एक सर्किट का न्यूनतम आकार क्या है जो PARITY की गणना करता है?

Question

यह एक क्लासिक परिणाम है कि हर फैन-इन 2 और-और-नॉट सर्किट जो इनपुट चर से PARITY की गणना करता है, उसका आकार कम से कम और यह तेज है। (हम आकार को AND और OR गेटों की संख्या के रूप में परिभाषित करते हैं।) प्रमाण गेट-उन्मूलन द्वारा है और अगर हम मनमाने ढंग से प्रशंसक की अनुमति देते हैं तो यह विफल होता है। इस मामले के लिए क्या जाना जाता है?$3(n-1)$

विशेष रूप से, क्या किसी को एक उदाहरण पता है जब बड़ा प्रशंसक मदद करता है, अर्थात, हमें फाटकों से कम की आवश्यकता है ?$3(n-1)$

अपडेट 18 अक्टूबर। Marzio ने दिखाया है कि भी 5 गेट्स पर्याप्तता का CNF रूप का उपयोग करते हैं। इसका मतलब है कि । 5 की एक सीमा है$n=3$$5$सामान्य के लिएएन। क्या आपके द्वारा बेहतर किया जाना संभव है?$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

Comments

यह कागज संबंधित हो सकता है। आधार, हालांकि, यहाँ AND, OR से बहुत बड़ा है।

— Stasys

आपके प्रश्न से संबंधित उत्तर (दूरस्थ रूप से) है। cstheory.stackexchange.com/questions/3624/…

— हरमन

और 5 दोनों में$3n$ऊपरी सीमा, आप वास्तव मेंसिर्फ चर पर ही नहीं, बल्किहर जगह कीउपेक्षा कर रहे हैं? $\frac52n$

— एमिल जेकाबेक

आप कैसे करते हैं कि मामले में गेट को दोहराए बिना इसका सकारात्मक और नकारात्मक दोनों तरह से उपयोग किया जाता है?

— एमिल जेकाबेक

@ हैरी: आपको k-1 फैन-इन गेट्स की आवश्यकता है, लेकिन उन्हें गहराई में रखा जा सकता है । यह सवाल SIZE के बारे में है न कि DEPTH के बारे में! $\log k$

— डोमोटर

Answer 1

केवल 2.33 एन + सी गेट का उपयोग करके समता की गणना करना संभव है। निर्माण काफी सरल है और इस लेख में दिया गया है।

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

यहां केवल 12 फाटकों का उपयोग करके 6 चर की समानता के लिए एक सर्किट का उदाहरण दिया गया है (प्रत्येक गेट एक और-गेट है, एक गेट के इनपुट के पास एक सर्कल का मतलब है कि यह इनपुट उलटा है)। ध्यान दें कि 6 चरों की समता के लिए एक सर्किट जो DNF- ब्लॉक (Marzio की ऊपरी सीमा में) को स्टैक करके बनाया गया है, में 13 गेट हैं।

मैंने जांच की है कि इष्टतम सर्किट के n = 2,3,4,5,6 आकार के लिए 3,5,8,10,12 हैं। ये मान भी सर्किट के आकार के होते हैं जो 2.33 एन को ऊपरी सीमा देते हैं। मुझे अभी भी पता नहीं है कि 2.33n हर n के लिए इष्टतम सर्किट का आकार है। इससे भी अधिक, मैं 7 चर की समता के लिए इष्टतम सर्किट के आकार को नहीं जानता (दो संभावित मान हैं, 14 और 15)।

Answer 2

यह गेट-एलिमिनेशन लोअर बाउंड मार्ज़ियो की ऊपरी सीमा से मेल नहीं खाता है, लेकिन यह एक शुरुआत है।

$n\ge2$$2n-1$

$3$$n=2$$C$$n>2$

$x_i$$0$

$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$$\neg x_2$$a$

$2n-1$$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[१] इंगो वेगेनर, अनबाउंड फैन-इन, अनबाउंड डेप्थ सर्किट , सैद्धांतिक कंप्यूटर साइंस 85 (1991) में समता कार्य की जटिलता , नहीं। 1, पीपी 155-170। http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Comments

हां, तो सवाल यह है कि क्या हम 2 चर को ठीक करके 5 फाटकों को समाप्त कर सकते हैं।

— डोमोटर

$n$

Answer 3

मैं अपनी टिप्पणी का विस्तार करता हूं:

$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

$$|C| + \sum_i (I_i - 2) \geq 3(n-1)$$

$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

Comments

वास्तव में, n = 3 के लिए CNF में केवल 5 द्वार हैं! मुझे आश्चर्य है कि अगर कोई सामान्य रूप से भी बेहतर कर सकता है।

— डोमटॉर्प

मैंने इसके बारे में बहुत अधिक नहीं सोचा था, लेकिन आप निश्चित रूप से उपरोक्त सर्किट के समानांतर और उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9 चर के लिए एक PARITY सर्किट जो 24 के बजाय केवल 20 गेट का उपयोग करता है

— Marzio De Biasi

मैंने किया और मैंने अपना प्रश्न अपडेट किया है।

— डोमोटर

Answer 4

$5n/2$

यदि 3 माता-पिता के साथ शाब्दिक है, तो हम सभी 3 को एक चर के साथ समाप्त कर सकते हैं।

यदि दो शाब्दिक 2 अलग-अलग फाटकों में एक साथ होते हैं, तो हम एमिल के उत्तर से मुख्य तर्क को लागू कर सकते हैं, फिर से एक चर के साथ 3 द्वार समाप्त कर सकते हैं।