जटिलता सिद्धांत के लिए किस तरह की गणितीय पृष्ठभूमि की आवश्यकता है?

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मैं वर्तमान में एक स्नातक छात्र हूं, इस वर्ष स्नातक होने के लिए बाध्य हूं। स्नातक होने के बाद, मैं एक टीसीएस मास्टर / पीएचडी की दिशा में काम करने पर विचार कर रहा हूं। मैंने यह सोचना शुरू कर दिया है कि गणित के किन क्षेत्रों को TCS के लिए सहायक माना जाता है, विशेषकर (शास्त्रीय) जटिलता सिद्धांत।

आप उन क्षेत्रों के लिए क्या आवश्यक मानते हैं जो जटिलता सिद्धांत का अध्ययन करना चाहते हैं? क्या आप इन क्षेत्रों को कवर करने वाली किसी अच्छी पाठ्यपुस्तक के बारे में जानते हैं और यदि हाँ, तो कृपया उनके कठिनाई स्तर (परिचयात्मक, स्नातक आदि) को शामिल करें।

यदि आप एक ऐसे क्षेत्र पर विचार करते हैं जो जटिलता सिद्धांत में बहुत अधिक उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन आप इसे टीसीएस के लिए महत्वपूर्ण मानते हैं, तो कृपया इसे भी देखें।

cc.complexity-theory soft-question advice-request

— chazisop
स्रोत

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मेरा सुझाव है कि आप अरोरा / बराक या पापादिमित्रिउ जैसे जटिलता सिद्धांत पर एक मानक पाठ पढ़ना शुरू करें, और जब भी आप अटक जाएं क्योंकि आप गणित को नहीं समझते हैं, तो आगे बढ़ने से पहले कुछ विस्तार से संबंधित गणित सीखने की कोशिश करें।

— रॉबिन कोठारी

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आपके द्वारा रॉबिन ने जो सुझाव दिया है, उसे करने के बाद, कुछ छोटी खुली समस्याओं पर काम करना शुरू करें। आप इसके पीछे के गणित को जानने के लिए उत्तेजित महसूस करेंगे। एक स्नातक छात्र के रूप में, मुझे कुछ गणितीय क्षेत्र सीखने के लिए सिर्फ बहुत कुशल नहीं लगता है।

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो

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यदि आप इस TCS StackExchange प्रश्न के उत्तर को देखते हैं, तो आप देखेंगे कि इस बात की संभावना है कि गणित का कोई भी क्षेत्र जटिलता सिद्धांत में महत्वपूर्ण हो सकता है। इसलिए, यदि आप वास्तव में गणित के कुछ क्षेत्र में रुचि रखते हैं जो संबंधित नहीं लगता है, तो आगे बढ़ें और इसका अध्ययन करें। यदि यह कभी भी जटिलता सिद्धांत के लिए प्रासंगिक हो जाता है, तो आप इसे समझने वाले कुछ जटिलता सिद्धांतकारों में से एक होंगे।

— पीटर शोर
स्रोत

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इसका मतलब यह नहीं है कि आपको उन क्षेत्रों का अध्ययन नहीं करना चाहिए जिन्हें हम जानते हैं कि वे संबंधित हैं (अन्य उत्तर देखें)। मैं कहूंगा कि इनमें रैखिक बीजगणित, ग्राफ सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत, मूल सार बीजगणित और बुनियादी तर्क शामिल हैं।

— पीटर शोर

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निश्चित रूप से, यदि आप P NP को साबित करने के लिए मुलमुले के कार्यक्रम में योगदान देना चाहते हैं, तो आपको इससे कहीं अधिक, बहुत अधिक गणित की आवश्यकता है।

\neq

$\neq$

— पीटर शोर

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आपको अपनी सूची में गणना के सिद्धांत पर डेक्सटर कोज़ेन की पुस्तक को जोड़ना चाहिए । जटिलता सिद्धांत की मूल बातें बहुत प्रभावी ढंग से शामिल हैं, और लघु व्याख्यान प्रारूप बहुत अच्छा है।

गणितीय पृष्ठभूमि के संदर्भ में, इसके अलावा जो ऊपर उल्लिखित है:

सिद्धांत संभावना
रैखिक बीजगणित और अमूर्त बीजगणित
ग्राफ सिद्धांत
मूल तर्क

मुझे नहीं लगता कि आपको शुरू करने के लिए इन विषयों में मास्टर होने की आवश्यकता है, लेकिन यह निश्चित रूप से एक निश्चित आराम स्तर रखने में मदद करता है।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

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$\bullet$ Stasys Jukna की किताब , एक्सट्रीमल कॉम्बिनेटरिक्स , IMO जटिलता समुदाय के भीतर बहुत कम ज्ञात है। यह TCS (ज्यादातर जटिलता) में उनके अनुप्रयोगों के लिए एक आंख के साथ बड़े पैमाने पर लिखे गए संयोजन तकनीकों का एक बड़ा संग्रह है। उनके कॉम्बीनेटरिक्स के संदर्भ में कई महत्वपूर्ण जटिलता तकनीकों पर चर्चा की जाती है, जिसमें मोनोटोन जैसे प्रसिद्ध परिणाम शामिल हैं- और -सीरोचिट कम सीमाएं, लेकिन कुछ बहुत अच्छे परिणाम जो आप अन्यथा मुठभेड़ नहीं कर सकते हैं। और बहुत सारे व्यायाम हैं। $AC^0$

यह (मेरी जानकारी के लिए) एकमात्र प्रकाशित पुस्तक है, जो 'कॉम्बिनेटरिक्स में रैखिक रैखिक बीजगणित विधि' का गहराई से इलाज करती है - जिसके बारे में जानने के लिए एक चालाक, शक्तिशाली उपकरण। बाबई और फ्रेंकल की एक मसौदा पांडुलिपि है जो बहुत अधिक गहराई में जाती है, लेकिन यह प्रकाशित या ऑनलाइन नहीं है:

https://cs.uchicago.edu/page/linear-algebra-methods-combinatorics-applications-geometry-and-computer-science

$\bullet$ जैसा कि आप शायद जानते हैं, कॉम्बिनेटरिक्स में संभाव्यता विधि बहुत महत्वपूर्ण है, यहां तक कि केंद्रीय, जटिलता सिद्धांत में। जुकना की पुस्तक में इसे शामिल किया गया है, लेकिन इसका इलाज अलोन और स्पेंसर की प्रसिद्ध पुस्तक द प्रोबेबिलिस्टिक विधि द्वारा अधिक गहराई (कई अन्य सुंदर उदाहरणों के साथ) में किया गया है ।

— एंडी ड्रकर
स्रोत

2

इसी तर्ज पर, मैं जयकुमार राधाकृष्णन द्वारा "एंट्रॉपी एंड काउंटिंग," एंट्रोपी पद्धति के लिए सुंदर तरीके से लिखित मार्गदर्शिका को इंगित करना चाहता हूं। एन्ट्रॉपी विधि उन स्लीक टूल में से एक है जो सही अवसर आने पर लागू करने के लिए बहुत संतोषजनक है।

— अर्नब

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पिछले उत्तरों ने पहले से ही बुनियादी लोगों को सूचीबद्ध किया है: संभाव्यता सिद्धांत, संयोजन, रैखिक बीजगणित, अमूर्त बीजगणित (परिमित क्षेत्र, समूह सिद्धांत, आदि)।

मैं जोड़ूंगा:

फूरियर विश्लेषण , उदाहरण के लिए, रयान ओ'डॉनलाइन का कोर्स: http://www.cs.cmu.edu/~odonnell/boolean-analysis/

कोडिंग सिद्धांत , मधु सूदन का पाठ्यक्रम देखें: http://people.csail.mit.edu/madhu/coding/cn.html

सूचना सिद्धांत , मानक पुस्तक सूचना के सिद्धांत का तत्व है: http://www.amazon.com/Elements-Information-Theory-Tele दूरसंचार-Processing / dp/ 0471241954

वहाँ भी प्रतिनिधित्व सिद्धांत, यादृच्छिक चलता है, और कई और अधिक मैं शायद भूल जाओ ...

— दाना मोशकोविट्ज़
स्रोत

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आप जो भी सामान सीखते हैं,

— उसमें

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मूल सामान के अलावा, शायद:

संयोजक - आप पा सकते हैं कि आप चीजों को नियमित रूप से गिन रहे हैं
स्टोचस्टिक - औसत मामले के विश्लेषण और यादृच्छिक एल्गोरिदम के लिए

मुझे नथ द्वारा कंक्रीट गणित पसंद है । यह कई महत्वपूर्ण उपकरणों का अच्छा अवलोकन / बुनियादी ज्ञान देता है।

अगर आप चाहें तो पैदा कार्यों (देखें generationfunctionology विल्फ़ द्वारा) एक उपकरण के रूप में, जटिल विश्लेषण भी काम में आता।

— राफेल
स्रोत

मुझे कंक्रीट मैथ बहुत पसंद है, लेकिन यह थोड़ा गूढ़ है। मैं पहले एक और अधिक मुख्यधारा की किताब की सिफारिश करूंगा, जैसे कैमरन के "कॉम्बिनेटरिक्स"।

— एमिल

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यहाँ मेरी धारणा है - कंक्रीट मैथ एल्गोरिदम का सटीक (या लगभग सटीक) विश्लेषण करने के लिए जानने के लिए एक बढ़िया पुस्तक प्रतीत होती है , नथ का कांटा। यदि आप ऐसा करना चाहते हैं, तो रॉक ऑन करें। लेकिन ध्यान रखें कि अधिकांश जटिलता सिद्धांत पत्र बहुत कम सटीक सीमा देते हैं, इसलिए सीएम की तकनीकें कम प्रासंगिक हैं।

— एंडी ड्रकर

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कुछ लोग यह कह सकते हैं क्योंकि जटिलता सिद्धांतवादी आलसी बम्स हैं। लेकिन मुझे लगता है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि (ए) सटीक सीमा इसके लायक होने की तुलना में अधिक प्रयास हो सकती है, (बी) अक्सर ज्ञात ऊपरी और निचले सीमा के बीच इतना बड़ा अंतर होता है कि दोनों तरफ छोटे शोधन थोड़े मूल्य के लग सकते हैं।

— एंडी ड्रकर

मुझे कहना चाहिए, पुस्तक में सभी प्रकार के शांत सामान हैं - मेरी टिप्पणी मुख्य रूप से सारांश और पुनरावृत्ति संबंधों के सटीक समाधान पर सामग्री की चिंता करती है।

— एंडी ड्रकर

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संजीव अरोड़ा के पास एक स्नातक पाठ्यक्रम (प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए) के लिए एक अच्छा दस्तावेज है जिसे उन्होंने "सिद्धांतवादी टूलकिट" कहा जाता है, जिसमें एक मूल सामग्री है जिसे एक सिद्धांत छात्र को जानना चाहिए। इस सामान का एक बहुत आप सीखने के लिए स्नातक स्कूल तक इंतजार कर सकते हैं, लेकिन यह आपको एक अच्छा विचार देगा जो आपको जानना आवश्यक है और कुछ आवश्यक शर्तें।

— लेव रेइज़िन
स्रोत

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एक सामान्य, हालांकि निश्चित रूप से सार्वभौमिक नहीं है, टीसीएस समुदाय के कई सफल शोधकर्ताओं के लिए प्रतिमान इस प्रकार है: एक स्नातक स्तर पर कुछ मूल बातें जानें, जैसे कि तर्क, रैखिक बीजगणित, संभावना, अनुकूलन, ग्राफ सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, मूल सार बीजगणित। इसके अलावा, जब तक आप वास्तव में यह नहीं सोचते हैं कि आप महीनों से संघर्ष कर रहे हैं, या यदि आपको लगता है कि आप वास्तव में इसके लिए कुछ सीखने का आनंद लेंगे, तो आपको कुछ और सीखने के लिए मजबूर नहीं करना चाहिए।

"मुझे कैसे पता चलेगा कि मुझे इसकी आवश्यकता है अगर मैंने इसे पहले कभी नहीं देखा है?", आप पूछते हैं। अच्छा प्रश्न। कभी-कभी आप भाग्यशाली होते हैं और इसे समझ पाते हैं: "आप जानते हैं कि, इस उप-समस्या से मैं बहुत अधिक ध्वनियों से निपटने की कोशिश कर रहा हूं, जैसे कि फूरियर ट्रांसफॉर्मिंग बातमजिगी फ्रेड के बारे में बंद नहीं होगा। मुझे यह देखना होगा कि फ्रेड को बाहर निकालना है या फँसाना है। एक कमरे में है और उसने मुझे मूल बातों के माध्यम से एक तेज रन दिया है। ” दूसरी बार, आप एक कमरे में अपने से अधिक जानकार लोगों के एक समूह को फँसाते हैं, एक संगोष्ठी बात या कुछ देकर कहते हैं, और आप इस समस्या को कैसे हल कर सकते हैं, जब तक कि फ्रेड झंकार के साथ "अरे, मैं आपको यह शर्त नहीं लगाता कि आप फूरियर विश्लेषण के साथ इसे हल कर सकते हैं। मुझे तुम्हें दिखाने के लिए कैसे। " अंत में, आपको फ्रेड के साथ एक संयुक्त पेपर मिलता है, आपने कुछ नया सीखा है, और आप और फ्रेड अब सबसे अच्छे दोस्त हैं और हर दूसरे शनिवार की रात को पीने जाते हैं।

— TCSgradstudent
स्रोत

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मुझे लगता है कि गणित के क्षेत्रों की एक सूची जो उपयोगी नहीं है वह उन क्षेत्रों की सूची से बहुत कम होगी जो हैं! मैं किसी के बारे में सोच भी नहीं सकता।

जो भी गणित रुचिकर लगता है उसका अध्ययन करें, और / या जो कुछ भी आपको ऐसा लगता है वह इस समय आपकी आवश्यकता है। यहां तक कि अगर आप इसे सीधे उपयोग नहीं करते हैं, तो यह आपको अन्य सामान को सीखने में मदद करेगा जो आप करते हैं।

— Jeffε
स्रोत

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मैं इसका उत्तर दूंगा। जो भी गणित आपको सबसे दिलचस्प लगता है वह आपको निर्देशित करेगा कि कौन सी समस्याएं सबसे दिलचस्प हैं और साथ ही ऐसी समस्याएं जो आप हल करने के लिए अच्छी तरह से अनुकूल हैं।

— डेरिक स्टोले

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बुनियादी गणितीय तर्क का ज्ञान, मेरी राय में, एक प्लस है। आप कोरी और लस्कर की दो पुस्तकों पर एक नज़र डाल सकते हैं।

गणितीय तर्क: अभ्यास के साथ एक कोर्स भाग I

गणितीय तर्क: अभ्यास के साथ एक कोर्स भाग II

— सिल्वेन पायरोनेट
स्रोत

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मैं इन पुस्तकों पर एक नज़र डालने की सलाह देता हूं:

इसके अलावा, MFCS (कंप्यूटर विज्ञान के गणितीय नींव) सम्मेलन में विषय आपको किस प्रकार की पृष्ठभूमि की आवश्यकता हो सकती है। (कैविएट: सम्मेलन में अत्यधिक उन्नत विषय शामिल हैं। आपको उन्हें मास्टर करने की आवश्यकता नहीं है। बस बड़ी तस्वीर प्राप्त करने की कोशिश करें।)

— एमएस डौस्ती
स्रोत

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संख्या सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया गया है, लेकिन यह कई क्रिप्टोग्राफिक और जटिलता-सिद्धांत संबंधी निर्माणों के लिए एक बहुत महत्वपूर्ण उपकरण है।

— अर्नाब
स्रोत

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परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत (परिमित क्षेत्रों पर भी) विभिन्न कार्यों के लिए आश्चर्यजनक रूप से उपयोगी हो सकता है, जिसमें शामिल हैं:

मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम ( Cohn - क्लेनबर्ग-स्वज़ी-उम्मन )
स्थानीय रूप से डिकोड करने योग्य कोड का निर्माण करना (उदाहरण के लिए क्लिम एफ्रेमेनको द्वारा यह पत्र देखें )
क्वांटम कम्प्यूटिंग में आवेदन (हिडन सबग्रुप प्रॉब्लम नॉनबेलियन ग्रुप्स के लिए, गुणक प्रतिकूल विधि)

$S_n$

— मर्सिन कोटोवस्की
स्रोत

विस्तारक रेखांकन के नियतात्मक निर्माणों को न भूलें

— साशो निकोलेव

आप संपत्ति (टी) एक ला Lubotzky का उपयोग कर बीजीय निर्माण का मतलब है? उस मामले में, ऊपर के उदाहरणों की तुलना में यह कुछ अलग स्वाद है (परिमित समूहों के irreps का उपयोग न करें)।

— मार्सिन कोटोवस्की

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मैं गैरी और जॉनसन की पुस्तक पढ़ने की सलाह देता हूं

कंप्यूटर और इंटरैक्टेबिलिटी: एनपी-पूर्णता के सिद्धांत के लिए एक गाइड ।

इसे बहुत कम गणितीय पृष्ठभूमि के साथ पढ़ा जा सकता है। मुझे लगता है कि यह पुस्तक पढ़ने के लिए एक खुशी है, और मैं इसे पापादिमित्रिउ और अरोड़ा / बराक पर पहली पुस्तक के रूप में सुझाऊंगा। एक बार जब आप इसे पढ़ लेते हैं, तो आप अन्य पुस्तकों में डुबकी लगा सकते हैं और गणित के विभिन्न बिट्स की पहचान कर सकते हैं जिन्हें आपको उन उन्नत विषयों को समझने की आवश्यकता है जिन्हें आप रुचि रखते हैं।

— एमिल
स्रोत

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मैंने इस पुस्तक से जटिलता सीखी, लेकिन इसे बहुत असंतुलित, लेकिन अंत में महत्वहीन विवरणों के साथ असंतुलित पाया, फिर भी इसमें उन मुद्दों का कवरेज नहीं है, जो उस समय भी महत्वपूर्ण थे जब किताब लिखी गई थी। दूसरी ओर, यह कभी-कभार एक महत्वपूर्ण संदर्भ कार्य है। इसके विपरीत, कोज़ेन के एक अन्य उत्तर में वर्णित पाठ स्पष्ट, व्यापक और आधुनिक है।

— अन्द्र दास सलामन

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एक बार UWaterloo CS में अंडरग्रेजुएट लेवल कोर्स CS464 (2002) में क्रिस्टोस एच। पापादिमित्रिउ के कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी , एडिसन-वेस्ले, 1994 का उपयोग किया गया था।

सूचीबद्ध पृष्ठभूमि के विषयों में ट्यूरिंग मशीन, अनिर्णयता, समय की जटिलता और एनपी-पूर्णता शामिल हैं।

पृष्ठभूमि के लिए, अपनी लाइब्रेरी को QA267.G57 के पास ब्राउज़ करें (गोडार्ड की गणना के सिद्धांत का परिचय , एक त्वरित स्किम पढ़ने या दो और मेरे लिए उपलब्धता के आधार पर, पृष्ठभूमि के सीएस पक्ष को कवर करने के लिए लगता है; मेरे पास कुछ सेट और समूह है। शुद्ध गणित पक्ष से सिद्धांत भी उपयोगी होगा।)

— josh0
स्रोत

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मेरी इच्छा है कि मुझे वोट देने के लिए पर्याप्त प्रतिष्ठा मिले। वे एक विश्वविद्यालय और उसके पुस्तकालय का संदर्भ क्यों देते हैं?

— एलेसेंड्रो कोसेंटिनो

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FWIW, QA267.G57 एक कांग्रेस कॉल नंबर की लाइब्रेरी है, जो एक व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला पुस्तकालय मानक है। यह वाटरलू विश्वविद्यालय के लिए विशिष्ट नहीं है (संभवतः अंतिम अंकों के लिए छोड़कर)।

— एमिल जेकाबेक