टीसीएस पर ग्रोथेंडिक के कार्यक्रम का प्रभाव

Question

ग्रोथेंडिक का निधन हो गया है । 20 वीं सदी के गणित पर 21 वीं सदी में जारी रहने का उनका व्यापक प्रभाव था। यह प्रश्न कुछ हद तक शैली / भावना से पूछा जाता है, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान के एलन ट्यूरिंग के योगदान के लिए ।

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान पर ग्रोथेंडिक के प्रमुख प्रभाव क्या हैं ?

Comments

अंग्रेजी में obituary /

— ABCNews

शायद यह प्रासंगिक है: ग्रोथेंडिक एक कंप्यूटर है?

— बबौ

मुझे लगता है कि सिद्धांत B से कोई व्यक्ति श्रेणी सिद्धांत और Grothendieck टोपोलॉजी के बारे में लिखता है (या क्या उसका काम कंप्यूटर विज्ञान के लिए प्रासंगिक नहीं है?)।

— साशो निकोलेव

FYI से एक जवाब के कुछ स्केच / रूपरेखा reddit / "Frobenius"

— vzn

शायद @AndrejBauer मदद कर सकता है।

— साशो निकोलेव

Answer 1

कार्यात्मक विश्लेषण में अपने दिनों से ग्रोथेंडीक की असमानता , शुरू में टेनसर उत्पाद के रिक्त स्थान पर मौलिक मानदंडों से संबंधित साबित हुई थी। ग्रोथेंडिक ने असमानता को "टेंसर उत्पाद रिक्त स्थान के मीट्रिक सिद्धांत का मौलिक सिद्धांत" कहा, और इसे 1958 में अब एक प्रसिद्ध पेपर में फ्रेंच में एक सीमित संचलन ब्राजील के जर्नल में प्रकाशित किया। पेपर को 15 साल तक काफी हद तक नजरअंदाज कर दिया गया, जब तक कि लिंडेनस्ट्रस और पेल्स्कीनेस्की (ग्रोथेंडिक ने कार्यात्मक विश्लेषण छोड़ दिया था) द्वारा इसे फिर से खोजा गया। उन्होंने कागज के मुख्य परिणामों के कई सुधार दिए, इसे पूरी तरह से संचालकों और शोध के मानदंडों पर शोध से संबंधित किया, और देखा कि ग्रोथेंडिक ने "खुली" समस्याओं को हल किया था जो बाद में उठाए गए थेपेपर प्रकाशित हुआ था। पिसियर अपने सर्वेक्षण में कार्यात्मक विश्लेषण पर असमानता, इसके प्रकार और इसके जबरदस्त प्रभाव का एक बहुत विस्तृत विवरण देता है ।

Grothendieck की असमानता बहुत स्वाभाविक रूप से जुझारू अनुकूलन और सन्निकटन एल्गोरिदम की भाषा में व्यक्त की गई है। यह कहता है कि गैर-उत्तल, एनपी-हार्ड ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ को इसके अर्ध-शिथिलीकरण \ max \ {\ sum_ {i, j} {{a_ {ij} \ langle u_i, v_j \ rangle} द्वारा एक निश्चित स्थिरांक तक अनुमानित की जाती है : u_1, \ ldots, u_m, v_1, \ ldots, v_n \ in \ mathbb {S} ^ {n + m-1} \}, $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ जहां $\mathbb{S}^{n+m-1}$ इकाई क्षेत्र है $\mathbb{R}^{n+m}$। असमानता के सबूत "राउंडिंग एल्गोरिदम" देते हैं, और वास्तव में Goemans-Williamson रैंडम हाइपरप्लेन गोलाई का काम करते हैं (लेकिन एक सबॉप्टीमल निरंतर देता है)। हालांकि, ग्रोथेंडेक की असमानता दिलचस्प है क्योंकि गोलाई एल्गोरिथ्म का विश्लेषण "वैश्विक" होना है, अर्थात उद्देश्य फ़ंक्शन के सभी शब्दों को एक साथ देखें।

यह कहने के बाद, यह आश्चर्यजनक नहीं होना चाहिए कि ग्रोथेंडिक्स की असमानता ने कंप्यूटर विज्ञान में एक दूसरा (तीसरा? चौथा) जीवन पाया है। खोट और नाओर अपने कई अनुप्रयोगों और संयोजन के अनुकूलन के लिए सर्वेक्षण करते हैं।

कहानी यहीं खत्म नहीं होती। असमानता क्वांटम यांत्रिकी (बेल का पेपर देखें) में बेल असमानता के उल्लंघन से संबंधित है, का उपयोग संचार जटिलता पर काम में लिनियल और श्राइबमैन द्वारा किया गया है, और यहां तक ​​कि निजी डेटा विश्लेषण (बेशर्म प्लग) में काम में उपयोगी निकला ।

Comments

यहाँ ग्रोथेंडेक की असमानता और सीएस पर एक और पाठ है । लेकिन मैं टिप्पणी करने के योग्य नहीं हूं।

— बबौ

IHES में जाइल्स पिसिएर का एक व्याख्यान भी दिलचस्प हो सकता है: dailymotion.com/video/… (दुर्भाग्य से यह कष्टप्रद विज्ञापनों से बाधित है)।

— साशो निकोलेव

Answer 2

ग्रोथेंडीक के प्रभाव को प्रकार सिद्धांत और तर्क में महसूस किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बार्ट जैकब्स का 700+ पेज का वॉल्यूम श्रेणीबद्ध तर्क और टाइप थ्योरी विभिन्न प्रकार के सिद्धांतों ( टाइप थ्योरी, जहां एक समान उपचार देता है ग्रोथेंडिक फ़िब्रेशन (जिसे कार्टेशियन फ़िब्रेशन भी कहा जाता है) की स्पष्ट धारणा के आधार पर )। इसी तरह, टॉपथोस की धारणा, जो ग्रोथेंडिक के कारण भी, लॉजिक्स और प्रकार के सिद्धांतों को श्रेणीबद्ध शब्दार्थ प्रदान करने में एक भारी भूमिका निभाता है, जो कि तर्कवादियों और सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए समान रूप से रुचि रखता है।$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

Comments

$\subseteq$ over क्योंकि यह प्राथमिक सेट करने में सबसे पहले आता है? $\in$

— निकोलज-के

@NikolajK वहाँ के अपने उपयोग के लिए कोई वास्तविक औपचारिक अर्थ है से अधिक - पुस्तक पतों उच्च आदेश आश्रित प्रकार थ्योरी के अध्याय 11, उदाहरण के लिए। $\subseteq$$\in$

— डेव क्लार्क

Answer 3

का कोई भी आवेदन पत्र बीजीय किस्मों के लिए बिंदु गिनती सूत्रों में -adic सह-समरूपता, etale सह-समरूपता अपने काम में जड़ है।$p$

मैं अनुमान लगा रहा हूं कि वेइल अनुमानों से आने वाले परिमित क्षेत्रों पर रीमैन की परिकल्पना के सामान्यीकरण की दृष्टि से मुल्मुले को ग्रोथेंडिक के एटाले कोएहोलोजी से मूल रूप से फलदायक प्रश्न पूछने के बारे में सोचा जा सकता है।

Comments

क्या ये अनुप्रयोग सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में हैं? यह सब मेरे लिए गणित की तरह लगता है - या शायद टीसीएस के अन्य बिट।

— डेव क्लार्क

हाँ। क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग सिद्धांत लगातार पॉइंट काउंटिंग और गॉस रकम का उपयोग करते हैं। Mulmuley कार्यक्रम केवल एक ही है कि के लिए सभी ज्ञात अवरोधों को दूर करने के लिए जाना जाता है है बनाम जुदाई। संभवतः कई अन्य अनुप्रयोग भी हैं। $VNP$$VP$

— टी ....