क्या होगा अगर आप बस निम्न कार्य करें: एक ग्राफ को देखते हुए , एक और ग्राफ का निर्माण में से प्रत्येक के किनारे subdividing द्वारा जी 4 भागों में; यहाँ U नए नोड्स का सेट है जिसे हमने पेश किया था, और | U | = 3 | ई | ।जी ' = ( वी ∪ यू , ई ' ) जीजी = ( वी, ई)जी'= ( वी∪ यू, ई')जीयू| यू| =3 | इ|
ग्राफ द्विदलीय है। इसके अलावा, अगर प्लैनर है और अधिकतम है। डिग्री 3, तो भी प्लेनर है और अधिकतम है। डिग्री 3।जी'जी ′जीजी'
चलो एक (न्यूनतम) हो के लिए निर्धारित हावी । एक किनारे पर विचार करें जो में एक पथ बनाने के लिए उप-विभाजित किया गया था । अब स्पष्ट रूप से कम से कम एक में है । इसके अलावा, अगर हम और अधिक में से एक की तुलना में में , हम संशोधित कर सकते हैं इतना है कि यह एक वैध हावी सेट बनी हुई है और इसका आकार में वृद्धि नहीं करता। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास और , हम समान रूप से अच्छी निकाल सकते हैं से और जोड़ने के लिएजी ' ( एक्स , वाई ) ∈ ई ( एक्स , एक , ख , ग , y ) जी ' एक , ख , ग घ ' एक , ख , ग डी ' डी ' एक ∈ डी ' ग ∈ डी ' सी डी ′ य D ′ | D ∩ ′ U | =डी'जी'( एक्स , वाई) ∈ ई( एक्स , ए , बी , सी , वाई)जी'ए , बी , सीडी'ए , बी , सीडी'डी'एक ∈ डी'सी ∈ डी'सीडी'yडी'। इसलिए व्लॉग हमारे पास है।| डी'∩ यू| = | इ|
फिर । मान लें कि और । तब हमारे पास एक नोड होना चाहिए जैसे कि । इसलिए एक किनारे जैसे हमारे पास में एक पथ है । चूंकि और , हमारे पास , और पर हावी होने के लिए हमें होना चाहिए । इसलिए नोड में साथ पड़ोसी है । वह है,एक्स ∈ वी एक्स ∉ डी ' एक ∈ डी ' ( एक्स , एक ) ∈ ई ' ( एक्स , वाई ) ∈ ई ( एक्स , एक , ख , ग , y ) जी ' एक , ख , ग ∈ यू एक ∈ डी ' ख , ग ∉ डीडी = डी'∩ वीx ∈ वीx ∉ डी'एक ∈ डी'(x,a)∈E′(x,y)∈E( एक्स , ए , बी , सी , वाई)जी'ए , बी , सी ∈ यूएक ∈ डी' ग y ∈ डी ' जी y एक्स वाई ∈ डी डी जीb,c∉D′cy∈D′Gyxy∈DD लिए एक हावी सेट है ।G
इसके विपरीत, लिए एक न्यूनतम (न्यूनतम) डोमिनेटिंग सेट पर विचार करें । लिए एक डोमिनेटिंग सेट निर्माण करें ताकिके रूप में इस प्रकार है: एक बढ़त के लिए है कि एक रास्ता बनाने के लिए उप-विभाजित किया गया था में , हम जोड़ने के करने के लिए यदि और ; हम जोड़ने करने के लिए यदि और ; और नहीं तो हम जोड़ने के लिए । अब यह जांचा जा सकता है किजी डी ' जी ' | डी ′ | = | डी | + | ई | ( एक्स , वाई ) ∈ ई ( एक्स , एक , ख , ग , y ) जी ' एक डी ' एक्स ∉ डी वाई ∈ डी सी डी ' एक्स ∈ डी वाई ∉ डी बी डी ' डी 'DGD′G′|D′|=|D|+|E|(x,y)∈E(x,a,b,c,y)G′aD′x∉Dy∈DcD′x∈Dy∉DbD′D′ लिए एक हावी सेट है : निर्माण के द्वारा, सभी नोड्स का बोलबाला है। अब । तब ऐसा एक जैसे कि , और इसलिए पथ हमारे पास , जो पर हावी है ।G′Ux∈V∖D′y∈V(x,y)∈E(x,a,b,c,y)a∈D′x
सारांश में, यदि का आकार का एक वर्चस्व सेट है , तो में अधिकतम आकार का एक वर्चस्व सेट है, और यदि का आकार का एक वर्चस्व सेट है, तो पास सबसे अधिक पर आकार का एक हावी सेट है ।GkG′k+|E|G′k+|E|Gk
संपादित करें: एक चित्रण जोड़ा गया। शीर्ष: मूल ग्राफ ; मध्य: ग्राफ एक "सामान्यीकृत" हावी सेट के साथ; नीचे: ग्राफ एक मनमाना हावी सेट के साथ।GG′G′