गुणन के लिए फाटकों की सबसे कम संख्या

Question

दो एन-बिट पूर्णांक को गुणा करने वाले सर्किट में फाटकों की संख्या के लिए सबसे अच्छा परिणाम क्या है?

स्पष्ट विधि द्वार उत्पन्न करती है । और फाटकों के साथ बेहतर दृष्टिकोण हैं ।$\theta(n^2)$$\theta(n\log n \log\log n)$$\theta(n\log n2^{\log^*(n)})$

मुझे कोई बूलियन सर्किट परिवार नहीं मिला जो गेट्स के साथ गुणा को संभाल सकता है । मुझे आश्चर्य है कि यदि सर्किट का ऐसा परिवार मौजूद है।$n\log n$

Comments

क्या आप अंकगणित सर्किट या बूलियन सर्किट की तलाश कर रहे हैं?

— सुरेश वेंकट

मुझे बूलियन सर्किट की तलाश है।

— अमीर

रिकॉर्ड के लिए क्या है $O(n \log n)$कलन विधि? यह कई गेट्स का उपयोग नहीं करेगा?

— vzn

@vzn नहीं, मार्टिन फ़्यूरर का एल्गोरिथ्म सबसे अच्छा ज्ञात है, और यह एक सर्किट देता है $O(n\log n 2^{\log^* n})$फाटकों। शोंहाज-स्ट्रैसन का उपयोग वास्तव में कुछ कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या में किया जाता है।

— साशो निकोलेव

TM को सर्किट में बदलने के लिए कुछ ओवरहेड है। एक वक़्त$t(n)$ एल्गोरिथ्म दरवाजे के साथ एक सर्किट नहीं देते हैं $t(n)$फाटकों। सामान्य अनुवाद सर्किट मूल्य समस्या की सर्किट जटिलता से बेहतर नहीं हो सकता है। दूसरी ओर, सर्वश्रेष्ठ समान जटिलता सर्किट जटिलता पर एक कम बाध्य नहीं है क्योंकि वहाँ भी उल्टी दिशा में ओवरहेड है, अर्थात आकार के सर्किट हो सकते हैं$O(n\lg n)$भले ही गुणन के लिए उस समय के साथ कोई टीएम न हो।

— केव

Answer 1

नीचे एक विस्तृत 2008 सर्वेक्षण है जो गुणा के लिए शीर्ष सैद्धांतिक एल्गोरिदम को कवर करता है, जिसमें आपके प्रश्न के टिप्पणियों में चर्चा की गई है (स्कोन्हाज-स्ट्रैसेन एल्गोरिदम और सहित) $O(n\log n \, 2^{\log^* n})$फ़्यूरर एल्गोरिथ्म, सर्वेक्षण के पृष्ठ 335 देखें)। हालाँकि, कार्यान्वयन एक अलग मामला है और इनमें से कुछ एल्गोरिदम को व्यावहारिक नहीं माना जा सकता है; सर्वेक्षण व्यावहारिक कार्यान्वयन को कवर नहीं करता है। यद्यपि सर्वेक्षण में बहुपद, शक्ति श्रृंखला, वास्तविक संख्या और 2-एडिक संख्या के लिए एल्गोरिदम शामिल हैं, पूर्णांक इनमें से एक विशेष मामला है (पृष्ठ 336 पर चित्र 1 देखें)।

फास्ट गुणा और उसके अनुप्रयोग , बर्नस्टीन (एल्गोरिथम संख्या सिद्धांत / MSRI प्रकाशन / वॉल्यूम 44, 2008)

Comments

लिंक किए गए पेपर में पृष्ठ ३३५ या ३३६ नहीं हैं।

— १

उफ़! टिप के लिए thx। उपरोक्त संस्करण ड्राफ्ट के रूप में चिह्नित किया गया है। उद्धृत पृष्ठ # के साथ यह संस्करण शायद अंतिम है?

— vnn

@vzn: $\:$ यहां तक ​​कि उस कागज के चारों ओर एक बड़ा-ओ है $\log^*(n)$। $\;\;\;\;$