AC0 में c द्वारा c किस विभाजन के लिए है?

Question

मान लीजिए कि हमारा इनपुट एक बाइनरी और हमें , जहाँ कुछ निरंतर पूर्णांक है। यह सिर्फ एक बदलाव है अगर दो की शक्ति है, लेकिन अन्य संख्याओं का क्या? क्या हम इसे प्रत्येक लिए एक निरंतर गहराई सर्किट के साथ कर सकते हैं ? बारे में क्या ?⌊ एक्स / सी ⌋ ग ग ग ग = $x$$\lfloor x/c \rfloor$$c$$c$$c$$c=3$

ps। मुझे पता है कि गणना कठिन है, लेकिन यह असंबंधित है।$x\bmod c$

Answer 1

बाइनरी संख्याओं का जोड़ और घटाव $\mathsf{AC^0}$ ।

किसी भी निरंतर संख्या $c$ , $x \bmod c$ is \ mathsf {AC ^ 0} c ( \ lfloor x / c \ rfloor ) $\mathsf{AC^0}$द्वारा विभाजन करने के लिए reducible : x \ bmod c = x - (\ overbrace {\ lfloor x / c \ _) rfloor + \ cdots + \ lfloor x / c \ rfloor} ^ {c \ text {{}}})$c$$\lfloor x/c \rfloor$

$$x \bmod c = x - (\overbrace{\lfloor x/c \rfloor + \cdots + \lfloor x/c \rfloor}^{c \text{ times}})$$

यह ज्ञात है कि x \ bmod c किसी भी c के$x \bmod c$ लिए $\mathsf{AC^0}$ लिए कठिन है जो 2 की शक्ति नहीं है । इस प्रकार \ lfloor x / c \ rfloor किसी भी c के लिए \ mathsf {AC ^ 0} के लिए कठिन है जो 2 की शक्ति नहीं है ।$c$$2$$\lfloor x/c \rfloor$$\mathsf{AC^0}$$c$$2$

टिप्पणी में एमिल द्वारा नोट के रूप में वहाँ विषम अभाज्य के लिए एक आसान कमी है से (यह है कि, के साथ ) के लिए के साथ बाइनरी इनपुट: हम केवल इनपुट बिट्स जो के गुणज हैं का उपयोग और उपयोग फ्लाइट ( )। एम ओ डी सी Σ मैं एक्स मैं आधुनिक सी एक्स मैं ∈ { 0 , 1 } x आधुनिक सी पी - 1 2 ( पी - 1 ) मैं आधुनिक पी = $c$$\mathit{MOD}_c$$\sum_ix_i\bmod c$$x_i\in\{0,1\}$$x\bmod c$$p-1$$2^{(p-1)i} \bmod p = 1$

Comments

यही तर्क किसी भी पर लागू होता है जो 2 की शक्ति नहीं है।$c$

— एमिल जेकाबेक

वह नहीं है AC ^ 0 अन्य लिए दिखाना आसान है: उदाहरण के लिए, हम मान सकते हैं कि एक विषम प्रधान है, और फिर आप MOD_p को कम करके हर वें बिट का उपयोग कर सकते हैं । या आप Barrington-Thérien वर्गीकरण लागू कर सकते हैं: यह एक नियमित भाषा है, और इसका वाक्यविन्यास एक शून्य समूह है। c c = p ( p - 1 $x\bmod c$$c$$c=p$$(p-1)$

— एमिल जेकाबेक

@ ईमिल जेरबेक: धन्यवाद, यह वास्तव में मेरी मदद की जरूरत थी :)

— daniello