मोनोमियल की सीधी रेखा की जटिलता

चलो कुछ क्षेत्र हो। हमेशा की तरह, के लिए एक हम परिभाषित का सरल-रेखा जटिलता होने के लिए से अधिक । चलो के एकपदीयों के सेट होना , अर्थात् एकपदीयों दिखाए गैर शून्य गुणांक के साथ। $k$ $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $L(f)$ $f$ $k$ $F$ $f$ $f$

क्या यह सच है कि ? $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$

यहां तक कि लिए कुछ कमजोर ऊपरी बाध्य ज्ञात है? $L(m)$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— गोरव जिंदल
स्रोत

जवाबों:

यदि तो इसमें मोनोमियल और । एक गिनती तर्क से, लंबाई सीधे-लाइन प्रोग्राम हैं । जैसा कि में अधिक मोनोमियल हैं, कुछ के लिए हमें एक लंबा कार्यक्रम चाहिए। वास्तव में यह तर्क एक मोनोमियल देता है जिसके लिए ।

च = (Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
स्रोत

डोमोटर के उत्तर के आधार पर एक छोटे से रचनात्मक उदाहरण के रूप में, कोई भी को जबकि ।

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— ब्रूनो

@domotorp, अच्छा जवाब के लिए धन्यवाद। क्या यह ऊपरी सीमा भी लगती है? या बेहतर निचले सीमा हो सकते हैं?

— गोरव जिंदल

मुझे नहीं पता, लेकिन चूंकि यह उदाहरण इतना सरल था, इसलिए मुझे लगता है कि अंतर बड़ा हो सकता है, संभवतः घातीय भी।

— डोमटॉर्प

मेरे पास एक "प्रमाण" है कि एक लीनियर अपर बाउंड है ... मैं कहां गलत हूं (जब से आपने द्विघात निचले बाउंड को साबित किया है)? यह निम्नानुसार है: आकार एक एसएलपी के साथ , आप कुल डिग्री एक बहुपद की गणना करते हैं । अब में द्विआधारी घातांक के साथ अधिकतम पर SLP का आकार है । एक डिग्री- -variate मोनोमियल में तब (बहुत खुरदरा बाध्य) आकार का एक SLP होता है : सभी , , और फिर उनके उत्पाद की गणना करें । इस प्रकार यदि हम एक बहुपद पर विचार करते हैं , तो इसकी कुल डिग्री अधिकतम , और प्रत्येक का आकार अधिकतम

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ ।

— ब्रूनो

@Bruno: अच्छा सबूत और इसमें कुछ भी गलत नहीं है, लेकिन यह रैखिक नहीं है, जैसा कि आप और गुणा करते हैं । लेकिन जब से हम जानते हैं कि अधिकांश वेरिएबल्स पर निर्भर कर सकता है, हम को मान सकते हैं , जिसका मतलब है कि आवश्यक द्विघात सीमा। इस प्रकार ।

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— डोमोटरप

नोट: यह एक पिछली टिप्पणी का विस्तार है, क्योंकि ओपी ने स्पष्ट रूप से कमजोर ऊपरी सीमा के लिए कहा था।

बहुपद की कुल डिग्री से घिरा है सबसे बहुपद की डबल डिग्री पर के बाद से प्रत्येक ऑपरेशन कर सकते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक , । $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

अब, कुछ वेरिएबल और डिग्री , बाइनरी घातांक द्वारा SLP कनपुटिंग है, यदि आकार में अधिकतम । एक , कोई भी अलग से प्रत्येक गणना कर सकता है और फिर उनका उत्पाद ले सकता है। इस प्रकार जहां , की कुल डिग्री है (जो प्रत्येक पर ऊपरी सीमा है )। $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

साथ में, : लिए एक प्राप्त होता है $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

चूंकि , समापन कर सकता है $n\le L(f)+1$

\forall म \in म, एल (म) \leq 2 एल (च)^{2} + 3 एल (च) ।

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

टिप्पणियों। जैसा कहा गया है, वह बहुत कठिन है। विशेष रूप से, दी गई ऊपरी सीमा दूसरा पैराग्राफ तंग नहीं है। फिर भी, डोमोटरप के उत्तर से पता चलता है कि कोई बहुत बेहतर बाध्य होने की उम्मीद नहीं कर सकता है, और अधिक सटीक रूप से कि पर द्विघात निर्भरता को हटाया नहीं जा सकता है। निर्माण को कसने के लिए, कोई अतिरिक्त श्रृंखलाओं पर सर्वश्रेष्ठ ज्ञात निर्माणों का उपयोग कर सकता है । ध्यान दें कि सटीक सीमा अभी भी इस समस्या के लिए नहीं जानी जाती है। $L(m)$ $L(f)$

— ब्रूनो
स्रोत