2-CNF या 2-SAT में व्यक्त गुण

कैसे दिखाता है कि 2-CNF (2-SAT) में एक निश्चित संपत्ति व्यक्त नहीं की जा सकती है? क्या कोई खेल हैं, जैसे कंकड़ खेल? ऐसा लगता है कि शास्त्रीय काले कंकड़ वाले खेल और काले-सफेद कंकड़ वाले खेल इसके लिए अनुपयुक्त हैं (हर्टेल और पटासी, कम्प्यूटिंग, 2010 के एसआईएएम जे के अनुसार, वे पीएसपीएसी पूर्ण हैं।

या खेल के अलावा कोई तकनीक?

संपादित करें : मैं गुण है कि एक की गिनती (या प्रमुखता) को शामिल करने की सोच रहा था अज्ञात विधेय ( एसओ विधेय, परिमित मॉडल सिद्धांतकारों कहेंगे रूप में)। उदाहरण के लिए, जैसा कि क्लिक या अनवीटेड मिलान में है। (a) Clique : क्या दिए गए ग्राफ ऐसा कोई क्‍लिक है जो कुछ दिए गए नंबर ? (b) मिलान : क्या में एक मेल है जैसे कि ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-SAT की गणना कर सकते हैं? क्या इसके पास एक गिनती तंत्र है? संदिग्ध लगता है।

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— समीर गुप्ता
स्रोत

मैं समझता हूं कि परिमित मॉडल सिद्धांत में एरेनफ्रूच-फ्रैसे गेम (एफओ के लिए) और अज़ताई-फागिन गेम (मोनॉडिक एसओ के लिए) हैं। लेकिन यकीन नहीं है कि वे यहाँ पर्याप्त हैं। इसके अलावा, FMT में गेम्स ऑर्डर किए गए स्ट्रक्चर्स के साथ जटिल होते हैं, है ना?

— समीर गुप्ता

@Marzio ऐसा लगता है कि कुछ सबूत हैं कि 2CNF में सभी बूलियन कार्य स्पष्ट नहीं हैं क्योंकि आप इस प्रश्न का उत्तर देंगे (वास्तव में यह निश्चित नहीं है, न ही इसे स्पष्ट रूप से देखें)। वह प्रमाण क्या है? क्या यह कहीं प्रकाशित है?

— vzn

@vzn: 2-CNF में व्यक्त नहीं होने वाला एक तुच्छ बूलियन फ़ंक्शन है:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Marzio De Biasi

@SameerGupta: सुधार के बाद, सवाल कठिन हो जाता है :-); वास्तव में

है, जहां

दो चर के साथ खंड तक सीमित है (SO-क्रोम) कैप्चर से अधिक संरचनाओं का आदेश दिया NL, जबकि अस्तित्व अतः कैप्चर एनपी। स्पष्ट रूप से एफओ 2-सैट तक सीमित (और Ehrenfeucht-Fraïssé खेल या कॉम्पैक्टनेस तकनीकें अब तक पर्याप्त नहीं हैं, क्योंकि आप उन्हें यह साबित करने के लिए उपयोग कर सकते हैं कि PARITY निश्चित नहीं है)।

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— मार्ज़ियो डी बियासी

ठीक। ऐसा लगता है कि कुछ सामान्य सिद्धांत है कि

-SAT निरंतर

लिए सभी बूलियन कार्यों को व्यक्त नहीं कर सकता है । वह सिद्धांत क्या है यह प्रश्न विशेष केस

बारे में पूछता है । ध्यान दें कि Tseitin ट्रांसफ़ॉर्मेशन के माध्यम से

-SAT को 3-SAT में "कम" करने की अवधारणा है । एक समान अवधारणा को मोनोटोन सर्किट लोअर बाउंड्स प्रूफ (रेज़बोरोव) में दिखाया गया है।

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

जवाबों:

बिटवेक्टरों का एक परिवार 2-सैट समस्या के समाधानों का वर्ग है यदि और केवल तभी जब इसमें माध्य गुण होता है: यदि आप किसी भी तीन समाधानों के लिए बिटवाइज़ बहुमत फ़ंक्शन को लागू करते हैं तो आपको एक और समाधान मिलता है। उदाहरण देखें https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfibility और इसके संदर्भ। इसलिए यदि आप तीन समाधान पा सकते हैं जिसके लिए यह सच नहीं है, तो आप जानते हैं कि इसे 2-CNF में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

डेविड, धन्यवाद, इसे देखेंगे। @vzn - क्या आपने जो चैट साइट पर 2 दिन पहले टिप्पणी की थी, उससे संबंधित डेविड का जवाब है कि 3SAT सूत्र बिट वैक्टर के सभी सेटों के लिए मौजूद हैं, और बिट-वेक्टर सेटों से संबंधित 2SAT फॉर्मूलों के लिए परिणाम की तलाश कर रहे हैं?

— समीर गुप्ता

डेविड, युवल - निश्चित रूप से आपके प्रमाण काम करेंगे यदि कोई एक ही चर के सेट का उपयोग करता है। लेकिन क्या होगा यदि उपयोग किए गए चर का सेट पूरी तरह से अलग हो सकता है? मार्टिन सीमोर के जवाब पर एक नज़र डालें: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - यह दिखाने के लिए कि K-Clique से कोई समान-संतोषजनक कमी (अधिमानतः लॉगस्पेस) नहीं है या 2SAT से मिलान के लिए एक अलग प्रमाण की आवश्यकता होगी । विचार?

— समीर गुप्ता

सहायक चरों को जोड़ना और फिर उन्हें प्रोजेक्ट करना मदद नहीं करेगा, क्योंकि यदि चर की संवर्धित प्रणाली के लिए माध्य संपत्ति सत्य है तो यह अभी भी प्रक्षेपण में सही है।

— डेविड एप्पस्टीन

यह कहने का एक और तरीका यह है कि माध्य (या बहुमत) 2SAT बाधाओं के लिए बहुरूपता है । वास्तव में, यह जाना जाता है कि किसी भी सीएसपी (यहां तक कि गैर बुलियन) एक बहुरूपता के रूप में बहुमत है कि में है

(डलमऊ-Krokhin '08)।

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab

चलो पर एक संपत्ति हो चर। मान लीजिए कि एक 2CNF सूत्र है कि वहाँ ऐसी है कि $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ हम दावा करते हैं कि एक 2CNF सूत्र के बराबर है से जुड़े केवल । यह साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि को कैसे खत्म किया जाए। लिखें

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

जहां

शाब्दिक हैं, और

को शामिल नहीं करता

। सूत्र

के बराबर है

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

यह दावा साबित होता है जब

एक इकाई खंड में प्रकट नहीं होता है; यदि ऐसा होता है, तो हम इसे सीधे समाप्त कर सकते हैं।

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— युवल फिल्मस
स्रोत

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(हां, मुझे पता है कि इसके अलावा, गुणन और गणना गणना कार्य करता है, लेकिन उन्हें अपनी संबंधित समस्याओं के निर्णय संस्करणों में परिवर्तित करना आसान है।)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) तो गिनती के लिए , भले ही आप (b) में बताई गई विधि का उपयोग करके, 2-CNF में एक समतुल्य अभिव्यक्ति प्राप्त करने में असमर्थ हों, आप एक सम - विषम 2-CNF अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं ।

तो हाँ, 2-SAT की गिनती कर सकते हैं ।

$NL$ $|M|$ $NL$

— मार्टिन सेमोर
स्रोत

Re (c), अगर आप मेरे जवाब पर विश्वास करते हैं तो एक 2-CNF अभिव्यक्ति के बराबर एक संतोषजनक 2-CNF अभिव्यक्ति को एक bona fide के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है।

— युवल फिल्मस

-

$-$

$~$

आप मेरे उत्तर को पढ़ सकते हैं और अपने लिए देख सकते हैं। ध्यान दें कि इस मामले में कोई समय / स्थान सीमा नहीं है।

— युवल फिल्मस

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$