम एल्गोरिदम है, नहीं? एलपी उत्तल अनुकूलन का एक विशेष मामला है जहां एक स्थानीय इष्टतम एक वैश्विक इष्टतम है। हम तर्कहीनता और अन्य तकनीकी कारणों से उत्तल अनुकूलन मोडुलो को एक एप्सिलॉन मुद्दे को भी हल कर सकते हैं। एलपी के लिए, कॉम्बिनेटरियल संरचना के कारण, व्यक्ति इस छोटी त्रुटि समाधान से एक शीर्ष पर कूद सकता है जो सटीक समाधान देता है। अलगाव और अनुकूलन की समानता हालांकि आश्चर्यजनक है।

— चंद्रा चकुरी

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@CraraChekuri मेरे मन में जो था वह यह है कि एक उच्च-आयामी ज्यामितीय खोज समस्या ऐसी लगती है जैसे कि यह कठिन होनी चाहिए..लेकिन वहाँ भी अच्छे कारण हैं कि यह (उत्तलता) क्यों नहीं है। मुझे शायद इसके बजाय अलगाव और अनुकूलन की समानता पर जोर देना चाहिए। उदाहरण के लिए, एकदम सही रेखांकन पर कठिन अनुकूलन समस्याओं को हल करने जैसे बहुत से आश्चर्यजनक परिणाम।

— सैशो निकोलोव

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जब भी मैं ऑटोमेटा सिखाता हूं, तो मैं हमेशा अपने छात्रों से पूछता हूं कि क्या उन्हें यह आश्चर्यचकित करता है कि नॉनडेटर्मिनिज़्म परिमित-राज्य ऑटोमेटा में कोई शक्ति नहीं जोड़ता है (यानी, प्रत्येक एनएफए के लिए एक समतुल्य है - संभवतः बहुत बड़ा - डीएफए)। लगभग आधी कक्षा की रिपोर्ट आश्चर्यचकित करती है, इसलिए आप वहां जाते हैं। [मैं खुद इंट्रो लेवल पर आश्चर्यचकित करने के लिए "फील" खो चुका हूं।]

छात्रों को निश्चित रूप से यह पहली बार आश्चर्य की बात लगती है $R\neq RE$ । मैं उन्हें एक एल्गोरिथ्म का उत्पादन करने के लिए चुनौती देता हूं जो यह निर्धारित करता है कि क्या एक दिया गया जावा प्रोग्राम रुक जाएगा, और वे आम तौर पर छोरों के लिए अंतहीन खोज करने का प्रयास करते हैं। जैसे ही मैं उन्हें छोरों के निर्माण के तरीके दिखाता हूं जिनकी समाप्ति स्पष्ट से दूर है, आश्चर्य कारक दूर हो जाता है।

— Aryeh
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I have found the A simple public-key cryptosystem with a double trapdoor decryption mechanism and its applications paradoxical, because it is a adaptive chosen ciphertext secure scheme which is homomorphic.

— Yasser Sobhdel
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