क्या कोलमोगोरोव जटिलता एक विशेषण फ़ंक्शन है?

Question

आइए हम ट्यूरिंग-मशीनों और एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग-मशीन, यू की एन्कोडिंग को ठीक करते हैं, जो इनपुट पर (टी, एक्स) इनपुट एक्स पर जो भी टी आउटपुट उत्पन्न करता है (संभवतः दोनों हमेशा के लिए चल रहा है)। कम से कम कार्यक्रम की लंबाई के रूप में x, K (x) की कोलमोगोरोव जटिलता को परिभाषित करें, जैसे कि U (p) = x।

क्या कोई ऐसा N है जो सभी n> N के लिए K (x) = n के साथ x है?

टिप्पणी। यदि हम सार्वभौमिक ट्यूरिंग-मशीनों को एक अलग तरीके से परिभाषित करते हैं, तो उत्तर नकारात्मक हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक यू पर विचार करें कि इनपुट पर (टी, एक्स) एक्स पर टी का अनुकरण करता है यदि (टी, एक्स) की लंबाई 100 से विभाज्य है, और अन्यथा कुछ भी नहीं करता है। यूनिवर्सल ट्यूरिंग-मशीनों की विभिन्न परिभाषाओं के लिए प्रतिरूप प्राप्त करने के लिए कई तरीकों से इस उदाहरण को संशोधित किया जा सकता है।

Comments

सुदूर आप के लिए पूछ रहा से क्या कर रहे हैं, लेकिन मुझे लगता है यह साबित होता है कि की छवि मुश्किल नहीं है सकारात्मक रैखिक घनत्व की परवाह किए बिना है । इसका अर्थ है कि असीम रूप से अक्सर मिश्रित होता है। $K$$U$$K(x)$

— डैन ब्रुमलेव

Answer 1

कोई गहरी अंतर्दृष्टि के साथ एक विस्तारित टिप्पणी: शायद आप ट्यूरिंग मशीन के एन्कोडिंग पर धोखा दे सकते हैं, और एक कृत्रिम एन्कोडिंग का निर्माण कर सकते हैं जो एक विशेषण कोलमोगोरोव जटिलता की ओर जाता है:

• $0$ ट्यूरिंग मशीन का प्रतिनिधित्व करता है जो (1 राज्य टीएम) को आउटपुट करता है ;$0$
• $0p$ ट्यूरिंग मशीन का प्रतिनिधित्व करता है कि आउटपुट (संख्या बाइनरी स्ट्रिंग के प्रतिनिधित्व वाले के अलावा एक); यह केवल एक टीएम का एक निहित "ज़िपित" संस्करण है जो आउटपुट करता है ;$p+1$$p$$p+1$
• $1p$ एक मानक एन्यूमरेशन में 1th ट्यूरिंग मशीन का प्रतिनिधित्व करता है (एन्यूमरेशन और साथ पहले से शामिल TM को छोड़ सकता है )।$p+1$$0$$0p$

इनपुट पर संबंधित सार्वभौमिक TM चेक करता है कि का मान क्या है , अगर यह तो यह बस आउटपुट करता है , अन्यथा यह TM ( जब खाली स्ट्रिंग है) अनुकरण करता है ; ध्यान दें कि इनपुट्स एम्बेड करता है।$bx$$b$$0$$x+1$$M_{x+1}$$M_0$$x$$M_{x+1}$

सभी स्ट्रिंग्स के लिए , ; और सभी के लिए देखते हैं लंबाई के तार लेकिन देखते हैं केवल लंबाई के कार्यक्रमों का उपयोग किया जा सकता है एन्कोडिंग; और केवल लंबाई कार्यक्रम जिन्हें एन्कोडिंग का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है ; इसलिए कम से कम एक स्ट्रिंग पर की लंबाई के एक कार्यक्रम के साथ नहीं दर्शाया जा सकता लंबाई की ; लेकिन यह निश्चित रूप से कार्यक्रम साथ प्रस्तुत किया जा सकता है$x$$1 \leq K(x) \leq |x|+1$$n \geq 1$$2^{n}$$n$$2^{n-1}-1$$< n$$1p$$2^{n}-1$$n$$1p$$x'$$n$$1p$$\leq n$$0x'$लंबाई के (हम चिंता करता है, तो वहाँ भी एक कार्यक्रम है नहीं है एक ही लंबाई के है कि यह उत्पन्न करता है)।$n+1$$1p$$n+1$

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी , एक स्ट्रिंग मौजूद है ऐसा कि (इसलिए यह विशेष K विशेषण है)।$n > 1$$x', |x'|=n$$K(x') = n+1$