शीर्ष पर सेट समतुल्य संबंध के साथ ग्राफ समरूपता

एक रंगीन ग्राफ को टपल के रूप में वर्णित किया जा सकता है $(G,c)$ कहाँ पे $G$ एक ग्राफ है और $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$ रंग है। दो रंगीन रेखांकन $(G,c)$ तथा $(H,d)$ कहा जाता है कि अगर वहाँ एक समरूपता मौजूद है, तो आइसोमोर्फिक है $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ इस तरह के रंग का पालन किया जाता है, अर्थात $c(v) = d(\pi(v))$ सभी लिए । $v \in V(G)$

यह धारणा रंगीन ग्राफ के समरूपता को बहुत सख्त अर्थों में पकड़ती है। उस मामले पर विचार करें जहां आपके पास एक ही क्षेत्र के दो राजनीतिक मानचित्र हैं, लेकिन वे अलग-अलग रंग सेट का उपयोग करते हैं। यदि कोई पूछता है कि क्या वे एक ही फैशन में रंगे हुए हैं, तो इसका मतलब यह होगा कि क्या दो रंग सेट के बीच एक विशेषण मानचित्रण मौजूद है जैसे कि दोनों मानचित्रों के रंग इस मानचित्रण के माध्यम से मेल खाते हैं। इस धारणा को रंगीन रेखांकन को टुपल रूप में वर्णित किया जा सकता है जहां के शीर्ष सेट पर एक समतुल्य संबंध है । हम फिर दो ऐसे रेखांकन और हैं यदि कोई समरूपता मौजूद है जैसे कि सभी जोड़ियों के लिए। $(G,\sim)$ $\sim$ $G$ $(G,\sim_1)$ $(H,\sim_2)$ $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ $v_1,v_2 \in V(G)$ यह कि

v_{1} \sim_{1} v_{2} iff π (v_{1}) \sim_{2} π (v_{2})

$v_1 \sim_1 v_2 \text{ iff } \pi(v_1) \sim_2 \pi(v_2)$

मेरा प्रश्न यह है कि क्या इस अवधारणा का अध्ययन पूर्व में कैनोनिकल फॉर्म आदि खोजने में किया गया है और यदि ऐसा है तो इसे किस नाम से जाना जाता है?

terminology graph-isomorphism equivalence

— जॉन डी।
स्रोत

कृपया नोटेशन का उपयोग न करें "

=

$=$ "समानता संबंध के अलावा किसी भी चीज के लिए!

— डेविड रिचरबी

जवाबों:

आपके द्वारा बताई गई समस्या पर निश्चित रूप से विचार किया गया है (मुझे याद है कि मैं इसे क्रमिक स्कूल में चर्चा कर रहा था, और उस समय पहले से ही इसकी चर्चा बहुत पहले हो चुकी थी), हालाँकि मैं साहित्य में किसी विशेष संदर्भ की ओर संकेत नहीं कर सकता। संभवतः क्योंकि यह रेखीय रूप से अनियंत्रित ग्राफ समरूपतावाद के समतुल्य है, जो निम्नानुसार है (यह कैनोनियम रूपों के लिए भी सत्य है)। ईक्यू-जीआई का वर्णन करने वाली समस्या को कॉल करें।

जीआई सिर्फ ईक्यू-जीआई का विशेष मामला है, जहां प्रत्येक ग्राफ में केवल एक समतुल्य वर्ग होता है जिसमें सभी कोने होते हैं।

अन्य दिशा में, EQ-GI को GI कम करने के लिए, आइए $(G, \sim_G)$ तुल्यता के साथ संबंध के साथ एक ग्राफ हो $n$ कोने, $m$ किनारों, और $c$ समतुल्यता वर्ग। एक ग्राफ का निर्माण $G'$ जिनके शीर्ष सेट में कोने होते हैं $G$ साथ में, नए सिरे से $v_1, \dotsc, v_c$ , में प्रत्येक तुल्यता वर्ग के लिए $=_G$ , साथ ही साथ $n+c+1$ नए कोने $w_0, \dotsc, w_{n+c}$ । कनेक्ट करें $w_i$ एक रास्ते में है $w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$ , प्रत्येक कनेक्ट करें $v_i$ सेवा $w_0$ , और प्रत्येक शीर्ष के लिए $G$ , इसे संबंधित समतुल्यता वर्ग शीर्ष से कनेक्ट करें $v_i$ । फिर $G'$ सबसे ज्यादा है $n + 2c + n +1 \leq O(n)$ कोने और अनिवार्य रूप से एक ही समय सीमा में निर्माण किया जा सकता है। (यह भी सबसे अधिक है $m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$ किनारों - जो है $O(m)$ जुड़े हुए ग्राफ़ के लिए - लेकिन यह कुछ हद तक प्रासंगिक है क्योंकि अधिकांश जीआई एल्गोरिदम में ऐसे समय चल रहे हैं जो अनिवार्य रूप से केवल निर्भर करते हैं $n$ ।)

अपडेट : चूंकि टिप्पणियों में कुछ भ्रम था, इसलिए मैं यहां उपरोक्त तर्क की शुद्धता का एक स्केच जोड़ रहा हूं। दिया हुआ $(G_1, \sim_1)$ तथा $(G_2, \sim_2)$ , चलो $G_1'$ तथा $G_2'$ ऊपर के रूप में निर्मित रेखांकन हो; चलो $v_{i,1}$ वर्टेक्स को निरूपित करें $v_i$ में ऊपर से $G_1'$ , तथा $v_{i,2}$ में एक $G_2'$ , और इसी तरह के लिए $w_{i,1}$ तथा $w_{i,2}$ । यदि कोई आइसोमोर्फिज्म है $G_1' \cong G_2'$ , यह भेजना होगा $w_{i,1}$ सेवा $w_{i,2}$ सबके लिए $i$ , क्योंकि प्रत्येक ग्राफ में $w_{n+c}$ वह अद्वितीय शिखर है जो कम से कम लंबाई के किसी भी मार्ग का समापन बिंदु है $n+c+1$ । विशेष रूप से, $w_{0,1}$ के लिए नक्शे $w_{0,2}$ । के पड़ोसियों के बाद से $w_0$ ऐसा नहीं है $w_1$ वास्तव में हैं $v_i$ , आइसोमॉर्फिज्म को सेट को मैप करना होगा $\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$ सेट के लिए $\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$ (और विशेष रूप से दोनों में $\sim_1$ तथा $\sim_2$ एक ही नंबर होना चाहिए, $c$ समतुल्यता वर्गों के)। ध्यान दें कि समरूपता को भेजने की आवश्यकता नहीं है $v_{i,1}$ सेवा $v_{i,2}$ सबके लिए $i$ , लेकिन के सूचकांकों को अनुमति देने की अनुमति है $v$ जब तक संबंधित समतुल्यता वर्गों को एक दूसरे से मैप किया जा सकता है, तब तक। इसके विपरीत, इस वर्णन के आधार पर कि कैसे आइसोमोर्फिज्म के बीच $G_1'$ तथा $G_2'$ देख सकते हैं, यह देखना आसान है कि अगर $(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$ तब यह एक समरूपता देता है $G_1' \cong G_2'$ ।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

जहां तक मैं समझता हूं कि आपकी कमी के साथ एक मूलभूत समस्या है। आप मूल रूप से प्रत्येक समतुल्य वर्ग के कोने के सेट पर एक अद्वितीय अपरिवर्तनीय संपत्ति लागू करते हैं। इस मामले में आपने अपरिवर्तनीयता को विलक्षण संपत्ति के रूप में चुना। एक ग्राफ के लिए

G

$G$ चलो

f

$f$ एक रंग हो। हमें कहने दें

=_{f}

$=_f$ तुल्यता संबंध किसके द्वारा प्रेरित है

f

$f$ , अर्थात

u =_{f} v

$u =_f v$ iff

f (u) = f (v)

$f(u) = f(v)$ ।

— जॉन डी।

अब, जीआई को रंगीन करने के लिए ईक्यू-जीआई को कम करने पर विचार करें। एक इनपुट के लिए आपके तर्क द्वारा

(G, =_{1}), (H, =_{2})

$(G,=_1),(H,=_2)$ इसे पारित करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए

G, H

$G,H$ और रंग चुनें

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$ जो प्रेरित करता है

=_{1}, =_{2}

$=_1,=_2$ । यहां समस्या यह है कि

(G, c) ≅ (H, d)

$(G,c) \cong (H,d)$ का तात्पर्य

(G, =_{c}) ≅ (H, =_{d})

$(G,=_c) \cong (H,=_d)$ लेकिन दूसरी दिशा आवश्यक रूप से सही नहीं है क्योंकि हम समकक्षता वर्गों के दो सेटों के बीच पत्राचार को प्राथमिकता नहीं जानते हैं।

— जॉन डी।

अलग तरह से कहा गया है, मैं यह देखने में विफल हूं कि अधिक जटिल बाधाओं के कारण ईआई-जीआई को रंगीन जीआई को कम करने के लिए एक मात्र ग्राफ परिवर्तन के लिए यह कैसे संभव होगा। यह स्पष्ट है कि आपका निर्माण जीआई को रंगीन जीआई को कम करने के लिए काम करेगा।

— जॉन डी।

@ user17410 EQ-सैनिक है सैनिक रंग का। "जिस समस्या का आप EQ-GI वर्णन करते हैं उसे कॉल करें।" जीआई को ईक्यू-जीआई को कम करने के लिए यह एक ग्राफ परिवर्तन के लिए निश्चित रूप से संभव है: वास्तव में यह जीआई के संबंधपरक संरचनाओं पर किसी भी समरूपता की समस्या के लिए किया जा सकता है। यहोशू की कमी मुझे सही लगती है; मैंने थोड़ा सरल के बारे में सोचा था जो अधिक लम्बे जोड़ देता है।

— डेविड रिचीर्बी

आपके सही तर्क ने मुझे आश्वस्त किया है। मैंने आपकी कमी का विश्लेषण करने के लिए समय निकालने से पहले उपवास करने के लिए निष्कर्ष निकाला, मैं माफी चाहता हूं।

— जॉन डी। १

मैंने जोशुआ के सही उत्तर में आपकी पिछली टिप्पणी पढ़ी; यदि आपको EQ-GI को रंगीन GI में बदलने की आवश्यकता है (यानी आप समतुल्य वर्गों को दिए गए रंगों से परेशान हैं) तो आप निम्न कमी का उपयोग कर सकते हैं:

मान लीजिए कि शुरुआती रेखांकन हैं $G_1 = (V_1, E_1)$ , $G_2 = (V_2, E_2)$ और वहाँ है $q$ समतुल्य कक्षाएं; तब आप प्रत्येक ग्राफ को एक "क्रमपरिवर्तन", यानी एक पूर्ण ग्राफ पर जोड़ सकते हैं $|V_1|+1=|V_2|+1$ नोड्स ( $K'_{|V_1|+1}$ , $K''_{|V_2|+1}$ ) और उपयोग करें $q+1$ रंग की $c_1,...,c_q,c_{q+1}$ ।

दोनों मे $K'$ तथा $K''$ , $q$ नोड्स प्रतिष्ठित और रंगीन होते हैं $c_1,...,c_q$ शेष नोड्स के साथ रंगीन हैं $c_{q+1}$ । की नोड्स $G_1$ रंग से सराबोर हैं $c_{q+1}$ और एक ही तुल्यता वर्ग में नोड्स इसी रंग से जुड़े होते हैं $K'$ ; के नोड्स $G_2$ रंग से सराबोर हैं $q+1$ और एक ही तुल्यता वर्ग में नोड्स इसी रंग से जुड़े होते हैं $K''$ ।

यह भी ध्यान दें कि आप रंगों को छोड़ सकते हैं और एक समान जीआई उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं :-)

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आपकी टिप्पणी में उदाहरण के लिए कमी घटती है

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

यह आशाजनक लग रहा है। मैं बाद में शुद्धता की जांच करूंगा।

— जॉन डी।

@ user17410: ठीक है, मुझे बताएं कि क्या आपको अधिक स्पष्टीकरण की आवश्यकता है

— Marzio De Biasi