कम से कम ऑटोमेटा स्वीकार करने

Question

बुच्ची-ऑटोमेटा (या मुलर-ऑटोमेटा) को कम करने के लिए मानक दृष्टिकोण क्या है? परिमित शब्दों से सामान्य तकनीक को स्थानांतरित करना, अर्थात दो राज्यों को समान होना यदि राज्य स्वीकार किए गए "रनिंग आउट" शब्द समान हैं, तो काम नहीं करेगा। उदाहरण के लिए, बुची-ऑटोमोटन सभी शब्दों को स्वीकार करने के लिए अनंत संख्या के साथ दो राज्यों से मिलकर बनता है, एक प्रारंभिक और एक अंतिम स्थिति, और अंतिम स्थिति में प्रत्येक बार एक पढ़ने के लिए दर्ज किया जाता है, और प्रारंभिक स्थिति हर बार दर्ज की जाती है अलग प्रतीक पढ़ा जाता है। दोनों राज्यों को उपरोक्त विक्षेप द्वारा समान माना जाता है, लेकिन उन्हें ढहने से एक एकल राज्य से एक ऑटोमेटा की पैदावार होती है, और इस तरह हर शब्दों को स्वीकार किया जाता है।

Answer 1

सामान्य तौर पर, $\omega$ नियमित भाषाओं के लिए एक अनूठा न्यूनतम DBW नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, भाषा "असीम एक के कई और असीम कई ख की 'दो 3-राज्य DBWs है (तस्वीर में बदलने के $\neg a$ से $b$ ):

जैसा कि आप देख सकते हैं, वे topologically समकक्ष नहीं हैं।

इसलिए, परिमाण की समस्या परिमित मामले की तुलना में कठिन है, और वास्तव में, यह एनपी-पूर्ण है ।

Comments

मैंने पाया कि तीन 3-राज्य नियतात्मक बुची-ऑटोमेटा, दो संरचनात्मक रूप से बहुत समान हैं (वे सिर्फ उनके बदलावों पर लेबल द्वारा भिन्न होते हैं), लेकिन क्या आप अपनी मशीनों को देने के लिए फिर भी मन लेंगे, बस तुलना के लिए :) लेख के लिए धन्यवाद!

— स्टेफान

@Stefan - उदाहरण जोड़ा।

— Shaull

मेरे पास जो बचा है, वह भी मेरे पास है, लेकिन मेरे पास एक अलग भी है, मैंने इसे अपने प्रश्न में एक संपादन के रूप में पोस्ट किया है।

— स्टेफान डिक

आटोमैटिक मशीन में आपको शामिल किया वह सही नहीं है - यह शब्द स्वीकार नहीं करता है $(bab)^\omega=babbabbabbab...$

— शाल

को ध्यान में रखते DBWs, मैं समस्या अभी भी कठिन है अगर हम एक पर विचार सोच रहा था वर्णमाला, चलो कहते हैं द्विआधारी। तुम क्या सोचते हो? और समतुल्य अवस्थाओं के बारे में, क्या हम किसी भी तरह से हमारे लिए आवश्यक समतुल्य राज्यों की संख्या को सीमित नहीं कर सकते हैं?! उदाहरण के लिए, मेरा मानना ​​है कि कोई केवल एक आउटगोइंग एरो ("सही") के साथ राज्यों की संख्या को सीमित कर सकता है। $constant$

— बदर अबू रदी

Answer 2

इस सवाल ने 80 के दशक में बहुत सारे साहित्य उत्पन्न किए, आंशिक रूप से समस्या के लिए एक बुरे दृष्टिकोण के कारण। यह एक लंबी कहानी है जिसे मैं इस उत्तर में संक्षेप में बताने का प्रयास करूंगा।

1. परिमित शब्दों का मामला

एक साहित्य में न्यूनतम डीएफए की दो परिभाषाएं पा सकता है। पहला एक नियमित भाषा के न्यूनतम डीएफए को परिभाषित करना है क्योंकि भाषा को स्वीकार करने वाले राज्यों की न्यूनतम संख्या के साथ पूर्ण डीएफए है। दूसरा एक परिभाषित करने के लिए लंबा है, लेकिन गणितीय रूप से पहले वाले की तुलना में अधिक आकर्षक है और यह मजबूत गुण देता है।

हमें याद है कि एक DFA करते हैं है सुलभ अगर सभी के लिए क्ष ∈ क्यू , वहाँ एक शब्द है यू ∈ एक * ऐसी है कि मैं ⋅ यू = क्ष । यह है पूरा करता है, तो क्ष ⋅ एक सब के लिए परिभाषित किया गया है क्ष ∈ क्यू और एक ∈ ए ।$(Q, A, \cdot, i, F)$$q \in Q$$u \in A^*$$i \cdot u = q$$q \cdot a$$q \in Q$$a \in A$

चलो और एक 2 = ( क्यू 2 , एक , ⋅ , मैं 2 , एफ 2 ) होना दो पूरा, सुलभ DFAs। से एक आकारिता एक 1 के लिए एक 2 एक समारोह है φ : क्यू 1 → क्यू 2 ऐसी है कि${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$$\mathcal{A}_1$$\mathcal{A}_2$$\varphi:Q_1 \to Q_2$

1. ,$\varphi(i_1) = i_2$
2. ,$\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
3. सभी के लिए और एक ∈ ए , φ ( क्ष ) ⋅ एक = φ ( क्ष ⋅ एक ) ।$q \in Q_1$$a \in A$$\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

$\varphi$ए १ ए$|Q_2| \leqslant |Q_1|$${\cal A}_1$${\cal A}_2$ए 2 एल ए एल एलएएलए ए एल एल ए एल ए ए${\cal A}_1$${\cal A}_2$$L$${\cal A}_L$$L$$\cal A$$L$$\cal A$${\cal A}_L$ । इस ऑटोमेटन को का न्यूनतम डीएफए कहा जाता है । फिर से ध्यान दें कि राज्यों की संख्या के बाद से में राज्यों की संख्या से कम है , भी पहले अर्थ में न्यूनतम है।$L$${\cal A}_L$$\cal A$${\cal A}_L$

यह उल्लेखनीय है कि अपूर्ण डीएफए के लिए एक उपयुक्त बीजीय परिभाषा भी है । देखें [ईलेनबर्ग, ऑटोमेटा, भाषाएँ और मशीनें , वॉल्यूम। अधिक विवरण के लिए ए, अकादमिक प्रेस, 1974]।

2. अनंत शब्दों पर वापस

पहली परिभाषा को विस्तार देने से काम नहीं चलता, जैसा कि शाल ने अपने उत्तर में दिखाया है। और दुर्भाग्य से कोई यह भी दिखा सकता है कि दूसरी परिभाषा की सार्वभौमिक संपत्ति कुछ विशेष मामलों को छोड़कर, अनंत शब्दों तक नहीं है।

क्या यह कहानी का अंत है? एक सेकंड रुको, एक और न्यूनतम वस्तु है जो नियमित भाषाओं को स्वीकार करती है ...

3. संश्लिष्ट दृष्टिकोण

आइए हम पहले शब्दों को परिमित करने के लिए फिर से लौटें। याद है कि एक भाषा की है एक monoid द्वारा मान्यता प्राप्त अगर वहाँ एक surjective monoid आकारिता और एक सबसेट के ऐसी है कि । फिर, एक monoid मौजूद कहा जाता है, वाक्यात्मक monoid के , जो पहचानता और पहचानने सभी monoids के एक भागफल है । यह वाक्यात्मक monoid का भागफल के रूप में सीधे परिभाषित किया जा सकता द्वारा वाक्यात्मक अनुरूपता केए * एम एफ : एक * → एम पी एम एफ - 1 ( पी ) = एल एम ( एल ) एल एल एल ए * ~ एल एल यू ~ एल वी  सभी के लिए यदि और केवल यदि,  एक्स , वाई ∈ एक * ,  एक्स यू वाई ∈ $L$$A^*$ $M$$f:A^* \to M$$P$$M$$f^{-1}(P) = L$$M(L)$$L$$L$$L$$A^*$ $\sim_L$$L$, इस प्रकार से परिभाषित किया गया है: अच्छी खबर यह है कि इस बार, इस दृष्टिकोण को अनंत शब्दों तक बढ़ा दिया गया है, लेकिन उपयुक्त धारणाओं की खोज में लंबा समय लगा है। सबसे पहले, एक वाक्यविन्यास अनुरूपता की उपयुक्त धारणा ए। अर्नोल्ड (तर्कसंगत -languages , सिद्धांत के लिए एक वाक्यविन्यास बधाई) द्वारा पाया गया था । विज्ञान। 39 , 2-3 (1985), 333–335)। अनंत शब्द की स्थापना करने के लिए वाक्यात्मक monoids आवश्यक विस्तार अल्जेब्रास का एक और अधिक परिष्कृत प्रकार, आजकल कहा जाता विके अल्जेब्रास टी विके, जो पहली बार (टी विके, परिमित और अनंत की नियमित भाषाओं के लिए एक बीजीय सिद्धांत उन्हें परिभाषित करने के लिए था के सम्मान में शब्दों,

$$\text{$u \sim_L v$ if and only if, for all $x, y \in A^*$, $xuy \in L \iff xvy \in L$}$$ $\omega$ इंट। जे। अल्ग। कंप्यूटर। 3 (1993), 447–489)। अधिक विवरण मेरी किताब में पाया जा सकता है। अनंत शब्द डी। पेरिन के साथ सहानुभूति रखते हैं।

4। निष्कर्ष

इस प्रकार किसी दिए गए नियमित _- -लेन्गेज को स्वीकार करने वाली न्यूनतम वस्तु की गणितीय ध्वनि धारणा है , लेकिन यह ऑटोमेटा पर निर्भर नहीं है। यह वास्तव में एक सामान्य तथ्य है: ऑटोमेटा एक बहुत शक्तिशाली एल्गोरिथम उपकरण है, लेकिन वे हमेशा भाषाओं पर गणितीय प्रश्नों का इलाज करने के लिए पर्याप्त नहीं होते हैं।$\omega$