कोई भी बहुपत्नी जो गिनना मुश्किल है लेकिन निर्णय लेना आसान है?

Question

हर एक मोनोटोन अंकगणित सर्किट , यानी एक -सर्किट, कुछ बहुभिन्नरूपी बहुपद गणना nonnegative पूर्णांक गुणांक के साथ करता है। एक बहुपद , सर्किट को देखते हुए F ( x 1 , … , x n ) f ( x 1 , … , x n$\{+,\times\}$$F(x_1,\ldots,x_n)$$f(x_1,\ldots,x_n)$

• गणना करता अगर सभी के लिए ; एफ ( एक ) = च ( एक ) एक ∈ एन$f$$F(a)=f(a)$$a\in \mathbb{N}^n$
• यदि सभी , तो गिना ; एफ ( एक ) = च ( एक ) एक ∈ { 0 , 1 } $f$$F(a)=f(a)$$a\in\{0,1\}^n$
• फैसला करता है अगर वास्तव में जब सभी के लिए रखती है । $f$$F(a)>0$$f(a)>0$$a\in\{0,1\}^n$

मैं स्पष्ट बहुपद $f$ (यहां तक ​​कि बहुवचन) को दर्शाता हूं जो दिखा रहा है कि सर्किट-आकार का अंतर "गणना / गणना" घातीय हो सकता है। मेरा प्रश्न "काउंट / निर्णय" की खाई को लेकर चिंतित है।

प्रश्न 1: क्या किसी को किसी बहुपद का पता है $f$जो कि $\{+,\times\}$ -सीरिकटस द्वारा तय करने की अपेक्षा काफी कठिन है ?

संभावित उम्मीदवार के रूप में, एक पथ बहुपद जिसका चर पूरा ग्राफ के किनारों के अनुरूप ले सकता है $K_n$ पर $\{1,\ldots,n\}$ , और नोड से एक सरल मार्ग के लिए प्रत्येक एकपद मेल खाती है $1$ नोड के लिए $n$ में $K_n$ । इस बहुपद को ओ ( n 3 ) आकार के सर्किट द्वारा कार्यान्वित करने का निर्णय लिया जा सकता है , कह सकते हैं, बेलमैन-फोर्ड गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम, और यह दिखाना बहुत आसान है कि प्रत्येक -सीर्किट कंप्यूटिंग पैट को अवश्य होना चाहिए आकार$O(n^3)$$\{+,\times\}$$2^{\Omega(n)}$।

दूसरी ओर, हर सर्किट गिनती पथ को हल करती है पथ समस्या, यानी की संख्या की गणना -to- इसी द्वारा निर्दिष्ट पथ - के इनपुट subgraph । यह एक तथाकथित पी- अपूर्ण समस्या है । इसलिए, हम सभी "विश्वास" करते हैं कि PATH के पास बहुपद आकार के किसी भी गिनती -circuits नहीं हो सकते । "केवल" समस्या यह साबित करने के लिए है ... 1 n 0 1 K n # { + , × $\#$$1$$n$$0$$1$$K_n$$\#$$\{+,\times\}$

मैं यह दिखा सकता हूं कि हर -सीरिट एक संबंधित हैमिल्टनियन पथ बहुपद एचपी की गणना के लिए घातीय आकार की आवश्यकता होती है। इस बहुपद के मोनोमाइल्स K- n में सभी नोड्स वाले 1 -to- n रास्तों के अनुरूप हैं। दुर्भाग्य से, कमी की # करने के लिए हिमाचल प्रदेश # बहादुर द्वारा पथ Vandermonde मैट्रिक्स का प्रतिलोम गणना करने के लिए की आवश्यकता है, और इसलिए एक द्वारा कार्यान्वित नहीं किया जा सकता { + , × } -circuit।$\{+,\times\}$$1$$n$$K_n$$\#$$\#$$\{+,\times\}$

प्रश्न 2: किसी को भी एक देखा है एक लय की कमी करने के लिए हिमाचल प्रदेश # पथ? $\#$$\#$

और अंत में:

प्रश्न 3: क्या कक्षा पी का "मोनोटोन संस्करण" बिल्कुल माना जाता था? $\#$

एनबी ध्यान दें कि मैं सर्किट के एक बहुत ही प्रतिबंधित वर्ग के बारे में बात कर रहा हूं: मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट! की कक्षा में -circuits, प्रश्न 1 सब पर पूछने के लिए सिर्फ गलत होगा: कोई कम सीमा से बड़ा Ω ( एन लॉग इन करें n ) इस तरह के सर्किट के लिए, एक सब पर बहुपद दिया गणना करने के लिए भी जरूरत पड़ने पर आर एन में इनपुट , ज्ञात हैं। इसके अलावा, इस तरह के सर्किट की श्रेणी में, प्रश्न 1 का एक "संरचनात्मक एनालॉग" - क्या # P -complete पॉलीओनियम्स हैं जो पाली-आकार { + , - द्वारा तय किए जा सकते हैं $\{+,-,\times\}$$\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}^n$$\#$ -सर्किट्स? - एक सकारात्मक जवाब है। इस तरह की है, उदाहरण के लिए, स्थायी बहुपद प्रति = Σ ज ∈ एस एन Π n मैं = 1 एक्स मैं , ज ( मैं ) । $\{+,-,\times\}$$=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

जोड़ा गया: Tsuyoshi Ito ने प्रश्न 1 का उत्तर बहुत ही सरल ट्रिक के साथ दिया। फिर भी, प्रश्न 2 और 3 खुले रहते हैं। PATH की गिनती की स्थिति अपने आप में दिलचस्प है क्योंकि यह एक मानक डीपी समस्या है और क्योंकि यह # P- पूर्ण है।

Comments

प्रश्न 1 के रूप में, एक बहुपद में 1 को जोड़ने के बारे में क्या है जिसे गिनना मुश्किल है?

— १२:२५

आपके तीन प्रश्न पर्याप्त भिन्न प्रतीत होते हैं कि वे तीन अलग-अलग प्रश्न होने चाहिए।

— डेविड रिचरबी

मुझे डर है कि आप अंकगणित सर्किट में केवल स्थिरांक को मना करके तुच्छ उदाहरणों से बच नहीं सकते। X_1 + ... + x_n को एक हार्ड-टू-काउंट बहुपद में जोड़ने के बारे में जो मूल में 0 लेता है? (इसके अलावा, यदि आप स्थिरांक को मना करते हैं, तो आप एक बहुपद का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं जो मूल पर एक नॉनज़ेरो मान लेता है।)

— Tsuyoshi Ito

"जैसा कि" # पी सिद्धांत "में है," निर्णय "के तहत हमारा मतलब है" कम से कम एक समाधान है "। और स्थिरांक समाधान नहीं हैं (आमतौर पर)। ' तुम्हें पता है, तुम यहाँ एक फिसलन ढलान पर हो। प्रश्न 1 के #P समकक्ष पर विचार करें: संबंधों का उदाहरण RNFNP दें, जैसे कि #R # P- पूर्ण है लेकिन यह तय करना आसान है कि #R (x)> 0 है या नहीं। हमें मैचिंग कहने के लिए लुभाया जा सकता है, लेकिन यह एक ओवरकिल है। 3SAT के लिए एक तुच्छ समाधान जोड़ना ठीक काम करता है, और मेरी पिछली टिप्पणी इसके अनुरूप है। (और अधिक)

— त्सुकोशी इतो

@Tsuyoshi Ito: ठीक है, आपकी सरल चाल (बहुपदों को गिनने के लिए सभी चर का योग एक कठिन जोड़िए) वास्तव में प्रश्न 1 का उत्तर देता है (रूप में यह कहा गया था)। क्या आप इसे एक जवाब के रूप में रख सकते हैं?

— Stasys

Answer 1

(ओपी के अनुरोध के जवाब में एक उत्तर के रूप में अपनी टिप्पणी पोस्ट कर रहा हूं।)

प्रश्न 1 के लिए, f _{n n} : {0,1} ⁿ → 1 ऐसे कार्यों का एक परिवार हो, जिनके अंकगणित सर्किट में घातीय आकार की आवश्यकता होती है। फिर ऐसा f _n +1 करता है , लेकिन f _{n n} +1 को एक तुच्छ मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट द्वारा तय करना आसान है। यदि आप मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट में स्थिरांक से बचना पसंद करते हैं, तो f _n : {0,1} ⁿ → ℕ कार्यों का एक परिवार हो जैसे कि f _{n के} लिए अंकगणित सर्किट में घातीय आकार और f _n (0,…, 0) की आवश्यकता होती है = 0, और f _n + x ₁ +… + x _{n पर विचार करें} ।

Comments

एक अच्छा जवाब, धन्यवाद!

— Stasys