टीसीएस में रीमैन हाइपोथीसिस वेरिएंट के निहितार्थ

Question

~ 1 has सदी से अधिक पुरानी रीमैन परिकल्पना का गणित में गहरा प्रभाव है और गणित सिद्धांत का एक बड़ा हिस्सा अब इस पर और कई प्रकारों पर सशर्त रूप से साबित हो गया है। मैं हाल ही में Riemann परिकल्पना के आधार पर TCS में एक सशर्त परिणाम के संदर्भ में आया था। इसलिए मैं सोच रहा हूँ,

टीसीएस में रीमैन परिकल्पना के प्रमुख निहितार्थ क्या हैं?

यहाँ एक शुरुआत के रूप में हाल ही में एक कागज से एक उदाहरण है, होमोमोर्फिज्म पोलिनॉमिअल्स ड्यूरैंड , महाजन, मालोद, डी रग्गी-अल्थरे और सौरब द्वारा वीपी के लिए पूरा । कागज के परिचय से:

बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण खुले प्रश्नों में से एक यह तय करना है कि क्या VP और VNP अलग-अलग हैं। ये कक्षाएं, जिन्हें पहले वैलेंट द्वारा परिभाषित किया गया था [13, 12], बूलियन जटिलता वर्ग P और NP की बीजगणितीय उपमाएं हैं, और P को NP से अलग करने के लिए आवश्यक है (कम से कम गैर-समान रूप से और सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, फ़ील्ड , [3]) पर।$\mathbb{C}$

Comments

सर्वविदित है कि सामान्यीकृत आरएच का तात्पर्य है कि हम मिलर-राबिन परिमाण परीक्षण को आरेखित कर सकते हैं। लेकिन मुझे नहीं पता कि इससे जुड़ी कोई गहरी या व्यापक बात है।

— usul

हम्म, मुझे लगता है कि एक बड़ी प्राइम को खोजने के लिए नियतांत्रिक रूप से समस्या का कुछ संबंध है ( यानी बाइनरी में दिया गया है, प्राइम संख्या को से बड़ा पाते हैं )। आशा है कि कोई जानकार टिप्पणी कर सकता है। $n$$n$

— usul

@usul आरएच का तात्पर्य है कि सभी बड़े , में एक अभाज्य है , जो कुछ हद तक गैर-तुच्छ नियतात्मक एल्गोरिथ्म देता है, लेकिन हम से बहुत दूर है चाहते हैं। इसके अलावा, हम जानते हैं कि आरएच के बिना एक ही चल रहे समय को कैसे प्राप्त किया जाए, पॉलीमैथ प्रोजेक्ट पेपर arxiv.org/abs/1009/956 देखें । मेरा मानना ​​है कि आरएच को महत्वपूर्ण परिणाम मानने वाले अपराधों को खोजने के लिए एक बेहतर नियतात्मक एल्गोरिथम। $n$$[n, n + n^{0.5 + o(1)}]$

— साशो निकोलेव

इसके अलावा, आरएच का विस्तार अंकगणितीय प्रगति में कम से कम प्राइम पर एक अच्छा ऊपरी सीमा देता है (देखें, उदाहरण के लिए, shoup.net/ntb/ntb-v2.pdf में धारा 5.5.4 ।)।

— एलेक्स गोलोवनेव

Answer 1

सबसे पहले, मैं इस तरह के Riemann की परिकल्पना के किसी भी सीएस आवेदन के बारे में पता नहीं कर रहा हूँ। आरएच के सामान्यीकरण के विभिन्न अनुप्रयोग हैं ।

दूसरा, एक शब्दावली नोट: लोकप्रिय धारणा के विपरीत, "सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना" या "विस्तारित रीमैन परिकल्पना" जैसी कोई चीज नहीं है। इन शर्तों के दोनों में से कुछ वर्ग के लिए आरएच के सामान्यीकरण के किसी भी प्रकार का एक ढीला वाच्यार्थ रूप में साहित्य में अधिक या कम interchangeably उपयोग किया जाता -functions। उनका कोई निश्चित विशिष्ट अर्थ नहीं है, या कम से कम विभिन्न लेखकों के कागजात (या एक ही लेखक के अलग-अलग कागजात) के अनुरूप नहीं है।$L$

ओपी में उल्लिखित परिणाम कोइरन के एक परिणाम पर आधारित है, जो कि _ मैथब (जो आमतौर पर भ्रामक नाम "हिल्बर्ट्स नुल्लस्टेलेन्त्ज़" है) के अस्तित्व संबंधी सिद्धांत एएम में है, और इसलिए बहुपदीय पदानुक्रम में है। यह Dedekind -functions के लिए आरएच मानता है ; विशेष रूप से, यह चेबोटेरेव घनत्व प्रमेय के प्रभावी संस्करण पर निर्भर करता है।$\mathbb C$$\zeta$

CS अनुप्रयोगों का एक और वर्ग इस तथ्य का फायदा उठाता है कि प्रत्येक nontrivial द्विघात डिरिक्लेट चरित्र modulo assumes कुछ , मूल रूप से एनाकी के कारण, अक्सर एक संदर्भ के साथ कहा जाता है। , बाख जिसने नोटेशन में निरंतर सुधार किया । यह आरएच पर निर्भर करता है जो कि द्विघात डिरिक्लेट वर्णों के -functions के लिए है , जो Dedekind -functions के लिए एक से भी कमजोर है । (परिणाम वास्तव में परिमित-आदेश हेके वर्णों के लिए अधिक आम तौर पर रखता है, और पूर्ण सामान्यता में इसे आरके के जंक्शनों के लिए आरएच की आवश्यकता है , जो कि हेके पात्रों के लिए है, जो वास्तव में डेडेकिंड लिए आरएच के बराबर है।$m$$\chi(x)=-1$$x=O((\log m)^2)$$O$$L$$\zeta$$L$$\zeta$-functions। हालाँकि, जिन CS एप्लिकेशन के बारे में मुझे पता है, उन्हें इसकी आवश्यकता नहीं है।) परिणाम यह है कि मिलर-राबिन प्राचीता परीक्षण एल्गोरिथ्म, या शैंक-टोनेली एल्गोरिथ्म जैसे वर्गाकार मूल मोडुलो अपराधों के लिए कई एल्गोरिदम को व्युत्पन्न कर सकते हैं।

जहाँ तक मुझे पता है, आरएच किसी दिए गए अंतराल में निश्चित रूप से अपराधों को खोजने के लिए उपयोगी नहीं है, जैसा कि ऊपर की टिप्पणी में कहा गया है। यह Cramér के अनुमान या किसी ऐसे ही प्रधानमंत्री अंतराल पर बाध्य से पालन करेंगे, लेकिन आरएच भी इस तरह के सीमा साबित करने के लिए कमजोर है (त्रुटि अवधि अभाज्य संख्या में प्रमेय आदेश के कम से कम मोटे तौर पर है कोई बात नहीं क्या)।$\sqrt x$

Comments

$L$$\zeta$

@ फ्रांस्वा: मैं भी व्यक्तिगत रूप से उस शब्दावली का अभ्यस्त हूं। लेकिन उदाहरण के लिए, बाख और शालिट द्वारा लिखी गई बहुचर्चित पुस्तक इसे बिल्कुल विपरीत तरीके से परिभाषित करती है (जो संयोग से बाख के अपने "स्पष्ट सीमा ..." पेपर में खुद के उपयोग के विपरीत है)।

— एमिल जेकाबेक

पीपीए में एक दिलचस्प प्रभाव नहीं है? arxiv.org/abs/1207.5220

— domotorp

शायद। यह एक उदाहरण है "नतीजे यह हैं कि कोई व्यक्ति कई एल्गोरिदम जैसे कि ..." को पैराग्राफल पैराग्राफ में बदल सकता है, और मुझे नहीं लगता कि उत्तर में अपने काम का विज्ञापन करना आवश्यक है।

— एमिल जेकाबेक

Answer 2

एक विस्तारित रीमैन हाइपोथीसिस को मानते हुए, एलएम एडलमैन और एचडब्ल्यू लेनस्ट्रा ने एक परिमित समय पर एक वांछित डिग्री के एक इरेडियूबल बहुपद को खोजने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म दिया: http://www.math.leleuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf