लिप्टन के सबसे प्रभावशाली परिणाम

Question

रिचर्ड जे। लिप्टन को "न्यू आइडियाज एंड टेक्नीक्स के परिचय के लिए" 2014 के नुथ पुरस्कार के विजेता के रूप में चुना गया है ।

आपके दिमाग में मुख्य नए विचार और तकनीकें क्या हैं जो लिप्टन ने विकसित की हैं?

ध्यान दें। यह प्रश्न सामुदायिक विकि बन जाएगा, कृपया प्रति उत्तर ऐसा कोई विचार, तकनीक या परिणाम डालें।

Comments

रिचर्ड जे। लिपटन को बधाई! :-)

— मार्जियो डी बियासी

RJLipton ब्लॉग (~ 5yr पुराना) उनकी पुस्तकों / अनुसंधान आदि के लिंक के साथ

— vzn

यह अच्छा होगा यदि कोई मल्टीपार्टी कम्युनिकेशन जटिलता और माथे के मॉडल पर संख्या के बारे में कुछ लिखता है। मेरे पास वर्तमान में समय नहीं है।

— साशो निकोलेव

: यहाँ नुथ पुरस्कार व्याख्यान के लिए एक लिंक है techtalks.tv/talks/...

— माइकल Wehar

यहां दो पेपरों का उल्लेख अभी तक नहीं किया गया है कि दोनों में Google विद्वान पर 500 से अधिक उद्धरण हैं: scholar.google.com/… (एलियालस एट अल।, एल बनाम एनएल, एक महत्वपूर्ण जटिलता पेपर) और scholar.google.com/… पर। (डे मिलो एट अल।, क्यों परीक्षण शायद कार्यक्रमों की शुद्धता के औपचारिक साक्ष्य से बेहतर है - विवादास्पद!)

— एन्ड्रेस सलामोन

Answer 1

Planar सेपरेटर प्रमेय कहा गया है कि किसी भी समतल में -vertex ग्राफ जी वहाँ का एक सेट मौजूद है हे ( $n$$G$वर्टिस जिसका निष्कासन ग्राफ को कम से कम दो मोटे तौर पर संतुलित घटकों में काट देता है। इसके अलावा, ऐसा सेट रैखिक समय में पाया जा सकता है। यह (तंग) परिणाम,लिप्टन और टार्जन द्वारा साबित(अनगरद्वारा पिछले परिणाम में सुधार) प्लानेर ग्राफ पर एल्गोरिदम डिजाइन करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। यह एनपी-कठिन समस्याओं और बेहतर बहुपद समय सन्निकटन एल्गोरिदम के लिए कई सटीक उप-एक्सपोनेंशियल समय एल्गोरिदम देता है। विकिपीडिया पृष्ठकोदेखतेहुए कई अनुप्रयोगों का पता लगाने के लिए एक अच्छी शुरुआत है। कई अनुप्रयोगों के विवरण के साथएकप्रारंभिक सर्वेक्षणलिप्टन और टारजन द्वारा 1980 में लिखा गया था।$O(\sqrt{n})$

Comments

लगभग सभी एल्गोरिदम अपघटन तकनीक पर आधारित होते हैं न कि प्लानर विभाजक। इसके अलावा उस विभाजक प्रमेय के प्रमाण के बहुत सारे बदलाव हैं, हमें उन सभी प्रूफ अन्वेषकों को धन्यवाद कहना चाहिए। जिस तरह से आपने विभाजक के बारे में बात की है, हमें उस आदमी को धन्यवाद कहना चाहिए, जिसने पहले नंबर पाया (वे पहले तो छोटे प्लानर सेपरेटर नहीं खोज पाए, उन्होंने सिर्फ पुराने को बेहतर बनाया)। ध्यान दें कि डिकम्पोजिशन में हमें विशेष प्रकार के विभाजक की आवश्यकता होती है। विघटन तकनीक ज्यादातर रॉबर्टसन और सेमोर के काम से प्राप्त होती है, जो आमतौर पर बहिष्कृत नाबालिगों पर भी काम करती है।

— सईद

@ हमेशा की तरह, आप अजीब जुझारू ध्वनि करते हैं। यह सामुदायिक विकी है, जैसा कि आप फिट देखते हैं, उत्तर को बेहतर बनाने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। मैंने यह जोड़ा कि वे छोटे प्लेनर विभाजकों की खोज नहीं करते थे। जहां तक ​​मुझे पता है, प्रत्येक आवेदन के लिए मैं उल्लेख करता हूं कि एक उदाहरण है जो प्लैनर विभाजक प्रमेय के माध्यम से काम करता है (और लिप्टन और टारजन द्वारा 1980 के सर्वेक्षण में कई उदाहरण पाए जा सकते हैं)। इसका मतलब यह नहीं है कि अन्य उपकरणों की जरूरत नहीं है या अन्य तरीके मौजूद नहीं हैं। लिप्टन और टारजन के पेपर ने एलोन, रॉबर्टसन, और सेमोर के परिणामों को 10+ वर्षों से पहले से देखा है।

— सैशो निकोलेव

@ मैं भी विश्वास नहीं कर सकता कि आप सीधे चेहरे के साथ सुझाव देंगे कि प्लांटर सेपरेटर प्रमेय प्राकृतिक संख्या के निर्माण की तुलना में इन अनुप्रयोगों में कोई अधिक महत्वपूर्ण भूमिका नहीं निभाता है। यह मज़ाकीय है!

— सैशो निकोलेव

किसी भी मामले में, आइए अधिक रचनात्मक बनने की कोशिश करें। ग्राफ़ माइनर्स I 1983 से है, और रॉबर्टसन और सेमोर का पहला पेपर एक साथ है, इसलिए मुझे आपकी बात वहाँ दिखाई नहीं देती। किसी भी मामले में मैं इन विचारों से पहले इनकार नहीं करता था: Ungar का परिणाम 1950 के दशक से है। मुद्दा यह है कि तंग बाउंड को साबित करना एक ऐतिहासिक परिणाम था, और कई सटीक और अनुमानित एल्गोरिदम हैं जिन्हें केवल लिप्टन और टारजन के प्रमेय या डिकम्पोजिशन की आवश्यकता होती है जो इसे ब्लैक बॉक्स के रूप में उपयोग करते हैं। 1980 का सर्वेक्षण पहले से ही कुछ उदाहरण देता है (जो कि ग्राफ माइनर्स I से पहले का है)।

— साशो निकोलेव

उनका परिणाम बहुत अच्छा है (कई अन्य अच्छे परिणामों की तरह) लेकिन इस जवाब का शब्दांकन इस तरह से है जो इसे बहुत बढ़ा देता है। उदाहरण के लिए, प्लानर सेपरेटर वास्तव में प्लानर ग्राफ़ में कठिन समस्या से निपटने के लिए एक मुख्य उपकरण नहीं है, कम से कम आजकल, जब अधिक सामान्य परिदृश्य के लिए बहुत सारे अपघटन तकनीक हैं। इसके अलावा, मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि उनका काम महान है, लेकिन उनके समय में भी इतना महान नहीं (+ -5 y)। इस दो टिप्पणियों में मैंने जो कुछ भी कहा वह मेरे पिछले शब्दों को सिर्फ इसलिए दोहरा रहा है क्योंकि आप और कम से कम 4 अन्य लोग व्यक्तिगत हमला करना पसंद करते हैं।

— सईद

Answer 2

कार्प-लिप्टन प्रमेय में कहा गया है कि में बहुपद-आकार के बूलियन सर्किट नहीं हो सकते हैं जब तक कि बहुपद पदानुक्रम अपने दूसरे स्तर तक नहीं गिर जाता है।$\mathsf{NP}$

जटिलता सिद्धांत के लिए इस प्रमेय के दो निहितार्थ:

• संभवतः बहुपद-आकार के बूलियन सर्किट नहीं हैं; इसलिए सर्किट के आकारों पर कम सीमा साबित करना जटिलता वर्गों को अलग करने के लिए एक संभावित दृष्टिकोण है।$\mathsf{NP}$
• जटिलता वर्ग अलगाव (उदाहरण के लिए कन्नन के प्रमेय) साबित करने के लिए इस प्रमेय पर कई परिणाम आधारित हैं।

Answer 3

रैंडम सेल्फ-रिड्यूसबिलिटी ऑफ द परमानेंट । लिप्टन ने दिखाया कि यदि कोई एल्गोरिथ्म मौजूद है जो सभी F n × n के अंश का सही गणना करता है , जहाँ F कम से कम 3 n आकार का एक परिमित क्षेत्र है , तो इस एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जा सकता है उच्च संभावना वाले किसी भी मैट्रिक्स के स्थायी गणना के लिए एक ब्लैक बॉक्स ।$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

मुख्य विचार यह है कि स्थायी एक कम-डिग्री बहुपद है, इसलिए एक अविभाजित एफाइन फ़ंक्शन साथ इसकी संरचना एक कम-डिग्री वाली अविभाजित बहुपद ( x में ) है और इसे प्रक्षेप के माध्यम से मूल्यों की एक छोटी संख्या से बिल्कुल सीखा जा सकता है। । आप एक यादृच्छिक बी चुन सकते हैं ताकि रचना किसी भी x के लिए यादृच्छिक मैट्रिक्स के स्थायी के रूप में वितरित की जाए । पर एक्स = 0 univariate बहुपद बस की स्थायी है एक । विवरण अरोड़ा बराक के अध्याय 8 में पाया जा सकता है ।$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

यह बीजगणितीय दृष्टिकोण जटिलता सिद्धांत में अत्यंत प्रभावशाली रहा है। लिप्टन के विचारों ने अंततः IP = PSPACE प्रमेय, PCP प्रमेय के प्रमाण और स्थानीय त्रुटि सुधार कोड के परिणामों के लिए नेतृत्व किया।

Answer 4

यदि ऐतिहासिक विवरण सही है तो मैं 100% निश्चित नहीं हूं। यदि ऐसा नहीं है, तो कृपया बेझिझक संपादित करें या निकालें।

उत्परिवर्तन परीक्षण का आविष्कार लिप्टन ने किया था। उत्परिवर्तन परीक्षण को परीक्षण सूट की गुणवत्ता या प्रभावशीलता को मापने के तरीके के रूप में देखा जा सकता है। मुख्य विचार परीक्षण किए जाने वाले कार्यक्रम में दोषों को इंजेक्ट करना है (यानी कार्यक्रम को म्यूट करना), अधिमानतः मानव प्रोग्रामर के प्रकार के दोषों को बनाने की संभावना है, और देखें कि क्या परीक्षण सूट पेश किए गए दोषों का पता लगाता है। X को 0 से x <0 से बदलने के लिए या x + 1 या x-1 से x को बदलने के लिए एक गलत उदाहरण होगा। परीक्षण सूट द्वारा पकड़े गए दोषों का अंश परीक्षण सूट का "उत्परिवर्तन पर्याप्तता स्कोर" है। बहुत ही शिद्दत से बोलते हुए, कोई भी म्यूटेशन पर्याप्तता स्कोर करने के लिए मोंटे-कार्लो पद्धति के रूप में सोच सकता है।

अधिक अमूर्त रूप से कोई यह कह सकता है कि उत्परिवर्तन परीक्षण एक कार्यक्रम और उसके परीक्षण के बीच एक समरूपता या द्वंद्व को सामने लाता है: न केवल परीक्षण सूट का उपयोग किसी कार्यक्रम की शुद्धता के बारे में अधिक आश्वस्त हो सकता है, बल्कि इसके विपरीत, एक कार्यक्रम हो सकता है परीक्षण सूट की गुणवत्ता के बारे में विश्वास हासिल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

इस द्वंद्व के प्रकाश में, म्यूटेशन परीक्षण भी वैचारिक रूप से दोष इंजेक्शन के करीब है । दोनों तकनीकी रूप से समान हैं, लेकिन अलग-अलग उद्देश्य हैं। म्यूटेशन परीक्षण परीक्षण सूट की गुणवत्ता को मापने का प्रयास करता है, जबकि गलती इंजेक्शन प्रोग्राम की गुणवत्ता को स्थापित करना चाहता है, आमतौर पर इसकी त्रुटि हैंडलिंग की गुणवत्ता।

हाल ही में, उत्परिवर्तन परीक्षण के विचारों का उपयोग तार्किक सिद्धांतों के परीक्षण (औपचारिकताओं) के लिए किया गया है। (4) के सार को परिभाषित करने के लिए: जब एक प्रमेय कहावत में गैर-तुच्छ औपचारिकताओं का विकास किया जाता है, तो समय का एक बहुत कुछ "डिबगिंग" सट्टेबाजी और प्रमेयों के लिए समर्पित होता है। आमतौर पर, गलत प्रूफ़ or केशन या प्रमेयों को फेल प्रूफ प्रयासों के दौरान खोजा जाता है। यह डिबगिंग का एक महंगा रूप है। इसलिए प्रमाणों को अपनाने से पहले अनुमानों का परीक्षण करना अक्सर उपयोगी होता है। ऐसा करने का एक संभावित तरीका अनुमान के मुक्त चर के लिए यादृच्छिक मूल्यों को निर्दिष्ट करना है और फिर इसका मूल्यांकन करना है। (4) उपयोग किए गए परीक्षण-केस जनरेटर की गुणवत्ता का परीक्षण करने के लिए म्यूटेशन का उपयोग करता है।

इतिहास । से (1): म्यूटेशन टेस्टिंग के इतिहास का पता 1971 में रिचर्ड लिपटन द्वारा एक छात्र के पेपर में वापस लगाया जा सकता है [...] लिप्टन एट अल द्वारा 1970 के दशक के उत्तरार्ध में प्रकाशित अन्य पत्रों में भी क्षेत्र के जन्म की पहचान की जा सकती है। (२) साथ ही हेमलेट (३)।

1. म्यूटेशन टेस्टिंग रिपोजिटरी: म्यूटेशन टेस्टिंग थ्योरी ।

2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, टेस्ट डेटा चयन पर संकेत: अभ्यास करने वाले प्रोग्रामर के लिए सहायता ।

3. आरजी हेमलेट, एक संकलक की सहायता से परीक्षण कार्यक्रम ।

4. एस बर्घोफर, टी। निप्पो, इसाबेल / एचओएल में रैंडम परीक्षण। ।

Answer 5

Schwartz - Zippel - DeMillo-Lipton Lemma अंकगणित जटिलता में एक मौलिक उपकरण है: यह मूल रूप से बताता है कि यदि आप जानना चाहते हैं कि क्या अंकगणित सर्किट शून्य बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है, तो आपको केवल एक इनपुट पर सर्किट का मूल्यांकन करना होगा। यदि सर्किट शून्य बहुपद का प्रतिनिधित्व नहीं करता है तो आप अच्छी संभावना के साथ एक गैर-अक्षीय मान प्राप्त करेंगे।

यह एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण लेम्मा है क्योंकि कोई बहुपद-काल निर्धारणकर्ता एल्गोरिथ्म इस समस्या के लिए नहीं जाना जाता है।

लेम्मा को आमतौर पर श्वार्ट्ज-जिप्पल लेम्मा के नाम से जाना जाता है । इस लेम्मा का एक इतिहास लिप्टन के अपने ब्लॉग पर पाया जा सकता है ।

Comments

जैसा कि उस ब्लॉग पोस्ट के नीचे दबी एक टिप्पणी में बताया गया है, यह उल्लेखनीय है कि इस लेम्मा का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला कम से कम 1922 तक वापस चला जाता है, जब यह ओरे (लिडल और निडरएटर द्वारा "परिमित फ़ील्ड" देखें), प्रमेय 6.13 और अध्याय नोट)।

— एश्ले मोंट्रो

Answer 6

वेक्टर जोड़ प्रणालियों में कवर करने की क्षमता EXPSPACE- हार्ड है : आरजे लिप्टन में, रीचैबिलिटी समस्या के लिए घातीय स्थान , अनुसंधान रिपोर्ट 63, येल विश्वविद्यालय, 1976 की आवश्यकता होती है।

एक वेक्टर अलावा प्रणाली (वीएएस, एक पेट्री शुद्ध के बराबर) आयाम की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित किया गया ⟨ वी 0 , एक ⟩ जहां वी 0 में गैर नकारात्मक पूर्णांक का एक वेक्टर है एन डी और एक की वैक्टर की एक परिमित सेट है पूर्णांक Z d में शामिल हैं । एक वीएएस में विन्यास पर एक संक्रमण प्रणाली को परिभाषित करता एन डी जहां वी → वी ' यदि वहां मौजूद यू में एक ऐसी है कि वी ' = वी + $d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$(ध्यान दें कि का कोई भी घटक ऋणात्मक नहीं हो सकता है)। Coverability समस्या को देखते हुए एक वीएएस और लक्ष्य वेक्टर वी में एन डी , पूछता है एक निष्पादन वहाँ मौजूद है या नहीं वी 0 → वी 1 → ⋯ → वी एन वीएएस की ऐसी है कि वी एन ≥ वी से अधिक उत्पाद आदेश देने के लिए एन डी , यानी वी एन ( मैं ) ≥ वी ( मैं ) के लिए सभी 1 ≤ मैं ≤ $v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$। 1978 में सी। रैकॉफ़ द्वारा साबित किए गए एक EXPSPACE ऊपरी सीमा के साथ संयुक्त , लिप्टन का परिणाम EXPSPACE के लिए पूर्णता दिखाता है।

यह परिणाम, जैसा कि लिप्टन के ब्लॉग पर लिखा गया था , अभी भी सबसे अच्छी तरह से ज्ञात निम्न बाउंड प्रदान करता है (प्रतीत होता है; बहुत कठिन) रीचबिलिटी समस्या, जहां किसी को बजाय की आवश्यकता होती है । दिलचस्प रूप से, यह साबित हो चुका था कि रिएचेबिलिटी को डिसीडेबल दिखाने से पहले । निचली सीमा और यह साबित करने के लिए नियोजित तकनीक को काउंटर सिस्टम के विभिन्न वर्गों के साथ और सिस्टम या लॉजिक्स के अन्य वर्गों के लिए परोक्ष रूप से अनगिनत बार पुन: उपयोग किया गया है।$v_n=v$

Answer 7

मल्टी-पार्टी प्रोटोकॉल में एसटीओसी 1983, डोई: 10.1145 / 800061.80937 पर अशोक के। चंद्रा , मेरिक एल। फुरस्ट और रिचर्ड जे। लिप्टन द्वारा मल्टीपार्टी संचार जटिलता और नंबर-ऑन-फॉरहेड मॉडल पेश किया गया था ।

मल्टीपार्टी मॉडल याओ के टू-पार्टी मॉडल ऑफ कम्युनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी का एक स्वाभाविक विस्तार है , जहां एलिस और बॉब प्रत्येक में इनपुट बिट्स के नॉन-ओवरलैपिंग हाफ होते हैं, और पूरे इनपुट के एक पूर्व निर्धारित फ़ंक्शन की गणना करने के लिए संवाद करना चाहते हैं। हालांकि, इनपुट बिट्स के विभाजन को और अधिक पार्टियों तक पहुंचाना अक्सर बहुत दिलचस्प नहीं होता है (कम सीमा के लिए, आमतौर पर पहले दो दलों पर विचार कर सकते हैं)।

इसके बजाय, NOF मॉडल पार्टियों में प्रत्येक को k पूर्णांकों के सेट से एक नंबर को छोड़कर सभी पता होता है, उस नंबर के बारे में जो पार्टी को ज्ञात नहीं है कि अन्य पार्टियों के लिए "उनके माथे पर प्रदर्शित"। आजकल संख्याओं को आमतौर पर गैर-नकारात्मक पूर्णांक होने की आवश्यकता होती है, जिसका उपयोग अधिकांश n बिट्स पर किया जाता है। पक्ष सभी संख्याओं के कुछ पूर्व-व्यवस्थित बूलियन फ़ंक्शन की गणना करना चाहते हैं। सवाल यह है: किन कार्यों के लिए यह कुशलता से किया जा सकता है?$k$$k$$n$

हमेशा बिट्स भेजना संभव है (उदाहरण के लिए, दूसरे पक्ष द्वारा पहली पार्टी को उसके माथे पर नंबर बताना)।$n$

कागज समारोह Exactly- के लिए एक गैर तुच्छ लेकिन अनिवार्य रूप से इष्टतम प्रोटोकॉल देता , जो सच है जब की राशि कश्मीर संख्या है एन । विशेष रूप से, k = 3 पार्टियां O ( √) का उपयोग करके सटीक- N निर्धारित कर सकती हैं$N$$k$$N$$k=3$$N$बिट्स। चूंकिएन≤कश्मीर(2n-1), यह हैहे($O(\sqrt{\log N})$$N \le k(2^n-1)$बिट्स। लोअर बाउंड तर्क हैरेम्से-थेरिटिक,वन डेर वेर्डन के प्रमेय केबहुआयामी रूप के माध्यम से।$O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$

Comments

बहुत अच्छा लग रहा है, मेरे सुझाव पर निम्नलिखित के लिए धन्यवाद।

— साशो निकोलेव