यदि P = NP, क्या हम गोल्डबैक के अनुमान आदि के प्रमाण प्राप्त कर सकते हैं?

यह एक भोला सवाल है, मेरी विशेषज्ञता से बाहर; माफी पहले से।

गोल्डबैच का अनुमान और गणित में कई अन्य अनसुलझे प्रश्न विधेय गणना में संक्षिप्त सूत्र के रूप में लिखे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, कुक का पेपर "कैन कंप्यूटर रूटीन डिस्कवर गणितीय प्रूफ?" के रूप में अनुमान है कि तैयार करता है

\forall n [(n > 2 \land 2 | n) \supset \exists r \exists s (P (r) \land P (s) \land n = r + s)]

$\forall n [( n > 2 \wedge 2 | n) \supset \exists r \exists s (P(r) \wedge P(s) \wedge n = r + s) ]$

यदि हम बहुपद के लंबे-लंबे प्रमाणों पर ध्यान देते हैं, तो ऐसे प्रमाणों के साथ प्रमेय एनपी में हैं। इसलिए यदि P = NP, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि उदाहरण के लिए गोल्डबैच का अनुमान बहुपद काल में सत्य है या नहीं।

मेरा प्रश्न है: क्या हम बहुपद समय में भी प्रमाण दिखा पाएंगे?

संपादित करें । पीटर शोर और केव की टिप्पणियों के अनुसार, मुझे अपना दावा योग्य होना चाहिए था कि हम यह निर्धारित कर सकें कि गोल्डबैक का अनुमान सही है या नहीं, यदि यह वास्तव में एक लघु प्रमाण के साथ प्रमेयों में से एक है। निश्चित रूप से हम नहीं जानते हैं!

— जोसेफ ओ राउरके
स्रोत

सबसे पहले, गोल्डबैक के अनुमान के एक छोटे (<1000 पेज?) प्रमाण को प्रदर्शित करने के लिए एक छोटा सा प्रमाण होना चाहिए। P = NP का उस पर कोई असर नहीं है।

— पीटर शोर

@ सुरेश, @Kaveh: आपको यह गलत लग रहा है। यहां हमारे पास एक एनपी खोज समस्या का एक ठोस उदाहरण है। यहां जो प्रासंगिक है, वह प्रमेय प्रमेय के एक प्रमाण (उपयुक्त औपचारिक प्रणाली में) का अस्तित्व है।

— क्रिस्टोफर आर्न्सफेल्ट हैनसेन

एक और टिप्पणी यह है कि हम वास्तव में एक एल्गोरिथ्म लिख सकते हैं, कि यदि P = NP किसी दिए गए कथन का प्रमाण देगा, यदि यह कथन की लंबाई और सबसे छोटे प्रमाण की लंबाई में बहुपद में मौजूद है। (यह बहुपद एक बाध्यता है जो सभी प्रमेयों के लिए है), हालांकि यह एक "खगोलीय" एल्गोरिदम होगा।

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हैनसेन

@ जो: नहीं, मैं वास्तव में अभी एल्गोरिथ्म लिख सकता हूं! (यहां तक कि अगर पी = एनपी पता नहीं)। विचार यह है कि लेविन की सार्वभौमिक खोज के रूप में क्या जाना जाता है।

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हैनसेन

@ क्रिस्टोफर: अच्छा! LS के बारे में नहीं जानते थे। मुझे लगता है कि मार्कस हटर एलएस पर एक तरह का सुधार है: "सभी अच्छी तरह से परिभाषित समस्याओं के लिए सबसे तेज़ और सबसे कम एल्गोरिथ्म।" कंप्यूटर विज्ञान की नींव के अंतर्राष्ट्रीय जर्नल, 13 (3): 431-443, 2002।

— जोसेफ

जवाबों:

वास्तव में!

यदि P = NP, न केवल हम तय कर सकते हैं कि Goldbach के Conjecture (या किसी अन्य गणितीय कथन) के लिए लंबाई n का कोई प्रमाण मौजूद है या नहीं, बल्कि हम इसे कुशलता से खोज भी सकते हैं!

क्यूं कर? क्योंकि हम पूछ सकते हैं: क्या पहले बिट पर वातानुकूलित प्रमाण है ..., तो, क्या पहले दो बिट्स पर एक प्रूफ वातानुकूलित है ...., और इसी तरह ...

और आप कैसे जानेंगे n? बढ़ते क्रम में आप सभी संभावनाओं को आज़माएँगे। जब हम i'th संभावना में एक कदम बनाते हैं तो हम प्रत्येक संभावनाओं में से एक चरण 1 (I-1) का भी प्रयास करते हैं।

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

क्या यह लेविन का सार्वभौमिक खोज एल्गोरिथ्म नहीं है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ टर्कीस्टनी: हाँ, यह है!

— दाना मोशकोविट्ज़

दाना ने सवाल का जवाब दिया है। लेकिन यहां व्यावहारिक पक्ष पर कुछ टिप्पणियां दी गई हैं।

ध्यान दें कि ज़ेडएफसी में किसी दिए गए वाक्य को साबित करने के लिए यह जाँचना अनिर्दिष्ट है। का इस पर कोई परिणाम नहीं है। (वास्तव में ) का मतलब है कि जीसी जैसे पहले-आदेश वाले वाक्यों को प्रपोजल टॉटोलॉजी के लिए प्रमाण मिलना आसान है । $P=NP$ $P=NP$ $P=coNP$

यह है अगर वहाँ दिया लंबाई के दिए गए वाक्य का प्रमाण है की जाँच करने के एक निश्चित सिद्धांत (जैसे ZFC) में (एकल में)। इसलिए यदि $NP$ $l$ $P=NP$ $l$

$P=NP$ $l$ $l$ $P=NP$ $P$ $DTime(n^2)$ ), तो कोई भी इस एल्गोरिथ्म को ले सकता है और इसे संभव के साक्ष्य के लिए जांचने के लिए चला सकता है, लेकिन बहुत बड़ी लंबाई जो किसी भी प्रमाण से बड़ी होने जा रही है, जिसे कोई भी मानव कभी भी ले सकता है, और यदि एल्गोरिथ्म को कोई उत्तर नहीं मिलता है, तो वाक्य को साबित करना व्यावहारिक रूप से असंभव है। दाना ने जिस ट्रिक का उल्लेख किया है, वह यहां भी प्रमाण खोजने के लिए काम करेगा।

व्यावहारिक साधनों के लिए:

$P=NP$ $DTime(10000n^{10000})$
यह केवल एक प्रमाण मिलेगा, यदि कोई है (यानी वाक्य ZFC में एक अनिर्दिष्ट वाक्य नहीं है), इसके अलावा प्रमाण को संभवत: छोटा होना चाहिए।
$P\neq NP$ $NP=DTime(n^{\log^* n})$

— कावेह
स्रोत

(n^{10})

$(n^{10})$