क्रमपरिवर्तन संबंधी समस्याओं की जटिलता

Question

एक समूह को देखते हुए $G$ पर क्रमपरिवर्तन की $[n]=\{1, \cdots, n\}$ , और दो वैक्टर $u,v\in \Gamma^n$ जहां $\Gamma$ एक परिमित वर्णमाला जो यहां काफी प्रासंगिक नहीं है, सवाल कुछ वहाँ मौजूद है या नहीं है $\pi\in G$ ऐसा है कि $\pi(u)=v$ जहां $\pi(u)$ का अर्थ है क्रमचय लागू करने $\pi$ पर $u$ एक उम्मीद तरीके से।

मान लीजिए कि आगे $G$ , इनपुट के रूप में, जनरेटर के एक परिमित सेट द्वारा दिया गया है $S$। समस्या की जटिलता क्या है? विशेष रूप से, क्या यह एनपी में है?

Comments

जनरेटर के एक सीमित सेट से आपका क्या मतलब है? इसे इनपुट में कैसे दर्शाया गया है?

— RB

मुझे लगता है कि एक उदाहरण है: दो जनरेटर $S_1=(1 2)(3)$ , $S_2=(1 3)(2)$ और एस 1 और एस $G$ द्वारा उत्पन्न समूह है । $S_1$$S_2$

— माओमाओ

सामान्य तौर पर यह समस्या एनपी-हार्ड होगी (शायद यह कुछ रेफरी में पहले से ही अध्ययन में है, मुझे इसकी जानकारी नहीं है)। फिर भी एक अन्य समाधान समस्या (सुडोकू खेल से संबंधित), आपकी रुचि हो सकती है

— निकोस एम।

इसके अलावा यह एक उलटा समस्या है (जिसे MAXENT तरीके से ए-ला जेनेस से संपर्क किया जा सकता है)

— निकोस एम।

सवाल यह नहीं है कि क्या यह एनपी-हार्ड है, लेकिन क्या यह एनपी में है। तुच्छ ऊपरी बाध्य केवल PSPACE है।

— एमिल जेकाबेक

Answer 1

चलो जहां एस एन पर क्रमचय समूह है n तत्वों। परीक्षण है कि क्या जी ∈ ⟨ जी 1 , ... , जी कश्मीर ⟩ में किया जा सकता एन सी ⊆ पी [1] द्वारा। चलो यू , वी ∈ गामा n , तो बस लगता है कि जी ∈ एस एन , बहुपद समय में परीक्षण है कि क्या जी ∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$और क्या । इससे एनपी अपर बाउंड होता है।$g(u) = v$$\text{NP}$

इस उत्तर के पूरक के लिए:

समूह सदस्यता (फुरस्ट एट अल। 1980) से संबंधित थी, फिर नेकां समूहों के लिए नेकां 3 (मैकेंजी एंड कुक 1987; मुल्मुले 1987) के लिए, नेकां पोत्रिक समूहों के लिए नेकां (लुक्स और मैक्किनी 1988), सॉल्वेबल ग्रुप्स (लुक्स एंड) मैकेंजी 1988), बंधे हुए गैर-एबेलियन रचना कारक (लुक्स 1986), और अंत में सभी समूह (बाबई एट अल। 1987)। एपेरियोडिक मोनोइड्स सदस्यता का एक समान जटिलता वर्गीकरण (ब्यूडरी 1988; बेयूड्री एट। 1992; कोजेन 1977) है, जो यह बताता है कि किसी भी निश्चित एपेरियोडिक मोनोइड विविधता के लिए सदस्यता एसी 0 में , पी में , एनपी में या $\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (और बहुत कम अपवादों के साथ उस वर्ग के लिए पूर्ण)।

[१] एल। बाबई, ईएम लुक्स और ए। सीरस। नेकां में क्रमपरिवर्तन समूह। प्रोक। कंप्यूटिंग के सिद्धांत पर वार्षिक एसीएम संगोष्ठी, पीपी। 409-420, 1987।$19^\text{th}$

Comments

मेरा उत्तर गलत था, और मैंने इसे हटा दिया (उपसमूह जिसे मैंने अपने उत्तर में एन निरूपित किया था वह सामान्य रूप से सामान्य नहीं था)। मुझे लगता है कि समस्या पी में है (और शायद नेकां में भी), लेकिन मेरे पास अभी कोई प्रमाण नहीं है।

— त्सुयोशी इतो

मैं नहीं देखता कि आपका उत्तर गलत क्यों है। क्रमचय वास्तव में आसानी से निर्माण किया जा सकता है, तो समूह सदस्यता जहां समूहों जनरेटर की एक सूची के रूप में दिया जाता है बाबई, Luks और Seress 87. द्वारा एनसी में है$\pi$

— माइकल Blondin

We के लिए एक विकल्प का निर्माण आसानी से किया जा सकता है, लेकिन अगर यह G G से संबंधित नहीं है तो हमें क्या करना चाहिए? संभवतः शुरू से ही सही there खोजने का एक तरीका है, लेकिन अभी मैं यह नहीं देखता कि यह कैसे करना है।

— अक्टूबर को त्सुयोशी इतो

ओह, आप सही हैं। मैं अपना उत्तर एनपी ऊपरी सीमा पर वापस संपादित करूंगा।

— माइकल ब्लोंडिन

संपादन के लिए धन्यवाद, और मेरे गलत उत्तर से भ्रम पैदा करने के लिए खेद है।

— अक्टूबर को त्सुकोशी इतो

Answer 2

आपकी समस्या (के रूप में जाना जाता है स्ट्रिंग -) जी -isomorphism। यह चारों ओर ग्राफ समाकृतिकता समस्याओं का एक काफी संकीर्ण कक्षा में है: यह सैनिक के रूप में मुश्किल के रूप में कम से कम है, और में है एन पी ∩ सी ओ ए एम ।$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

GI से कटौती: , और को जोड़े पर की प्रेरित क्रिया होने । जी≤एसएनएस$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

G u v v u $\mathsf{coAM}$ प्रोटोकॉल: आर्थर बेतरतीब ढंग से एक तत्व को चुनता है (मुझे यकीन नहीं है कि यह बिल्कुल समान रूप से किया जा सकता है, लेकिन मुझे लगता है कि ज्ञात एल्गोरिदम इस परिणाम के लिए समान रूप से काफी करीब हो जाते हैं) और इसे और दोनों पर लागू होता है । संभावना के साथ 1/2 वह और स्वैप करता है, फिर उन्हें मर्लिन को प्रस्तुत करता है और पूछता है कि कौन सा था।$G$$u$$v$$u$$v$

Comments

आपके उत्तर के साथ माइकल ब्लोंडिन के उत्तर के लिए मेरी टिप्पणी को मिलाते हुए, अब मुझे डर है कि मैं गलती से सोचने लगा कि जी पी में है (और शायद नेकां में भी)।

— १२:१२