क्या

Question

क्या होता है अगर हम को परिभाषित करते हैं, जैसे कि पॉलीटाइम ट्यूरिंग-मशीन / पॉलीसीज़ सर्किट के बजाय, एक लॉगस्पेस ट्यूरिंग-मशीन या सर्किट समस्या को एन्कोड करता है?${\bf PPAD}$${\bf AC^0}$

के लिए तेजी से एल्गोरिदम हाल देने सर्किट satisfiability छोटे सर्किटों के लिए निकला , महत्वपूर्ण होने के लिए तो मुझे आश्चर्य है कि क्या की rectricted संस्करणों के लिए होता ।${\bf PPAD}$

Comments

बोस और जॉनसन, "एनपी खोज समस्याओं के बीच प्रस्तावक सबूत और कटौती", साबित करते हैं कि पीपीएडी ट्यूरिंग कटौती के तहत बंद है, और मुझे यकीन है कि तर्क का एक मामूली संशोधन इसके (समान) एसी (0) संस्करण के साथ पीपीएडी के समकक्षता देता है ।

— एमिल जेकाबेक

@ ईमिल: सुझाव के लिए धन्यवाद, दुर्भाग्य से इस पत्र में धारणाएं मेरे परे हैं। अगर कोई मुझे इसके निहितार्थ बता सकता है तो मैं आभारी रहूंगा। : इसके अलावा, मुझे यहाँ अपनी प्रीप्रिंट से लिंक करते हैं math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/NPSearch/NPSearch.pdf

— domotorp

Answer 1

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ हां, । (यहां और नीचे, मैं मान रहा हूं कि को एक समान वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है। निश्चित रूप से, गैर-वर्दी हम सिर्फ ।)$\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$$\ac$$\ac$$\mathrm{PPAD/poly}$

मूल विचार काफी सरल है: , एक ट्यूरिंग मशीन गणना के प्रथम चरण के लिए कर सकते हैं इसलिए हम की एक polynomially लंबी लाइन से एक बहुपद समय गणना कर सका बढ़त अनुकरण कर सकते हैं -computable किनारों। विचार के एक और विस्तार से, कोई भी PPAD ओरेकल के साथ पाली समय में गणना योग्य किनारों को अनुकरण कर सकता है, अर्थात PPAD ट्यूरिंग रिड्यूसबिलिटी के तहत बंद है; यह तर्क Buss और जॉनसन में दिया गया है ।$\ac$$\ac$

साहित्य में पीपीएडी की कई समान परिभाषाएं हैं जो विभिन्न विवरणों में भिन्न हैं, इसलिए मुझे निश्चितता के लिए यहां एक तय करने दें। एक एनपी खोज समस्या$S$ PPAD में है अगर वहाँ एक बहुपद$p(n)$ , और बहुपद-काल फ़ंक्शन$f(x,u)$ ,$g(x,u)$ , और$h(x,u)$ निम्न गुणों के साथ है। लंबाई n , f और g के प्रत्येक इनपुट$x$ के लिएएक निर्देशित ग्राफ G का प्रतिनिधित्व करते हैं$n$$f$$g$$G_x=(V_x,E_x)$ बिना स्व-छोरों के जहां$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ , और प्रत्येक नोड में अधिकतम 1 पर डिग्री-डिग्री और आउट-डिग्री है$1$। प्रतिनिधित्व ऐसी है कि अगर$(u,v)\in E_x$ , तो$f(x,u)=v$ और$g(x,v)=u$ ; अगर$u$ में आउट-डिग्री$0$ ,$f(x,u)=u$ ; और यदि$u$ में डिग्री$0$ ,$g(x,u)=u$ ।

नोड 0 पी ( एन ) ∈ वी एक्स एक स्रोत है (इन-डिग्री यानी, यह है 0 और बाहर डिग्री 1 )। अगर यू ∈ वी एक्स किसी भी स्रोत या सिंक है (इन-डिग्री 1 , बाहर डिग्री 0 ) के अलावा अन्य 0 पी ( एन ) , तो ज ( एक्स , यू ) के लिए एक समाधान है एस ( एक्स ) ।$0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

हम A C 0 P A D को इसी तरह परिभाषित कर सकते हैं , इसके अलावा हमें F A C 0 में होने के लिए f , g , h की आवश्यकता होती है ।$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

मैं सादगी के लिए निर्माण में ज को नजरअंदाज कर दूंगा । (यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि कोई इसे प्रक्षेपण के लिए ले जा सकता है, इसलिए A C 0 -computable।)$h$$\ac$

तो, f और g द्वारा परिभाषित PPAD समस्या S पर विचार करें , और ट्यूरिंग मशीनों को f और g को समय q ( n ) में ठीक करें । किसी भी के लिए एक्स , हम एक निर्देशित ग्राफ परिभाषित जी ' एक्स = ( वी ' एक्स , ई ' एक्स ) जिसका कोने निम्न प्रपत्र के दृश्यों हैं:$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• ( 0 , यू , सी 1 , ... , ग कश्मीर ) , जहां यू ∈ वी एक्स , 0 ≤ कश्मीर ≤ क्ष ( एन ) , और ग 1 , ... , ग कश्मीर पहले स्थान पर है कश्मीर की गणना में विन्यास च ( एक्स , यू ) ।$(0,u,c_1,\dots,c_k)$$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• ( 0 , यू , सी 1 , ... , सी क्यू ( एन ) , वी , डी 1 , ... , घ कश्मीर ) , जहां यू , वी ∈ वी एक्स , 0 ≤ कश्मीर ≤ क्ष ( एन ) , च ( एक्स , यू ) = v , c 1 , … , c q $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$n ) से भरा गणना हैच(एक्स,यू), और घ 1 ,..., घ कश्मीर पहले स्थान पर हैकश्मीरकी गणना में चरणोंजी(एक्स,वी)।$c_1,\dots,c_{q(n)}$$f(x,u)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , वी , डी 1 , ... , घ कश्मीर ) , जहां 0 पी ( एन ) ≠ वी ∈ वी एक्स , 0 ≤ कश्मीर ≤ क्ष ( एन ) , और घ 1 , ... , घ कश्मीर पहले कर रहे हैं कश्मीर में विन्यास जी ( एक्स , वी ) की गणना।$(1,v,d_1,\dots,d_k)$$0^{p(n)}\ne v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , वी , डी 1 , ... , घ क्ष ( एन ) , यू , सी 1 , ... , ग कश्मीर ) , जहां यू , वी ∈ वी एक्स , वी ≠ 0 पी ( एन ) , 0 ≤ कश्मीर ≤ क्ष ( n ) , जी ( एक्स , वी ) = यू ,$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$$u,v\in V_x$$v\ne0^{p(n)}$$0\le k\le q(n)$$g(x,v)=u$$d_1,\dots,d_{q(n)}$ is the computation of $g(x,v)$, and $c_1,\dots,c_k$ are the first $k$ steps in the computation of $f(x,u)$.

$E'_x$ consists of the edges in $V'_x\times V'_x$ of the following kinds:

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ if $f(u)=v$ and $g(v)=u$ (i.e., either $(u,v)\in E_x$, or $u=v$ is an isolated vertex)

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$-functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$, and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$, $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$-computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$, we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$, and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$.

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$. Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$, except that in the special case $v=0^{p(n)}$, we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$. We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$.

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$, and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$-function $h'$ which outputs the second component of a sequence.