रैखिक समीकरणों को हल करने की जटिलता

Question

कुछ परिमित क्षेत्र पर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की जटिलता के बारे में क्या जाना जाता है? मुझे पता है कि वहाँ मौजूद है$O(n^3)$एल्गोरिथ्म (गॉस) जो एक समाधान की गणना करता है और विरल प्रणालियों के लिए और भी बेहतर एल्गोरिदम हैं। हालाँकि, मैं सोच रहा था कि क्या इस समस्या का कुछ कॉम्प्लेक्सिटी-थ्योरिटिक लक्षण वर्णन है। उदाहरण के लिए, में संबंधित निर्णय समस्या है$\mathbf{NC}$? क्या यह किसी भी जटिलता वर्ग के लिए पूर्ण है?

Answer 1

मुझे यकीन नहीं है कि यह एक शोध-स्तर का सवाल है, हालांकि रैखिक प्रणालियों को हल करना $\mathbb F_p$ एक है $\mathrm{Mod}_p\mathrm L$- अपूर्ण समस्या, इसलिए विशेष रूप से यह अंदर है$\mathrm{NC}^2$। अधिक आम तौर पर, रैखिक बीजगणित पर$\mathbb F_{p^k}$ (कम से कम के लिए $k$ तय) को कम किया जा सकता है $\mathbb F_p$ मामला।

Answer 2

30 से अधिक वर्षों के लिए जाना जाने वाला एक परिणाम है कि गुआसियन उन्मूलन $\mathbb F_2$ विभिन्न विघटनों द्वारा किया जा सकता है जो लगते हैं $O(n^\omega)$, कहाँ पे $\omega$ मैट्रिक्स गुणन स्थिरांक है।

संदर्भ:

Ibarra, O., Moran, S., और Hui, R. 1982. तेजी से LUP मैट्रिक्स अपघटन एल्गोरिथ्म और अनुप्रयोगों का एक सामान्यीकरण । जर्नल ऑफ़ अल्गोरिदम 3, 45 {56।

जीनरोड, सी। -पी। , Pernet, C., और Storjohann, A. 2011. गौसेन उन्मूलन और CUP मैट्रिक्स अपघटन का खुलासा करने वाली रैंक प्रोफ़ाइल ।