कम्प्यूटेशनल जटिलता में कठोरता कूदती है?

34

न्यूनतम बैंडविड्थ समस्या पूर्णांक रेखा पर ग्राफ़ नोड्स के एक आदेश को खोजने के लिए है जो किसी भी दो आसन्न नोड्स के बीच सबसे बड़ी दूरी को कम करता है। एक -caterpillar एक पेड़ अधिक से अधिक लंबाई के किनारे-संबंध तोड़ना रास्तों से बढ़ रही द्वारा मुख्य पथ से बनता है अपने नोड्स से ( बालों की लंबाई कहा जाता है)। न्यूनतम बैंडविड्थ की समस्या 2-कैटरपिलर के लिए में है लेकिन यह 3-कैटरपिलर के लिए -complete है। $k$ $k$ $k$ $P$ $NP$

यहां एक बहुत ही रोचक तथ्य है, 1-कैटरपिलर (अधिकांश में बालों की लंबाई) के लिए न्यूनतम बैंडविड्थ समस्या बहुपद समय में हल करने योग्य है, लेकिन चक्रीय 1-कैटरपिलर के लिए यह पूर्ण है (साइक्लिपिंग पिल्लर में, एंडपॉइंट्स को जोड़ने के लिए एक किनारे जोड़ा जाता है मुख्य पथ के)। तो, ठीक एक किनारे के अलावा समस्या अपूर्ण बनाता है । $NP$ $NP$

समस्या कठोरता कूद का सबसे स्पष्ट उदाहरण क्या है जहां इनपुट आवृत्ति का एक छोटा सा परिवर्तन बहुपद-समय सॉल्वेबिलिटी से -कंपनी के जटिलता जटिलता का कारण बनता है ? $NP$

cc.complexity-theory

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

6

स्थायी बनाम निर्धारक। ये दो अलग-अलग समस्याएं हैं (इसलिए मुझे लगता है कि यह उत्तर के रूप में योग्य नहीं है) लेकिन कठोरता कूद काफी हड़ताली है।

— जगदीश

@ जगदीश, मैं सहमत हूं। फिर भी, मुझे लगता है कि आप इसे उत्तर के रूप में पोस्ट कर सकते हैं।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

8

0-1 मैट्रिक्स के स्थायी को मैट्रिक्स के निर्धारक के अपेक्षित मूल्य के रूप में देखा जा सकता है जब 1 प्रविष्टियों को यादृच्छिक पर +1 या -1 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

— दाना मोशकोविट्ज़

@ दाना, क्या आप अपनी टिप्पणी को एक अलग जवाब दे सकते हैं? (अधिमानतः एक संदर्भ के साथ)

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

सामुदायिक विकी?

— निएल डी ब्यूड्रैप

46

कठोरता के कूदने के अधिक दिलचस्प लागू उदाहरणों में से एक को निम्नलिखित समस्या में देखा जा सकता है:

टीमों के साथ एक फुटबॉल लीग चैंपियनशिप पर विचार करें : यह निर्णय लेने की समस्या कि क्या कोई दी गई टीम (अभी भी) लीग जीत सकती है यदि एक मैच में, विजेता टीम को 2 अंक दिए जाते हैं, एक 0 से हार जाती है और प्रत्येक टीम को 1 से सम्मानित किया जाता है एक ड्रा मैच में। लेकिन अगर हम नियमों में बदलाव करते हैं ताकि विजेता टीम को 3 अंक मिलें , वही समस्या -hard बन जाती है । $n$ $P$ $NP$

परिणाम किसी भी लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है नियम प्रत्येक और यहां तक कि केवल तीन शेष राउंड के लिए। $(0, 1, k)$ $k > 2$

स्रोत: इंगो वेगेनर द्वारा "जटिलता सिद्धांत" ( http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319 )

— दिमित्री स्केफेलोविट्स
स्रोत

12

यह मुझे टीएसपी की याद दिलाता है: आप 1 या 2 वजन वाले लगभग 1.5 प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यदि वजन 1 या 3 है, तो नहीं

— सुरेश वेंकट

24

यह प्रश्न-शीर्षक में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देता है, लेकिन प्रश्न में पूछे गए प्रश्न का नहीं।

जंप-इन-हार्डनेस का एक चौंकाने वाला उदाहरण सवाल से उठता है, "एक प्लानर फॉर्मूला, मोडुलो कितने संतोषजनक काम करता है ?" यह व्यापक रूप से # पी-हार्ड माना जाता था, और यह "सबसे" मूल्यों के लिए है , लेकिन अगर एक Mersenne पूर्णांक है (उदाहरण के लिए , क्योंकि 7 फॉर्म ), तो उत्तर की गणना बहुपद समय में की जा सकती है। $n$ $n$ $n$ $n=7$ $2^3-1$

यह पहली बार Valiant ने अपने ग्राउंडब्रेकिंग होलोग्राफिक अल्गोरिथम पेपर में खोजा था।

— हारून स्टर्लिंग
स्रोत

4

यह बिल्कुल सही नहीं है। सूत्र को केवल प्लानर होने की आवश्यकता नहीं है। इसे मोनोटोन होने की भी जरूरत है, दो बार पढ़ा, और आकार खंड है, जहां । होलोग्राफिक एल्गोरिदम में वैलेंट की प्रस्तुति खंड आकार को पर ठीक करना है और फिर मापांक को भिन्न करना है। विशेषता 0 कठोरता (अर्थात # पी-हार्नेस) ज्ञात थी। वैधता ने कठोरता मॉड 2 और मॉड 7 को सिद्ध किया। ध्यान दें कि यह कठोरता कठोरता है, न कि # पी-कठोरता। मेरा मानना है कि जटिलता मॉड अन्य मूल्यों खुला है। बाद में, जिन-यी कै और Pinyan लू सभी के लिए शिक्षणीयता दिया ।

k

$k$

n = 2^{k} - 1

$n = 2^k - 1$

k = 3

$k=3$

\oplus P = #_{2} P

$\oplus P = \#_2 P$

k

$k$

— टायसन विलियम्स

2

इस बारे में अधिक जानकारी के लिए, पेपर संदर्भों सहित, विकिपीडिया पर होलोग्राफिक_ एल्गोरिथ्म # इतिहास देखें ।

— टायसन विलियम्स

21

INDEPENDENT SET, एनपी-पूर्ण (क्रॉस, ट्राइएंगल) -फ्री ग्राफ्स के लिए पूर्ण है , लेकिन इसे (कुर्सी, ट्राइएंगल) -फ्री ग्राफ्स के लिए रैखिक समय में हल किया जा सकता है । (एक्स-मुक्त ग्राफ़ वे होते हैं जिनमें एक्स से कोई ग्राफ़ नहीं होता है जो एक प्रेरित उपसमूह के रूप में होता है।)

कुर्सी: ISGCI से कुर्सी ग्राफ की छवि त्रिकोण: ISGCI से त्रिकोण ग्राफ की छवि क्रॉस: ISGCI से क्रॉस ग्राफ की छवि

ध्यान दें कि क्रॉस को एक किनारे से जोड़कर कुर्सी से प्राप्त किया जाता है।

— आंद्रस सलामन
स्रोत

12

इस अधिक सरल उदाहरण के बारे में क्या है: INDEPENDENT SET

मुक्त रेखांकन के लिए NP-c है , लेकिन

-free (यानी, पंजा-मुक्त) रेखांकन के लिए रैखिक समय में हल किया जा सकता है ।

K_{1, 4}

$K_{1,4}$

K_{1, 3}

$K_{1,3}$

— vb le

19

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके लक्षण वर्णन के साथ जाऊंगा कि इनपुट में एक किनारे को जोड़ने से समस्या एनपी-पूर्ण हो जाती है, क्योंकि एक वास्तव में एक बढ़त को असीम रूप से कई इनपुट उदाहरणों में से हर एक में जोड़ने की अनुमति देता है।

यहां एक समस्या का एक उदाहरण है जो आपके द्वारा सुझाई गई लाइनों के साथ एक तेज द्विभाजन को दर्शाता है।

यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या इनपुट ग्राफ जी से एक निश्चित टेम्प्लेट ग्राफ एच तक ग्राफ होमोमोर्फिज्म है, पी में है जब एच एक स्व-लूप के साथ एक ग्राफ है या एक द्विदलीय लूपलेस ग्राफ है। जब एच द्विपदी नहीं होता है (इसे एक किनारे जोड़कर अक्सर प्राप्त किया जा सकता है) तो समस्या एनपी-पूर्ण हो जाती है।

पी। हेल और जे। नेसेटिल, एच-कलरिंग की जटिलता , जे। कॉम्ब । गु। B 48 92–110, 1990. डोई: 10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-जे

यहां कुंजी यह है कि 2-रंग पी में है (यह लिए एक होमोमोर्फिज्म से मेल खाता है , 3 कोने पर पथ) है, जबकि 3-रंग एनपी-पूर्ण है (यह होमोमोर्फिज्म से , त्रिकोण तक मेल खाता है )। $P_3$ $K_3$

— आंद्रस सलामन
स्रोत

14

यहां एक और दिलचस्प उदाहरण दिया गया है, जो कि प्रेरित सबग्राफ डिटेक्शन में उठाया गया है:

एक थीटा गैर आसन्न कोने के साथ एक ग्राफ है $x,y$ , तीन रास्तों $P_1, P_2, P_3$ से $x$ के लिए $y$ , जहां किसी भी दो रास्ते 3 से लंबाई अधिक से अधिक के साथ एक चक्र प्रेरित किया।

एक पिरामिड है एक ग्राफ के साथ एक शीर्ष $x$ , एक त्रिकोण $y_1,y_2,y_3$ , और रास्तों $P_i$ से $x$ के लिए $y_i$ प्रत्येक के लिए $i=1,2,3$ , लंबाई एक के साथ ज्यादा से ज्यादा एक पथ के साथ।

अंत में, एक चश्मे दो त्रिकोण के साथ एक ग्राफ है $x_1,x_2,x_3$ और $y_1,y_2,y_3$ , और रास्तों $P_i$ से $x_i$ करने के लिए $y_i$ प्रत्येक के लिए $i=1,2,3$ ।

आंकड़ों में वर्णन करना आसान है:

थीटा, प्रिज़्म और पिरामिड

प्रेरित थीटा और पिरामिड का पता लगाने के लिए, यह बहुपद समय में जाना जाता है। (वास्तव में, थीटा के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिथ्म $O(n^{11})$ समय लगता है, और पिरामिड के लिए $O(n^9)$ ।) लेकिन एक प्रेरित प्रिज्म का पता लगाने के लिए, समस्या NP- हार्ड हो जाती है।

संदर्भ के लिए लेवेके, लिन, मेफ्रे और ट्रॉटिग्नन द्वारा एक " प्रेरित उपसमूह का पता लगा " देख सकते हैं । थीटा और पिरामिड अपेक्षाकृत आसान है, इसका कारण "थ्री-इन-ए-ट्री" समस्या है, जिसका वर्णन चुडनोव्स्की और सीमोर द्वारा " थ्री-इन-ए-ट्री समस्या " में किया गया है।

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

13

एर ... मुझे यकीन है कि आप कम तुच्छ उदाहरणों की तलाश कर रहे हैं ... लेकिन मैं यह बताना चाहूंगा कि संख्या बनाम बारे में कुछ खास है । से , बनाम , आदि। सहज रूप से, मुझे हमेशा यह लगा है क्योंकि अधिकांश 2 किनारों के साथ एक नोड अधिकांश लाइन पर बन सकता है, लेकिन 3 किनारों वाला एक नोड एक पेड़ बना सकता है, जब हम 2-3 से आगे बढ़ते हैं तो हमें एक दहनशील विस्फोट मिलता है। $2$ $3$ $2-SAT$ $3-SAT$ $2-COL$ $3-COL$

— gabgoh
स्रोत

9

दूसरी ओर, MAX 2SAT कठिन है। तो 2 यह विशेष नहीं है।

— सुरेश वेंकट

1

2 और पूर्णता पूर्णता विशेष लगती है। :)

— डेनियल एपन

इसके अलावा, 2 डी परफेक्ट मैचिंग बनाम 3 डी परफेक्ट मैचिंग।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी 19

13

मुझे लगता है कि उदाहरणों के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है। हम अलग-अलग कठिनाइयों के साथ इनपुट इंस्टेंस के दो वितरण के बारे में बात कर सकते हैं, लेकिन वितरण के बीच या वितरण में उदाहरणों के बीच संबंध होने पर यह अधिक दिलचस्प होगा।

हम वितरण के एक पैरामीटर वाले परिवार पर विचार कर सकते हैं, और उसके बाद बात करते हैं कि जब हम पैरामीटर बदलते हैं तो क्या होता है। आप जिस चीज को थ्रेशोल्ड घटना कहते हैं, उसमें रुचि हो सकती है , "जहां एक सिस्टम एक पैरामीटर में एक छोटे से बदलाव के परिणामस्वरूप एक तेज गुणात्मक परिवर्तन से गुजरता है ..."। इस सर्वेक्षण पर नज़र डालें: एहुद फ्राइडगट , " हंटिंग फॉर शार्प थ्रेशोल्ड्स ", रैंडम स्ट्रक्चर्स एल्गोरिथम 26, 2005।

मुझे लगता है कि सबसे स्पष्ट और सुंदर उदाहरणों में से एक खंड घनत्व के साथ यादृच्छिक कश्मीर-सैट है , चरण संक्रमण वास्तव में आश्चर्यजनक है। $\Delta$

— कावेह
स्रोत

11

लैम्ब्डा शब्दों के लिए प्रकार का निष्कर्ष निकालते साथ DEXPTIME-पूरा हो गया है prenex और रैंक -2 बहुरूपी प्रकार सिस्टम (जब प्रकार परिमाणकों सबसे एक स्तर गहरी पर नेस्टेड रहते हैं), लेकिन हो जाता है अनिर्णनीय रैंक -3 और अधिक के लिए। अजीब बात है कि एक अतिरिक्त घोंसले का स्तर एक समस्या को अविश्वसनीय रूप से प्रस्तुत कर सकता है।

— एलेक्स रुबिनस्टीन
स्रोत

10

ग्राउंडर की ग्राउंडिंग स्थिति का पता लगाना इस्सिंग मॉडल के साथ 0 चुंबकीय क्षेत्र पी में है, गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्र के साथ यह एनपी-हार्ड है। 0 चुंबकीय क्षेत्र के साथ प्लानर इस्सिंग मॉडल का विभाजन कार्य पी में है, गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्र के साथ यह एनपी-हार्ड है।

— यारोस्लाव बुलटोव
स्रोत

9

यहां एक दिलचस्प समस्या है एक न्यूनतम जटिलता के साथ कूदना जैसे न्यूनतम बैंडविड्थ जिसे आपने अपने प्रश्न में संबोधित किया है।

मान लीजिए कि एक ग्राफ है और , का एक फैला हुआ पेड़ है । बढ़त के लिए चक्कर अद्वितीय है - में पथ । की भीड़ , से निरूपित किया detours कि शामिल की संख्या है । में की भीड़ , द्वारा चिह्नित $G$ $T$ $G$ $uv\in E(G)$ $u$ $v$ $T$ $e \in E(T)$ $\mathrm{cng}_{G,T}(e)$ $e$ $G$ $T$ , में सभी किनारों पर अधिकतम जमाव है। के फैले पेड़ भीड़ , द्वारा सूचित किया जाता , के सभी फैले पेड़ कम से कम भीड़ है । स्पैनिंग ट्री कंजेशन समस्या पूछती है कि क्या दिए गए ग्राफ में कुछ दिए गए पर पेड़ की भीड़ है। $\mathrm{cng}_G(T)$ $T$ $G$ $\mathrm{stc}(G)$ $G$ $k$

निम्नलिखित जटिलता कूद में दिखाया गया है: Bodlaender et al।, Spanning Tree Congestion Problem , Algorithmica 64 (2012) 85–111 : का परिमाणित जटिलता

प्रत्येक निश्चित और लिए समस्या को पर रेखांकन के लिए रैखिक समय में हल करने योग्य है । इसके विपरीत, यदि हम अनुमति केवल एक असीम डिग्री के शिखर, समस्या तुरंत हो जाता है किसी निश्चित के लिए -Complete । $k$ $d$ $d$ $\mathsf{NP}$ $k\ge 8$

— vb ले
स्रोत

8

मुझे आश्चर्य है कि किसी ने इसका उल्लेख क्यों नहीं किया:

सींग-सत बनाम के-सत

मुझे लगता है कि हर कोई जानता है कि यह क्या है। अगर नहीं:

हॉर्न-सैट यह खोजना है कि क्या हॉर्न क्लॉस का एक सेट संतोषजनक है (प्रत्येक क्लॉज में अधिकतम 1 पॉजिटिव शाब्दिक है)।

के-सत यह खोजना है कि क्या क्लॉज का एक सेट संतोषजनक है (प्रत्येक क्लॉज में 1 से अधिक पॉजिटिव शाब्दिक हो सकते हैं)।

इसलिए प्रत्येक क्लॉज में एक से अधिक पॉजिटिव शाब्दिक अनुमति देने से पी-पूरा एनपी-पूर्ण से समस्या बन जाती है।

— जॉर्ज
स्रोत

7

ग्राफ रंग

जैसा कि एक अन्य उत्तर में कहा गया है, 2-COL बहुपद समय में हल करने योग्य है जबकि 3-COL NP-पूर्ण है। लेकिन जब रंगों की संख्या बढ़ रही है, कुछ (अज्ञात?) के बाद समस्या आसान हो जाती है!

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एन कोने और एन रंग हैं, तो समस्या को प्रत्येक शीर्ष पर एक अलग रंग असाइन करके हल किया जा सकता है।

— जॉर्ज
स्रोत

कोई भी प्लानर ग्राफ 4-रंगीन है। [१]: projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/…

— rphv

6

एक समान नस में: स्थायी बनाम निर्धारक।

— जगदीश
स्रोत

3

परमिट और हिरासत के बीच का अंतर वास्तव में बहुत अधिक महत्वपूर्ण है और सवाल और अन्य उत्तरों में चर्चा की गई अन्य कठोरता की तुलना में एक अलग तरह का है। नकार बहुत शक्तिशाली है: एक मायने में यह हमें आसानी से गणना करने की अनुमति देता है, लेकिन अनुमति नहीं; वैलेंट के पास एक पेपर है " नेगेटिव एक्सपेंशनली पावरफुल हो सकता है" portal.acm.org/citation.cfm?id=id444412 ; बहुत सी निचली सीमाएं मोनोटोन जटिलता के लिए जानी जाती हैं (यहां तक कि बीजगणितीय मॉडल में भी, जहां एकरसता नकारात्मकता और नकारात्मक स्थिरांक को छोड़ देती है), लेकिन इनमें से बहुत कम गैर-मोनोटोन जटिलता में अनुवाद होती हैं।

— जोशुआ ग्रोको

3

एक और उदाहरण: 2x2 मैट्रिसेस को गुणा करने के लिए स्ट्रैसन के एल्गोरिथ्म के लिए नकारात्मकता भी आवश्यक है। इसके बिना आप 2x2 मैट्रिसेस को गुणा करने के लिए तुच्छ एल्गोरिथ्म को हरा नहीं सकते।

— जोशुआ ग्रूको

6

मैं सिर्फ एक पेपर पढ़ता हूं जो हाइपरग्राफ विभाजन से संबंधित है । समस्या को इस रूप में परिभाषित किया गया है, उद्धरण:

यह देखते हुए दो पैरामीटर और , , समस्या [ Let:] इस प्रकार परिभाषित किया गया है एक hypergraph और हो गैर नकारात्मक पूर्णांक इस तरह के हो वह और $k$ $l$ $1 \leq l < k$ $P^l_k$ $\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$ $t_1, \dots, t_k$ $|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$ $|\mathcal{E}| = m$ । के रंग (विभाजन) वहाँ मौजूद है में आकार के सबसेट ऐसी है कि में प्रत्येक hyperedge के कोने ज्यादा से ज्यादा के साथ रंग के होते हैं रंग? $V$ $k$ $t_1, \dots, t_k$ $\mathcal{E}$ $l$

सामान्य तौर पर, यह सिद्ध है कि:

निश्चित लिएबहुपद समय ( )में हल करने योग्य है $P^1_k$ $n,m$ $k \geq 2$
सब तय करने के लिए एनपी पूरा हो गया है $P^l_k$ $2 \leq l < k$

यदि यह "कूद" पर्याप्त नहीं है, तो पढ़ें। हाइपरग्राफ के साथ असमान हाइपरेजेस के लिए, यह दिखाया गया है:

सब तय करने के लिए एनपी पूरा हो गया है $P^1_k$ $k \geq 2$
रैखिक समय में व्याख्या करने योग्य (में है तय के लिए) $P^l_k$ $m$ $2 \leq l < k$

लॉरेंट लियायुडेट। 2010. हाइपरग्राफ विभाजन के एनपी-हार्ड और रैखिक वेरिएंट। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 411, 1 (जनवरी 2010), 10-21। http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

— राफेल
स्रोत

5

दिलचस्प जटिलता कूदता है नौकरी की दुकान समयबद्धन समस्या के लिए जाना जाता है।

$n$ $M$ $m$ $j$ $\mu_j$ $O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$ $O_{ij}$ $p_{ij}$ $m_{ij}\in M$ $C_j$ $j$

$C_{max}=max_jC_j$ $\sum C_j$

$J||\gamma$ $\gamma$

$J2|n=k|F$ $J|n=2|F$ $J2$ $(n=k)$ $2$ $(k)$ $F$

$J3|n=3|C_{max}$ $J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$ $J2||\sum C$

इस प्रकार, यहां हम देख सकते हैं कि दो नौकरियों / मशीनों से तीन तक जाने पर एक छलांग है।

— ऑलेक्ज़ेंडर बॉन्डारेंको
स्रोत

1

अच्छा है, मैं विशेष शब्दावली से भ्रमित हूं। क्या आप कृपया शब्दावली को सरल बना सकते हैं (या इससे भी बेहतर इसे हटा सकते हैं)?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

1

$\ln n$ $(1-o(1))\ln n$

— एंड्रास फरगो
स्रोत

0

$2^n$ $2^n$ $(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$ $p_b(a)$ $a=b=1$ $2^n=p_1(1)$ $DTIME(2^n)$ $(k<n)$ $P=NP=DTIME(2^n)$ $P=NP$

— एसा पुल्ककीन
स्रोत