क्या परिमित भाषाओं के लिए XOR ऑटोमेटा (NXA) को चक्र से लाभ होता है?

Question

एक गैर-नियतात्मक Xor ऑटोमेटा (NXA) वाक्यात्मक रूप से एक NFA है, लेकिन एक शब्द NXA द्वारा स्वीकार किए जाने के लिए कहा जाता है, अगर इसमें विषम स्वीकार करने वाले पथ (NFA मामले में कम से कम एक स्वीकार पथ के बजाय) हो।

यह देखना आसान है कि एक नियमित रूप से नियमित भाषा , एक न्यूनतम एनएफए मौजूद है जिसमें कोई चक्र नहीं है (यदि कोई चक्र प्रारंभिक अवस्था से उपलब्ध था और आप इसे स्वीकार करने की स्थिति में प्राप्त करते हैं - आपकी भाषा नहीं है परिमित)।$L$

जरूरी नहीं कि यह NXAs के लिए ही हो।

द्वारा निरूपित XOR राज्य जटिलता एक भाषा के एल ,$xsc(L)$$L$

और से के अचक्रीय XOR राज्य जटिलता एल (यानी एक छोटी से छोटी अचक्रीय NXA जो स्वीकार करता है के आकार एल )।$axsc(L)$$L$$L$

क्या यह सही है कि हर परिमित भाषा : a x s c ( L ) = x s c ( L ) है $L$

$$axsc(L)=xsc(L)\ ?$$

Comments

क्या आप कृपया NXA का उदाहरण दे सकते हैं जिसमें एक परिमित भाषा के लिए (कुछ) चक्र (ओं) को शामिल किया गया है?

— अबूज़र यकरिल्माज़

$\epsilon$$\epsilon$

@Abuzer किसी भी राज्य को स्वीकार किए बिना एक राज्य ऑटोमेटन एक उदाहरण है। मुझे पता है कि यह एक मूर्खतापूर्ण उदाहरण है लेकिन यह सवाल का बिंदु है, कि हर चक्र हटाने योग्य है।

— डोमपोटर

Btw, आप चक्र को कैसे परिभाषित करते हैं? स्वीकार करने वाले राज्यों के लिए जाने वाले रास्ते चक्र-मुक्त होने चाहिए?

— डोमपोटर

Answer 1

मुझे लगता है कि उत्तर सकारात्मक है। हो सकता है कि एक सरल सबूत हो, लेकिन यहां एक सबूत का एक रेखाचित्र है जो रैखिक बीजगणित का उपयोग करता है।

डोमोटर की तरह, हम वी = जीएफ (2) ^एन में वेक्टर के रूप में एक एन -स्टेट एक्सओआर ऑटोमेटन के कॉन्फ़िगरेशन को देखेंगे ।

बता दें कि L एक वर्णमाला an = {1,…, k } पर एक परिमित भाषा है , और L के लिए एक XOR ऑटोमेटन पर विचार करें जिसमें न्यूनतम संख्या में राज्य हों। आज्ञा देना n राज्यों की संख्या। हम मानते हैं कि राज्यों को 1 लेबल किया गया है, ..., n , और राज्य 1 प्रारंभिक अवस्था है।

पहले हमने नोटेशन सेट किया। चलो वी ₀ = (1, 0, ..., 0) ^टी ∈ वी प्राथमिक वेक्टर प्रारंभिक अवस्था के लिए इसी हो, और रों पंक्ति वेक्टर जिसका होना मैं वें प्रविष्टि 1 तभी राज्य करता है, तो मैं एक को स्वीकार करने वाला राज्य है। उपस्पेस आर = { v : रों v = 0} के वी विन्यास वैक्टर कि खारिज हो चुके हैं से मेल खाती है।

प्रत्येक के लिए एक ∈Σ, चलो एक _एक हो n × n GF (2) से अधिक मैट्रिक्स जो पत्र की वजह से संक्रमण का प्रतिनिधित्व करता है एक । उदाहरण के लिए, इनपुट स्ट्रिंग को पढ़ने के बाद विन्यास वेक्टर एक ख है एक _ख एक _एक वी ₀ । एक स्ट्रिंग के लिए σ = एक ₁ ... एक _टी , हम उत्पाद निरूपित एक _{एक टी} ... एक _{एक 1} से एम ( σ )। आज्ञा देना s = { A _१,…, ए _के }।

एक उप- डब्ल्यू के वी कहा जाता है एस - अपरिवर्तनीय जब एक डब्ल्यू ⊆ डब्ल्यू के लिए हर एक ∈ एस । हमारे संदर्भ में, इसका मतलब है कि एक बार कॉन्फ़िगरेशन वेक्टर डब्ल्यू में चला जाता है , और अधिक पत्र पढ़ने से डब्ल्यू से बाहर निकलने का कोई रास्ता नहीं है ।

क्योंकि इस XOR ऑटोमेटन में राज्यों की न्यूनतम संख्या है, हमारे पास निम्नलिखित गुण हैं।

• V का एकमात्र S -INvantant उप-भाग जिसमें v ₀ सम्‍मिलित है, V ही है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि W एक उचित S -invariant उप-प्रजाति है जिसमें V _{0 है} , तो हम V की जगह W का उपयोग कर सकते हैं, न्यूनतमता का विरोध कर रहे हैं।
• R में निहित एकमात्र S -INvariant उप-स्थान {0} है। इसका कारण यह है कि अगर डब्ल्यू है एक nontrivial एस -invariant उपस्पेस में निहित आर , तो हम भागफल वेक्टर अंतरिक्ष उपयोग कर सकते हैं वी / डब्ल्यू के स्थान पर वी , फिर minimality का खंडन।

क्योंकि एल परिमित है, चलो मीटर एक पूर्णांक में किसी भी स्ट्रिंग की लंबाई से भी बड़ा एल ।

लेम्मा 1 । किसी भी स्ट्रिंग के लिए σ कम से कम लंबाई के मीटर , हम उस राशि एम ( σ ) = 0।

प्रमाण। पहले हम साबित होता है कि कोई भी स्ट्रिंग के लिए σ कम से कम लंबाई के मीटर , हम उस राशि एम ( σ ) वी ₀ = 0। चलो डब्ल्यू का उपस्पेस हो वी द्वारा फैला { एम ( σ ) वी ₀ : σ कम से कम लंबाई की एक श्रृंखला है मीटर }। परिभाषा के अनुसार, डब्ल्यू है एस -invariant। क्योंकि प्रश्न में XOR ऑटोमेटन इन तारों को अस्वीकार करता है aton , W R में समाहित है । इसलिए W = {0}, जिसका अर्थ है किएम ( σ ) वी ₀ = 0 इस तरह के सभी स्ट्रिंग्स के लिए σ ।

अब किसी भी वेक्टर पर विचार वी ∈ वी । क्योंकि केवल एस की -invariant उपस्पेस वी जिसमें वी ₀ है वी ही है, वी फार्म की वैक्टर की एक रेखीय संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है एम ( τ ) वी ₀ कुछ स्ट्रिंग्स के लिए τ । क्योंकि एम ( σ ) एम ( τ ) वी ₀ = एम ( τ σ ) वी ₀= 0 (उत्तरार्द्ध समानता पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार की वजह से लंबाई τ σ कम से कम है मीटर ), यह है कि रखती एम ( σ ) वी = 0। ■

हमें रैखिक बीजगणित से एक और तथ्य की आवश्यकता है।

लेम्मा २ । चलो एक ₁ , ..., एक _{कश्मीर} होना n × n मैट्रिक्स एक क्षेत्र पर, और परिभाषित एम ( σ ऊपर के रूप में)। यदि वहाँ मीटर ≥0 ऐसी है कि एम ( σ हर स्ट्रिंग के लिए 0) = σ कम से कम लंबाई के मीटर , तो matrices एक ₁ , ..., एक _{कश्मीर} एक साथ समान सख्ती से कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स (है कि, वहाँ एक से मौजूद है के लिए कर रहे n × n नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स P ऐसा कि मेट्रिसेस P ^.1 A₁ पी ,…, पी ⁻¹ ए _के पी सख्ती से कम त्रिकोणीय हैं)।

K = 1 का मामला निपल्स मेट्रिसेस का एक जाना-पहचाना लक्षण है, और लेम्मा 2 को उसी तरह से साबित किया जा सकता है।

अब विचार करें n -state XOR automaton जिसमें संक्रमण प्रतीक करने के लिए इसी मैट्रिक्स एक ∈Σ द्वारा दिया जाता है पी ^-1 ए _एक पी , प्रारंभिक विन्यास वेक्टर द्वारा दिया जाता है पी ^-1 वी ₀ के, और विशेषता (पंक्ति) वेक्टर स्वीकार करने वाले राज्यों को s P द्वारा दिया गया है । निर्माण के द्वारा, यह XOR ऑटोमेटन एक ही भाषा L को स्वीकार करता है। क्योंकि ट्रांज़िशन मैट्रिसेस कड़ाई से कम त्रिकोणीय होते हैं, इस XOR ऑटोमेटन में हर ट्रांज़िशन एज एक छोटे इंडेक्स वाले राज्य से बड़े इंडेक्स वाले राज्य में जाता है, और इसलिए यह XOR ऑटोमेटन एसाइक्लिक है। यद्यपि प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन वेक्टर में 1s से अधिक हो सकते हैं, इस XOR ऑटोमेटन को एक ही भाषा के लिए एक ही प्रारंभिक राज्य के साथ एक सामान्य XOR ऑटोमेटन में परिवर्तित करना आसान है, बिना राज्यों की संख्या में वृद्धि या चक्रीयता को बर्बाद किए बिना।

Comments

एनएक्सए को <n राज्यों के साथ उपयोग करने के लिए भागवत वेक्टर स्पेस V / W का उपयोग कैसे करता है?

— हाबिल मोलिना

$\overline{A_a}$$\bar{s}$$\overline{A_a}$$\bar{s}$

Answer 2

मुझे लगता है कि मैं यह साबित कर सकता हूं कि साइकिल एकात्मक वर्णमाला के ऊपर मदद नहीं करती है।

$M$$F_2$$v_n$$F_2$$\mod 2$$n$$v_n=M^nv_0$$v_0=(1,0,..,0)$$t$$s\cdot v=0$$s$$M^n$थोड़ी देर के लिए सख्ती से नीरस है, फिर स्थिर है। इसका मतलब यह है कि हमें कई चरणों के बाद सबसे अधिक चरणों के बाद तक पहुंचना चाहिए , क्योंकि कई राज्यों में ऑटोमोटिव है। लेकिन फिर एक चक्र-मुक्त ऑटोमेटन है जो केवल शब्द की लंबाई को गिनता है।$s\cdot v_n=0$