मैट्रिक्स गुणन की सच्ची बिट जटिलता है

Question

मैट्रिक्स गुणन नियमित (पंक्ति - स्तंभ आंतरिक उत्पाद) तकनीक का उपयोग करके गुणा और लेता है$O(n^{3})$$O(n^{3})$अतिरिक्त। हालांकि आकार के बराबर दोनों प्रविष्टियों के प्रत्येक आकार में समान आकार की प्रविष्टियां (बिट्स की संख्या) मान लेना$m$ बिट्स, अतिरिक्त संचालन वास्तव में होता है $O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$ बिट्स।

तो ऐसा लगता है कि यदि बिट जटिलता के माध्यम से मापा जाए तो मैट्रिक्स गुणन की वास्तविक जटिलता होनी चाहिए $O(n^{4})$।

$(1)$क्या ये सही है?

अगर कोई एक एल्गोरिथ्म बनाता है, जो कि जटिलता को कम कर देता है $O(n^{3+\epsilon})$ कुल गुणन और परिवर्धन के बजाय, यह कुल गुणकों और परिवर्धन को कम करने की तुलना में एक शानदार दृष्टिकोण हो सकता है $O(n^{2+\epsilon})$ जैसा कि कोपरस्मिथ और कोहन जैसे शोधकर्ताओं द्वारा किया गया।

$(2)$ क्या यह एक वैध तर्क है?

Answer 1

नहीं, मैट्रिक्स गुणन की बिट जटिलता $M$-बिट प्रविष्टियां है $n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$, कहाँ पे $\omega < 2.4$सबसे अच्छा मैट्रिक्स गुणन घातांक है। गुणा और जोड़$M$-बिट संख्या में किया जा सकता है $M (\log M)^2$समय। दो को गुणा करना$M$-बिट संख्या एक ऐसी संख्या उत्पन्न करती है जिसके पास इससे अधिक नहीं है $2M$बिट्स। जोड़ा जा रहा है$n$ किसी की संख्या $M$ बिट्स प्रत्येक, एक संख्या देता है जिसके पास इससे अधिक नहीं है $M+\log n+O(1)$बिट्स। (इसके बारे में सोचो: योग सबसे अधिक है$n 2^M$, इसलिए बिट प्रतिनिधित्व अधिक से अधिक नहीं लेता है $\log (n 2^M)+O(1)$ बिट्स।)

तेजी से पूर्णांक गुणन एल्गोरिदम के संदर्भ एक वेब खोज या विकिपीडिया के साथ मिल सकते हैं।

Comments

मुझे लगता है कि मेरा तर्क त्रुटिपूर्ण था। धन्यवाद। मैं इसकी प्रशंसा करता हूँ।

— टी .... 3