कोसेट चौराहे की समस्या की जटिलता

Question

समरूपता समूह को देखते हुए $S_n$ और दो उपसमूहों $G, H\leq S_n$ , और , करता है पकड़? जी π ∩ एच = $\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

जहाँ तक मुझे पता है, समस्या को कॉसेट चौराहे की समस्या के रूप में जाना जाता है। मैं सोच रहा हूँ कि जटिलता क्या है? विशेष रूप से, क्या इस समस्या को सीओएएम में जाना जाता है?

इसके अलावा, यदि को एबिलियन होने के लिए प्रतिबंधित किया जाता है , तो जटिलता क्या बन जाती है?$H$

Comments

इनपुट के रूप में दो समूहों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है?

— एमिल जेकाबेक

सम्मेलन द्वारा, उन्हें जनरेटर के सेट द्वारा दिया जाता है।

— माओमाओ

कोसेट चौराहे की समस्या आम तौर पर विरोधाभासी रूप से व्यक्त की जाती है: इसका जवाब हां है अगर वे प्रतिच्छेद करते हैं। यह समस्या में है के इस संस्करण है । $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

— जोशुआ ग्रूको

एक दिलचस्प साइड नोट, जो उपरोक्त में से किसी को भी अमान्य नहीं करता है: ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म, कॉसेट चौराहा और स्ट्रिंग आइसोमॉर्फिज्म, बाबई द्वारा नए परिणाम के सभी विषय पहले एक सेमिनार में कुछ दिनों पहले वर्णित थे। अभी तक कोई प्रकाशन नहीं है, लेकिन ऐसा लगता है कि इन सभी के लिए अब एक अर्ध-बहुपद एल्गोरिथ्म है।

— पेरी

Answer 1

मध्यम घातीय समय और (जैसा कि समस्या के विपरीत के लिए कहा जाता है: कोसेट इन्टरसेक्शन को आमतौर पर "हां" उत्तर माना जाता है यदि कोसेट्स इंटरसेक्ट करते हैं, तो इसके विपरीत कि यह OQ में कैसे बताया गया है।)$\mathsf{coAM}$

लुक्स 1999 ( मुक्त लेखक की प्रति ) ने टाइम एल्गोरिथ्म दिया, जबकि बाबाई (अपने 1983 पीएचडी थीसिस को भी देखें, बाबई-कांटोर-लुक्स FOCS 1983 , और एक इन-प्रकट पत्रिका संस्करण) ने 2 दिए ~ हे ( $2^{O(n)}$समय एल्गोरिथ्म, जो आज तक ज्ञात सबसे अच्छा है। चूंकि ग्राफ समाकृतिकता द्विघात आकार सह समुच्चय चौराहे तक कम कर देता है, को यह सुधार के2 ~ हे (एन 1 / 4 - ε )ग्राफ समाकृतिकता के लिए कला के राज्य में सुधार होगा।$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Answer 2

पूरक, यानी जहां परीक्षण करने के लिए है कि क्या कहा जाता है पर विचार करें । जैसा कि मैंने में बताया इस जवाब , परीक्षण है कि क्या जी ∈ ⟨ जी 1 , ... , जी कश्मीर ⟩ है में एन सी ⊆ पी [1]। आप अनुमान लगा सकते हैं तो जी , एच ∈ एस एन और बहुपद समय में परीक्षण है कि क्या जी ∈ जी , एच ∈ एच और जी π = ज । इससे एक $G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$ऊपरी बाध्य और इसलिए, आपकी समस्या ।$\text{coNP}$

संपादित करें : इसे [2, Thm में दिखाया गया है। 15] सह समुच्चय चौराहे समस्या में है कि । जैसा कि यहां बताया गया है , पी। 7, कोसेट चौराहे की समस्या इसलिए एनपी-पूर्ण नहीं है, जब तक कि बहुपद समय पदानुक्रम ढह नहीं जाता। इसके अलावा, यह यहाँ ध्यान दिया जाता है , पी। 6, कि यह लुक्स द्वारा दिखाया गया था कि समस्या पी में है जब एच हल है, जिसमें एच एबेलियन का मामला शामिल है ।$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[१]  एल। बाबई, ईएम लुक्स और ए। सीरस। नेकां में क्रमपरिवर्तन समूह । प्रोक। कंप्यूटिंग के सिद्धांत पर 19 वीं वार्षिक एसीएम संगोष्ठी, पीपी। 409-420, 1987।

[२] एल। बाबई, एस। मोरन। आर्थर-मर्लिन गेम: एक यादृच्छिक प्रूफ प्रणाली, और जटिलता वर्गों का एक पदानुक्रम । कंप्यूटर और सिस्टम विज्ञान के जर्नल, वॉल्यूम। 36, अंक 2, पीपी। 254-276, 1988।

Comments

उत्तर के लिए बहुत धन्यवाद। मामले के लिए एच एक सामान्य उपसमूह है, यह स्पष्ट है। हालांकि, अगर एच सिर्फ एबेलियन है, तो यह वास्तव में मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। क्या अभी भी पकड़? (मेरी मूर्खता के लिए खेद है ...)$GH=<{st: s\in S, t\in T}>$

— माओमाओ

मेरा बुरा, मेरा मस्तिष्क एक पल के लिए "सामान्य" और "सॉल्व" मिला। मुझे माफ कर दो। मैंने उत्तर संपादित किया, मुझे आशा है कि यह आपके प्रश्न का उत्तर देगा।

— माइकल ब्लॉन्डिन

जब एच जी का एक सामान्य उपसमूह है, सह समुच्चय चौराहे समस्या बहुत आसान है: यह सिर्फ सदस्यता समस्या (है को कम कर देता जी में)। $\pi$

— जोशुआ ग्रूचो

सही है, धन्यवाद। मेरे जवाब का वह हिस्सा बहुत बेकार है।

— माइकल ब्लॉन्डिन

मैंने पैराग्राफ को हटा दिया, यह सिर्फ भ्रमित था।

— माइकल ब्लॉन्डिन