क्या डोमिनेटिंग सेट की समस्या अधिकतम 3 डिग्री एनपी-पूर्ण के प्लानर द्विदलीय रेखांकन तक सीमित है?

Question

क्या किसी को ग्राफ़ में DOMINATING SET समस्या के लिए NP-पूर्णता परिणाम के बारे में पता है, जो अधिकतम डिग्री 3 के प्लानर द्विदलीय ग्राफ़ के वर्ग तक सीमित है?

मुझे पता है कि यह अधिकतम डिग्री 3 (देखें गैरी और जॉनसन बुक देखें) के प्लैनर ग्राफ्स के वर्ग के लिए एनपी-पूर्ण है, साथ ही अधिकतम डिग्री 3 के द्विदलीय रेखांकन के लिए (एम। च्लेबिक और जे। चेल्सीकोवा देखें, "अनुमोदन की कठोरता) बाउंडेड डिग्री ग्राफ्स में वर्चस्व स्थापित करने वाली समस्याएं "), लेकिन साहित्य में दोनों के संयोजन का पता नहीं लगा सका।

Comments

अगली बार जब आप क्रॉसपोस्ट करें तो कृपया मूल पोस्ट से लिंक करें। mathoverflow.net/questions/43720/… । क्रॉसपोस्टिंग के बारे में हमारी अक्सर पूछे जाने वाली प्रविष्टि भी देखें ।

— त्सुयोशी इतो

(१) क्या कुछ ज्ञात है यदि आप ३ को किसी अन्य स्थिरांक में बढ़ाते हैं? (२) क्या किसी विशेष मामले के बारे में जाना जाता है जहाँ "अधिकतम डिग्री 3" को "3-नियमित" तक सीमित रखा जाता है? (क्या यह पी में होने के लिए जाना जाता है? क्या यह अधिकतम डिग्री 3 के मामले के बराबर जाना जाता है?) (3) जिज्ञासा से बाहर, क्या इसका कोई आवेदन है, या क्या आप इसमें पूरी तरह से रुचि रखते हैं? (बस मामले में, मैं यह नहीं कह रहा हूं कि एक आवेदन के बिना एक समस्या खराब है। मैं यह इसलिए पूछ रहा हूं क्योंकि अगर आपके पास कुछ आवेदन है, तो यह प्रश्न को और अधिक रोचक बना सकता है।)

— Tsuyoshi Ito

(१) मेरी जानकारी के लिए नहीं (२) नहीं। लेकिन मैं उम्मीद करता हूं कि यह कठिन भी होगा (३) मेरे लिए एकमात्र आवेदन एनपी-कठोरता की कुछ अन्य समस्याओं को प्राप्त करना होगा, जो वास्तव में प्रतिबंधित हैं, वर्ग रेखांकन

— फ्लोरेंट फौकॉड

Answer 1

क्या होगा अगर आप बस निम्न कार्य करें: एक ग्राफ को देखते हुए , एक और ग्राफ का निर्माण में से प्रत्येक के किनारे subdividing द्वारा जी 4 भागों में; यहाँ U नए नोड्स का सेट है जिसे हमने पेश किया था, और | U | = 3 | ई | ।जी ' = ( वी ∪ यू , ई ' ) $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

ग्राफ द्विदलीय है। इसके अलावा, अगर प्लैनर है और अधिकतम है। डिग्री 3, तो भी प्लेनर है और अधिकतम है। डिग्री 3।$G'$जी $G$$G'$

चलो एक (न्यूनतम) हो के लिए निर्धारित हावी । एक किनारे पर विचार करें जो में एक पथ बनाने के लिए उप-विभाजित किया गया था । अब स्पष्ट रूप से कम से कम एक में है । इसके अलावा, अगर हम और अधिक में से एक की तुलना में में , हम संशोधित कर सकते हैं इतना है कि यह एक वैध हावी सेट बनी हुई है और इसका आकार में वृद्धि नहीं करता। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास और , हम समान रूप से अच्छी निकाल सकते हैं से और जोड़ने के लिएजी ' ( एक्स , वाई ) ∈ ई ( एक्स , एक , ख , ग , y ) जी ' एक , ख , ग घ ' एक , ख , ग डी ' डी ' एक ∈ डी ' ग ∈ डी ' सी डी ′ य D ′ | D ∩ ′ U | $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$$D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$। इसलिए व्लॉग हमारे पास है।$|D' \cap U| = |E|$

फिर । मान लें कि और । तब हमारे पास एक नोड होना चाहिए जैसे कि । इसलिए एक किनारे जैसे हमारे पास में एक पथ है । चूंकि और , हमारे पास , और पर हावी होने के लिए हमें होना चाहिए । इसलिए नोड में साथ पड़ोसी है । वह है,एक्स ∈ वी एक्स ∉ डी ' एक ∈ डी ' ( एक्स , एक ) ∈ ई ' ( एक्स , वाई ) ∈ ई ( एक्स , एक , ख , ग , y ) जी ' एक , ख , ग ∈ यू एक ∈ डी ' ख , ग ∉ $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c \in U$$a \in D'$ ग y ∈ डी ' जी y एक्स वाई ∈ डी डी $b, c \notin D'$$c$$y \in D'$$G$$y$$x$$y \in D$$D$ लिए एक हावी सेट है ।$G$

इसके विपरीत, लिए एक न्यूनतम (न्यूनतम) डोमिनेटिंग सेट पर विचार करें । लिए एक डोमिनेटिंग सेट निर्माण करें ताकिके रूप में इस प्रकार है: एक बढ़त के लिए है कि एक रास्ता बनाने के लिए उप-विभाजित किया गया था में , हम जोड़ने के करने के लिए यदि और ; हम जोड़ने करने के लिए यदि और ; और नहीं तो हम जोड़ने के लिए । अब यह जांचा जा सकता है किजी डी ' जी ' | डी ′ | = | डी | + | ई | ( एक्स , वाई ) ∈ ई ( एक्स , एक , ख , ग , y ) जी ' एक डी ' एक्स ∉ डी वाई ∈ डी सी डी ' एक्स ∈ डी वाई ∉ डी बी डी ' डी $D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$$D'$ लिए एक हावी सेट है : निर्माण के द्वारा, सभी नोड्स का बोलबाला है। अब । तब ऐसा एक जैसे कि , और इसलिए पथ हमारे पास , जो पर हावी है ।$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

सारांश में, यदि का आकार का एक वर्चस्व सेट है , तो में अधिकतम आकार का एक वर्चस्व सेट है, और यदि का आकार का एक वर्चस्व सेट है, तो पास सबसे अधिक पर आकार का एक हावी सेट है ।$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

संपादित करें: एक चित्रण जोड़ा गया। शीर्ष: मूल ग्राफ ; मध्य: ग्राफ एक "सामान्यीकृत" हावी सेट के साथ; नीचे: ग्राफ एक मनमाना हावी सेट के साथ।$G$$G'$$G'$

Comments

अच्छा उत्तर।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

धन्यवाद, यह अच्छी तरह से मेरे सवाल का जवाब देता है (अच्छी तस्वीरों के बिना भी?)) किसी को भी एक संदर्भ के बारे में पता है, जहां कुछ अन्य (शास्त्रीय) एनपी-हार्ड ग्राफ की समस्याएं (जैसे वर्टेक्स कवर या अन्य वर्चस्व की समस्याएं) द्विदलीय ग्रहों के ग्राफ में अध्ययन की जाती हैं बंधी हुई डिग्री? मुझे लगता है कि दिलचस्प होना चाहिए।

— फ्लोरेंट फौकॉड

यदि यह प्रश्न का उत्तर देता है, तो शायद आपको उत्तर को स्वीकार करने पर विचार करना चाहिए ... :) अन्य समस्याओं के संबंध में, किसी भी द्विदलीय ग्राफ में शीर्ष कवर आसान है । लेकिन मुझे लगता है कि एज डॉमिनेटिंग सेट इस सेटिंग में अध्ययन करने के लिए एक स्वाभाविक समस्या हो सकती है?

— जुका सुओमेला

ओके धन्यवाद मुझे कोनिग की प्रमेय की याद दिलाने और हरे रंग के चेकबॉक्स की जांच के लिए;)

— फ्लोरेंट फौकॉड

ठोस जवाब जुका!

— गेब्रियल फेयर