HAMILTONIAN CYCLE परमानेंट से अलग क्यों है?

एक बहुपद एक है एक लय प्रक्षेपण एक बहुपद के यदि = पाली , और वहाँ एक काम है $f(x_1,\ldots,x_n)$ $g(y_1,\ldots,y_m)$ $m$ $(n)$ ऐसी है कि । यही है, प्रत्येक चर कोएक चर या एक स्थिर या से बदलना संभव है,ताकि परिणामस्वरूप बहुपद के साथ मेल खाता हो। $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$ $y_j$ $g$ $x_i$ $0$ $1$ $f$

मैं (के लिए कारणों) स्थायी बहुपद प्रति और Hamiltonian चक्र बहुपद हैम के बीच अंतर में दिलचस्पी है: जहां पहले योग खत्म हो गया है सभी क्रमपरिवर्तन

{PER}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)} and {HAM}_{n} (x) = \sum_{h} \prod_{i = 1}^{n} x_{i, h (i)}

$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$

, और दूसरा केवल सभीचक्रीयक्रमपरिवर्तन

।

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

h : [n] \to [n]

$h:[n]\to[n]$

प्रश्न: HAM एक मोनोटोन प्रोजेक्शन प्रति क्यों नहीं है? या यह अभी भी है?

मैं प्रमाणों के लिए नहीं कह रहा हूं , सिर्फ सहज कारणों से।

प्रेरणा: सबसे बड़ा ज्ञात लय सर्किट प्रति (Razborov ने साबित कर दिया) के लिए बाध्य निम्न "केवल" बनी हुई है । दूसरी ओर, के परिणामों बहादुर का संकेत देने वाले जहां योग के साथ भर में सबसेट है आकार का $n^{\Omega(\log n)}$

CLIQUE_{n} is a monotone projection of HAM_{m}

$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$

{CLIQUE}_{n} (x) = \sum_{S} \prod_{i < j \in S} x_{i, j}

$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$

S \subseteq [n]

$S\subseteq [n]$

। मैं स्वयं "सामान्य, प्रत्यक्ष" कटौती इन सामान्य परिणामों को नहीं प्राप्त कर सका, लेकिनएलोन और बोपानादावा (संप्रदाय 5 में) किइस कमी के लिएपहले से ही

पर्याप्त है।

| S | = \sqrt{n}

$|S|=\sqrt{n}$

m = 25 n^{2}

$m=25n^2$

लेकिन रुकिए: यह सर्वविदित है कि गुट आकार की एक लय सर्किट की आवश्यकता है (Razborov की विधि का उपयोग पहले एलन और Boppana ने साबित कर दिया)। $2^{n^{\Omega(1)}}$

तो, एचएएम थे पेर का एक मोनोटोन प्रक्षेपण, हमारे पास निचला बाउंड भी प्रति के लिए होगा। $2^{n^{\Omega(1)}}$

वास्तव में, एचएएम पेर का गैर-मोनोटोन प्रक्षेपण भी क्यों नहीं है ? बूलियन सेमिनार में, पूर्व एनपी- अपूर्ण है, जबकि बाद में पी में है । पर क्यों? ऐसी जगह कहाँ है जहाँ परमीशन के लिए चक्रीय होना इसे इतना खास बनाता है?

PS एक स्पष्ट अंतर हो सकता है: HAM [n] को केवल एक (लंबे) चक्र द्वारा कवर करता है, जबकि PER इसका उपयोग चक्रों को भंग कर सकता है। इस प्रकार, हैम के प्रति परियोजना के लिए कठिन दिशा लगता है होना करने के लिए: यह सुनिश्चित करें कि अनुपस्थिति एक Hamiltonian चक्र के नए ग्राफ में शिथिल चक्रों के साथ किसी भी कवर के अभाव का तात्पर्य। क्या यह एचएएम के लिए पेर का प्रक्षेपण नहीं है?

पी पी एस वास्तव में, बहादुर एक अधिक प्रभावित परिणाम साबित कर दिया: हर बहुपद के साथ , जिसका गुणांक रहे हैं पी समय गणना कर सका , एक प्रोजेक्शन है (जरूरी नहीं कि मोनोटोन अगर एल्गो गैर-मोनोटोन है) लिए = पॉली $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$ $c_u\in\{0,1\}$ $c_u$ $_m$ $m$ $(n)$ । प्रति भी इस संपत्ति है, लेकिन केवल विशेषता के क्षेत्र से अधिक । तो, इस अर्थ में, हैम और प्रति कर रहे हैं वास्तव में "समान", जब तक कि हम GF (2) जहां, के रूप में ब्रूनो याद किया, प्रति निर्धारक में बदल जाता है, और आसान है में नहीं हैं। $\neq 2$

— Stasys
स्रोत

मेरे पास विषय से थोड़ा सा सवाल है। क्या मैं यह पूछ सकता हूं कि बूलियन सेमिनार में P परमानेंट क्यों है? मुझे इस तरह के एक एल्गोरिथ्म के बारे में पता नहीं है।

— काओझु

@caozhu: यह बस तब से है जब बूलियन सेमिनार के दौरान परमानेंट डीटर्मिनेंट के समान है। एल्गोरिथ्म तब किसी भी तरह का डीटेलमाइंट एल्गोरिथ्म है।

— ब्रूनो

@ ब्रूनो: काफी नहीं। यदि आप GF (2) के क्षेत्र में हैं तो आप सही हैं; तो हम कह सकते हैं, कहते हैं, गाऊस। फिर भी, बूलियन

के बारे में आकार के अनुसार प्रति के लिए सर्किट

का उपयोग कर निर्माण किया जा सकता Hopcroft-कार्प एल्गोरिथ्म अधिकतम मिलान, या बस फ्लोयड-Fulkerson अधिकतम दोष एल्गोरिथ्म के लिए।

{\lor, \land, \neg}

$\{\lor,\land,\neg\}$

n^{5 / 2}

$n^{5/2}$

— Stasys

निम्नलिखित विशेषता शून्य के किसी भी अंगूठी पर एक प्रमाण है कि हैमिल्टन चक्र बहुपद स्थायी का बहुपद-आकार का मोनोटोन प्रक्षेपण नहीं है। मूल विचार यह है कि गैर-गुणांक वाले बहुपदों के मोनोटोन अनुमानों से न्यूटन पॉलीटोप का नेतृत्व होता है जिसमें से एक दूसरे के न्यूटन पॉलीटोप का एक विस्तारित सूत्रीकरण होता है, और फिर विस्तारित योगों पर हाल के निचले घावों को लागू करता है।

$f(x_1,\dotsc,x_n)$ $g(y_1,\dotsc,y_m)$ $f$ $g$ $\pi$ $\pi$ $g$ $f$

$New(f)$ $f$ $New(g)$

$New(f)$ $\mathbb{R}^m$ $\leq n+m$ $n+m$ $New(g)$

$e_1,\dotsc,e_m$ $\mathbb{R}^m$ $New(g)$ $\mathbb{R}^m$ $(e_1,\dotsc,e_m)$ $y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$ $i$ $\pi(y_i)=0$ $New(g)$ $\{e_i = 0\}$ $y_i$ $m$ $P$ $\pi$ $L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ $L_{\pi}(P) = New(f)$ $New(f)$ $n+m$ $P$ $m$ $L_{\pi}$ $n$ $x_i$

$f$ $n$ $g$ $m$ $f$ $g$ $e_{ij}$ $m$

$2^{n^{\Omega(1)}}$ $m$ $L_{\pi}$

$f$ $g$ $\pi$ $L_{\pi}$ $New(f)$

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

बहुत अच्छा तर्क। यह वही है जो मैंने देखा था! वास्तव में, विस्तारित एलपी फॉर्मूलेंस वैलेंट के अनुमानों (कम से कम मोनोटोन) का अनुकरण करते हैं।

— स्टेसिस