सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान की बीजगणित उन्मुख शाखा

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मेरे पास बीजगणित में एक बहुत मजबूत आधार है, अर्थात्

सराहनीय बीजगणित,
होमोलोजिकल बीजगणित,
क्षेत्र सिद्धांत,
श्रेणी सिद्धांत,

और मैं वर्तमान में बीजीय ज्यामिति सीख रहा हूं।

मैं सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान पर स्विच करने के लिए एक झुकाव के साथ एक गणित प्रमुख हूं। उपर्युक्त क्षेत्रों को ध्यान में रखते हुए, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में किस क्षेत्र को स्विच करना सबसे उपयुक्त क्षेत्र होगा? अर्थात्, उपरोक्त क्षेत्रों का अनुसरण करके प्राप्त सिद्धांत और गणितीय परिपक्वता किस क्षेत्र में किसी के लाभ के लिए उपयोग की जा सकती है?

— spaceman_spiff
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क्या खेतों के अध्ययन को बीजगणित का हिस्सा माना जाता है? Math.se पर कुछ ऐसे भी हैं जो सोचते हैं कि नहीं।

— alancalvitti

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यह कई संस्थानों में यहां दूसरे स्तर के बीजगणित पाठ्यक्रम के रूप में प्रस्तुत किया जाता है और बीजगणित पर कई प्रसिद्ध पुस्तकें जैसे ड्यूमिट और फुटे के सार बीजगणित में दायर सिद्धांत पर महत्वपूर्ण सामग्री शामिल है ...

— spaceman_spiff

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आश्रित प्रकार के सिद्धांत में हाल के विकास हुए हैं जो प्रकार के सिस्टम को होमोटोपी प्रकार से संबंधित करते हैं ।

यह अब एक अपेक्षाकृत छोटा क्षेत्र है, लेकिन अभी बहुत रोमांचक काम हो रहा है, और संभावित रूप से बहुत कम लटके हुए फल, सबसे उल्लेखनीय रूप से बीजीय टोपोलॉजी और होमोलॉजिकल बीजगणित से परिणाम प्राप्त करने और उच्च प्रेरक प्रकारों की धारणा को औपचारिक रूप देना है ।

— कोड़ी
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बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग बीजगणितीय जटिलता सिद्धांत और विशेष रूप से ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत में किया जाता है। बाद के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी महत्वपूर्ण है, लेकिन बीजगणितीय ज्यामिति और होमोजिकल बीजगणित के साथ संयुक्त होने पर यह और भी अधिक उपयोगी है।

— जोशुआ ग्रोचो
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क्षेत्र सिद्धांत का आपका ज्ञान क्रिप्टोग्राफी में उपयोगी होगा, जबकि श्रेणी सिद्धांत का उपयोग प्रोग्रामिंग भाषाओं और टाइपिंग सिस्टम पर शोध में किया जाता है, जो दोनों गणित की नींव से निकटता से संबंधित हैं।

— मार्टिन बर्गर
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फील्ड थ्योरी और एल्ग्रेजिक ज्योमेट्री त्रुटि सुधार कोड से संबंधित विषयों में उपयोगी होगी, शास्त्रीय सेटिंग में और साथ ही स्थानीय स्तर पर कोड और कोड डिकोडिंग का अध्ययन करने में। मेरा मानना है कि यह रीड-सोलोमन और रीड-मुलर कोड पर काम करता है, जिसे तब बीजीय ज्यामितीय कोड के लिए सामान्यीकृत किया गया था। उदाहरण के लिए देखें, बीजगणितीय ज्यामितीय कोड के शास्त्रीय कोडिंग सिद्धांत पर यह पुस्तक अध्याय , स्थानीय स्तर पर डिकोड करने योग्य कोड पर यह संक्षिप्त सर्वेक्षण , और सूची-डिकोडिंग रीड-सोलोमन के बारे में यह प्रसिद्ध पेपर और, आमतौर पर बीजीय-ज्यामितीय कोड।

— साशो निकोलोव
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कम्प्यूटेशनल लर्निंग थ्योरी, मशीन लर्निंग और कंप्यूटर विज़न में कुछ समस्याएं हैं जिन्हें कम्यूटेट अलजेब्रा और बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग करके हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विश्वास प्रचार एल्गोरिथ्म का अभिसरण, बायेसियन इनविज़न के लिए एक संदेश पासिंग एल्गोरिथम, बहुपद समीकरणों की प्रणाली की समृद्ध विविधता को चिह्नित करने के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है ।

— कार्लोस एडुआर्डो कैनकिनो चाकोन
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क्या आपने कंप्यूटर बीजगणित को देखने के बारे में सोचा है? Axiom एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली है जहां श्रेणी थ्योरी (या आपके दृष्टिकोण के आधार पर यूनिवर्सल बीजगणित) के बाद टाइप सिस्टम को मॉडल किया जाता है। Axiom FriCAS और OpenAxiom के दो और डेरिवेटिव हैं ।

यदि आप श्रेणी थ्योरी में रुचि रखते हैं, तो टाइप सिस्टम को देखने के लिए एक चीज हो सकती है।

Axiom में, प्रत्येक "आइटम" (जैसे "1", "5 * x ** 2 + 1") एक डोमेन का एक तत्व है। "डोमेन" एक विशेष श्रेणी का सदस्य घोषित की जाने वाली एक Axiom वस्तु है (जैसे Integer, Polynomial (Integer)। एक Axiom श्रेणी एक Axiom वस्तु है जिसे प्रतिष्ठित प्रतीक "श्रेणी" (उदाहरण के लिए अँगूठी, बहुपद) का सदस्य घोषित किया जाता है। (आर, ई, वी))।

श्रेणियों के बीच बहु-विरासत के लिए एक विरासत जाली है। उदा। द कैटिगरी मोनाड सेटिटोरी से विरासत में मिला, मोनाड से मोनॉयड, मोनॉयड से ग्रुप, आदि।

जावा में जेनरिक की तरह एक उच्च-क्रम बहुरूपता भी है।

Axiom के भीतर कई क्रियाओं को Functors के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन यह यहाँ जाने के लिए बहुत कुछ होगा!

यदि आप एक विशिष्ट अंत उपयोगकर्ता के रूप में, श्रेणी थ्योरी के बारे में चिंता किए बिना Axiom का उपयोग करना चाहते हैं, तो एक प्रतीकात्मक गणना प्रणाली बिल्कुल व्यक्तिगत बीजगणित में देखने के लिए सॉफ्टवेयर का सही टुकड़ा है।

— निक डॉय
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$L \subseteq X^{\ast}$ स्वाभाविक रूप से Nerode-Myhill अनुरूपता संबंध के माध्यम से एक monoid संरचना के साथ जुड़ा हुआ है।

निम्नलिखित लोगों ने नियमित भाषाओं के मामले में इस बीजगणितीय दृश्य का उपयोग किया है: शमूएल इलेनबर्ग ऑन ऑटोमेटा थ्योरी, जीन बर्स्टेल , जीन-एरिक पिन , मार्सेल श्टजेनबर्ग और क्रोन-रोड्स थ्योरी ।

इसके अलावा सर्न अनुमान के आस-पास के काम में शामिल nontrivial बीजगणित है, इसमें से अधिकांश काफी दहनशील है। लेकिन हाल ही में मैंने रैखिक बीजगणित, रिंग थ्योरी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ अधिक काम किया है, बेंजामिन स्टाइनबर्ग और जॉर्ज अल्मीडा काम करने के लिए तैयार हैं ।

वैसे, आप इन क्षेत्रों में सेमीग्रुप-, मोनॉयड- और ग्रुप थ्योरी के साथ काफी अच्छे से आ सकते हैं, लेकिन इस क्षेत्र में श्रेणी सिद्धांत और होमोटॉपी थ्योरी का इतना उपयोग नहीं किया जाता है। लेकिन शायद यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि एस एलेनबर्ग श्रेणी थ्योरी के संस्थापक पिताओं में से एक थे, इसके बावजूद कि वह ऑटोमेटा थ्योरी में शामिल थे।

— StefanH
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शब्द भाषाओं की बजाय पेड़ की भाषाओं पर एक नज़र डालना भी दिलचस्प हो सकता है। लंबे समय से चली आ रही खुली समस्या ACM SIGLOG समाचार में "इसके साथ जुड़ी कुछ बीजगणितीय वस्तु (ऑटोमेटा और कुछ खुली समस्याओं में" उल्लेखित है) के संदर्भ में पेड़ों पर फर्स्ट-ऑर्डर लॉजिक की अभिव्यंजक शक्ति को चिह्नित करना है। आगे पढ़ने के लिए मैं Mikołaj Bojazyczyk और हावर्ड स्ट्राबिंग द्वारा कागजात की सिफारिश करूंगा।

— बार्टोज़ बेडरेंस्की

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ब्रेंट यॉर्गी की थीसिस , जबकि अभी भी सिर्फ एक मसौदा है, यह समझाने में एक अद्भुत काम करता है कि आपके हित टीसीएस के लिए प्रासंगिक क्यों हैं।

संबंधित सामग्री पर पिछले अप्रैल में यहां जोयल की बात हुई ।

— चाड ब्रूबेकर
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यह निश्चित नहीं है कि यहां क्या रिवाज हैं, लेकिन स्टैक ओवरफ्लो पर यह उत्तर शायद लिंक के रूप में जल्द ही हटा दिया जाएगा। क्या आप कृपया इस बात का सारांश प्रदान करेंगे कि लिंक प्रश्न का उत्तर कैसे देता है, न केवल यह कि यह क्या करता है? लिंक समय के साथ टूटने लगते हैं और लिंक के बिना आपका जवाब लगभग बेकार हो जाएगा।

— पालक

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चिंता मत करो। मैंने अपने अंतिम ड्राफ्ट के साथ इसे अपडेट करने के लिए खुद को एक अनुस्मारक लिखा।

— चाड ब्रूकेकर

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@ChadBrewbaker लेकिन, फिर भी, आपका जवाब अनिवार्य रूप से सिर्फ दो लिंक हैं। यहां तक कि अगर आप उन लिंक को चालू रखने का वादा करते हैं (जो एक महान लक्ष्य है और बहुत सराहना की जाती है, लेकिन निश्चित रूप से असफलता के लिए बर्बाद), तो यह एक खराब जवाब है।

— डेविड रिचेर्बी

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मुझे नहीं पता कि आपने उद्योग पर विचार किया है, लेकिन कंपनी असाडी डेटा विज्ञान के भीतर बहुत सारे होमोटोपी और अन्य अनुप्रयुक्त सामयिक तरीकों को लागू करने के लिए अद्भुत काम कर रही है। वे अनुप्रयोगों के साथ बहुत सारे सिद्धांत मिश्रण करते हैं। मूल रूप से, यह देखने के लिए कि वे क्या कर रहे हैं, स्टैनफोर्ड कॉम्पटॉप वेबसाइट को देखें। (वहां से अधिकांश लोग आए थे)।

— mathDR
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बाकी सभी ने जो कहा है (मुझे लगता है कि इन शाखाओं का सबसे बड़ा अनुप्रयोग वास्तव में टाइप सिस्टम में है):

सामान्य रूप से जाली सिद्धांत और आंशिक आदेश वितरित सिस्टम के व्यवहार के विश्लेषण के लिए और कंपाइलरों में डेटाफ्लो विश्लेषण के लिए काफी लागू होते हैं।
मैंने मशीन लर्निंग (विशेष रूप से पाठ वर्गीकरण में: गैल्विस कनेक्शन) को बिपार्टाइट दस्तावेज़ / शब्द ग्राफ के बाएँ और दाएँ कोने के बीच में देखा, जिसमें एल्गोरिथ्म को नाटकीय रूप से गति देने की अनुमति दी गई थी।

— jkff
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बीजगणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के बीच संबंध बहुत मजबूत हैं। निक डोए ने पहले ही कंप्यूटर बीजगणित का उल्लेख किया है, लेकिन उन्होंने स्पष्ट रूप से पुनर्लेखन प्रणालियों के सिद्धांत को शामिल नहीं किया है, जो कंप्यूटर बीजगणित का एक अनिवार्य हिस्सा है, जिसमें स्वत: समीकरण हल करने और स्वचालित तर्क के साथ आवेदन शामिल हैं। स्ट्रिंग री राइटिंग सिस्टम एक महत्वपूर्ण उप-क्षेत्र है, जिसमें कम्प्यूटेशनल ग्रुप थ्योरी में एप्लिकेशन हैं। उदाहरण के लिए, रोनाल्ड बुक और फ्रेडरिक ओटो की पुस्तक "स्ट्रिंग रीव्रिटिंग सिस्टम" की जाँच करें।

ग्राफ सिद्धांत और बीजगणित के बीच संबंध भी है, जिसमें उदाहरण के लिए रेखांकन और जटिल नेटवर्क के अच्छी तरह से विकसित वर्णक्रमीय सिद्धांत शामिल हैं, और साथ ही ग्राफ सिमिट्रीज (केली ग्रेप्स, वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ्स और अन्य प्रकार के सममित ग्राफ्स) का सिद्धांत भी शामिल है। , जो समानांतर कंप्यूटरों में इंटरकनेक्शन नेटवर्क के लिए मॉडल के रूप में उपयोग किए जाते हैं)। क्रिस गॉडसिल और गॉर्डन रोले की किताब "बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत" की जाँच करें, विभिन्न विषयों के अवलोकन के लिए।

— मैनोलिटो पेरेज़
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कंप्यूटर की दृष्टि में स्थिति की जाँच करें। विशेष रूप से एल्गोरिथम प्रकार के कई विषय हैं, जो आपके द्वारा सूचीबद्ध पहले तीन क्षेत्रों के लिए बहुत उपयोगी हैं।

— मार्टिन पीटर्स
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