क्या हमारे पास कोई nontrivial वर्दी सर्किट है?

एक एल्गोरिथ्म समय में चल रहा यह देखते हुए , हम अधिक से अधिक आकार की एक ही समस्या के लिए एक "तुच्छ" वर्दी सर्किट परिवार में रूपांतरित कर सकते । $t(n)$ $\approx t(n)\log t(n)$

दूसरी ओर, यह हो सकता है कि हमारे पास उस समस्या के लिए बहुत छोटे समान सर्किट हों, भले ही एक इष्टतम चलने वाला समय हो। सर्किट बनाने में से अधिक समय लग सकता है , लेकिन वे छोटे हैं। $t(n)$ $t(n)$

लेकिन क्या हम वास्तव में ऐसी चीजों का निर्माण करना जानते हैं? मुझे लगता है कि पूछने के लिए प्रारंभिक प्रश्न है

(१) क्या हमारे पास nontrivial यूनिफॉर्म सर्किट का कोई रचनात्मक उदाहरण है, अर्थात समान सर्किट जिसका आकार समान समस्या के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म के सर्वश्रेष्ठ ज्ञात रनिंग टाइम से छोटा है?

अब, मेरा मानना है कि अगर कोई समस्या , तो हमारे पास एक एक्सपोजर-टाइम एल्गोरिथ्म है जो एक संपूर्ण खोज का उपयोग करके इष्टतम सर्किट ढूंढता है: को देखते हुए , हम सभी पर उत्तर लिखते हैं। इनपुट्स (समय ले रहा है ); तब हम बढ़ते हुए आकार में इनपुट पर सभी सर्किटों की गणना करते हैं जब तक कि एक सही नहीं मिलता है जो सभी सही उत्तर देता है। खोज तुच्छ रूपांतरण के आकार, पर समाप्त होती है $\mathsf{DTIME(t(n))}$ $n$ $2^n$ $(2^n)t(n)$ $n$ , या फ़ंक्शन की सत्य तालिका, यदि आउटपुट । (संपादित करें: थॉमस बताते हैं किशैनन / लुपानोव के कारणबाउंड ।) $t(n) \log t(n)$ $2^n$ $\{0,1\}$ $O(2^n/n)$

इसलिए हमारे पास प्रश्न के लिए एक असंतोषजनक "हाँ" है (1): ऐसी भाषा लें जो ऊपर किसी भी समय के लिए कठिन हो , लेकिन फिर भी निर्णायक हो; उपरोक्त प्रक्रिया आकार की एक सत्य तालिका का उत्पादन करती है । $2^n$ $2^n$

इसलिए हमें प्रश्न (1) को परिष्कृत करना चाहिए। मुझे लगता है कि दो सबसे दिलचस्प मामले हैं

(२) क्या हमारे पास बहुपद-आकार के nontrivial वर्दी सर्किट के कोई रचनात्मक उदाहरण हैं? (भले ही वे बहुत धीमी एल्गोरिदम द्वारा उत्पन्न किए गए हों।)

(३) क्या हमारे पास बहुपद-काल जनरेट करने योग्य , बहुपद आकार-आकार के एक समान सर्किट हैं?

यह पूछने के लिए बहुत अधिक हो सकता है। कैसे एक आसान सवाल के बारे में: क्या हम यह भी जानते हैं कि ऐसा संभव है? शायद कोई nontrivial वर्दी सर्किट मौजूद नहीं है?

$s(n) = o(2^n)$ $o(2^n/n)$ $L$ $O(s(n))$ $\tilde{O}(s(n))$

अंत में, यदि उपरोक्त प्रश्न बहुत कठिन हैं,

(५) क्या हमारे पास सर्किट के समान परिवारों का कोई निर्माण है जो केवल एल्गोरिदम के सर्किट में रूपांतरण नहीं हैं (या सत्य तालिका को लिख रहे हैं)?

परिशिष्ट भाग। एक विशेषज्ञ से मैंने इस बारे में पूछा "मध्यम-एकरूपता और सर्किट लोअर सीमाएं" ( पीडीएफ ), संथानम और विलियम्स 2013, जो शायद सबसे निकट से संबंधित काम है, लेकिन यह कम सीमा साबित करता है (पॉली-टाइम-जेनरेटेबल सर्किट नहीं है) बहुत शक्तिशाली)। मैं किसी भी अन्य संबंधित काम में दिलचस्पी होगी!

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— usul
स्रोत

1,2,3,4: पहचान कार्य। 5. यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि आपके द्वारा "सर्किट में एल्गोरिदम का रूपांतरण" होने का क्या मतलब है, हम हमेशा एक समान सर्किट को ट्यूरिंग मशीन (छोटे ओवरहेड के साथ) में बदल सकते हैं।

— केव

n

$n$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

n^{3}

$n^3$

@ केव: पहचान समारोह 1-4 का जवाब कैसे देता है?

— जोशुआ ग्रूचो

@ जोशुआ, हम सीधे (तार) आकार O (n) के एक समान सर्किट का वर्णन कर सकते हैं, जो सर्किट के लिए पहचान के लिए ट्यूरिंग मशीन के रूपांतरण से बेहतर है।

— केव

मेरी बात यह है कि महत्वपूर्ण छोटे विवरण हैं जिन्हें हमें प्रश्न का उत्तर देने के लिए ध्यान रखने की आवश्यकता है। एक और उदाहरण: बीपीपी पी / पॉली में है और रूपांतरण कम्प्यूटेबल है। यदि सर्किट पीढ़ी को एक कुशल एल्गोरिदम द्वारा किया जाता है, तो इसे सर्किट वैल्यू के साथ संयोजित करना एक कुशल TM देगा। वैचारिक रूप से सर्किट और TM समान एल्गोरिथ्म की गणना करते हैं। यह तथ्य कि आकार और समय वास्तव में मेल नहीं खाते, सामान्य है, वे अलग-अलग गणना मॉडल के लिए परिभाषित किए गए हैं और हम जानते हैं कि वे अनुरूप नहीं हैं। संभवतः समय आकार से अधिक गहराई से मेल खाता है।

— केव

यहां आपके अंतिम दो प्रश्नों के उत्तर दिए गए हैं।

(5) सॉर्टिंग नेटवर्क एकसमान सर्किट होते हैं जो सबसे अच्छे रैम एल्गोरिदम के रूप में तेजी से सॉर्ट करते हैं, लेकिन निश्चित रूप से रैम एल्गोरिदम (जैसे क्विकॉर्ट) के केवल रूपांतरण नहीं हैं। [ AKS83 , G14 ]

$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$ $\varepsilon>0$ $(1+o(1)) \cdot 2^n/n$ $f$ $\Omega(3^n)$ $O(n \cdot 3^n)$ $f$ $O(2^n/n)$ $2^{\mathrm{poly}(n)}$ $\tilde{O}(2^n/n)$ $s(n) = o(2^n/n)$

यह एक दिलचस्प सवाल है; मुझे आशा है कि कोई उत्तर दे सकता है (1) - (3)।

— थॉमस मोनिका का समर्थन करता है
स्रोत

धन्यवाद, आप सही कह रहे हैं, मैं सहजता से इस "ऊपरी-बाउंडिंग" मामले को खारिज करना चाहता था, लेकिन सही विषमता को नहीं जानता था। मैंने उस मामले को शामिल करने के लिए प्रश्न संपादित किया है।

— usul