का एक निश्चित गहराई लक्षण वर्णन ? ?

यह सर्किट जटिलता के बारे में एक सवाल है। (परिभाषाएँ सबसे नीचे हैं।)

याओ और Beigel-Tarui से पता चला है कि हर कि आकार के सर्किट परिवार आकार के एक बराबर सर्किट परिवार है गहराई के दो , जहां उत्पादन गेट एक सममित समारोह है और दूसरे स्तर होते हैं की के द्वार पंखे में। यह सर्किट परिवार का एक काफी उल्लेखनीय "गहराई का पतन" है: एक गहराई 100 सर्किट से आप गहराई को 2 तक कम कर सकते हैं, केवल एक अर्ध-बहुपद झटका (और एक फैंसी लेकिन फिर भी शीर्ष पर प्रतिबंधित गेट)। $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$

मेरा प्रश्न: क्या सर्किट परिवार को व्यक्त करने का कोई ज्ञात तरीका है , इसी तरह? अधिक महत्वाकांक्षी, एक सर्किट परिवार के बारे में क्या ? संभावित जवाब प्रपत्र होगा: "हर आकार के सर्किट आकार की गहराई-दो परिवार द्वारा मान्यता प्राप्त किया जा सकता है है, जहां उत्पादन गेट प्रकार की एक समारोह है और फाटक के दूसरे स्तर प्रकार है ” । $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

इसमें गहराई-दो होना आवश्यक नहीं है , किसी भी प्रकार की निश्चित-गहराई परिणाम दिलचस्प होगा। साबित हो रहा है कि प्रत्येक सर्किट को केवल सममित फ़ंक्शन गेट से युक्त सर्किट द्वारा गहराई 3 में दर्शाया जा सकता है। $TC^0$

कुछ मामूली अवलोकन:

यदि जवाब के लिए मामूली बात है किसी भी बूलियन समारोह (हम एक के रूप में किसी भी समारोह व्यक्त कर सकते हैं के रों)। संक्षिप्तता के लिए, हमें । $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
इसका उत्तर भी तुच्छ है अगर या को में एक मनमाना कार्य करने की अनुमति दी जाती है ... :) मुझे स्पष्ट रूप से "सरल" कार्यों में दिलचस्पी है, जो भी इसका मतलब है। यह परिभाषित करने के लिए थोड़ा फिसलन है क्योंकि सममित समारोह परिवार हैं जो कि असुविधाजनक हैं। (ऐसी असभ्य भाषाएं हैं जो असुविधाजनक हैं।) यदि आप चाहें, तो आप बस और को बयान में सममित कार्यों के साथ बदल सकते हैं , हालांकि मुझे गेट्स के किसी भी अन्य स्वच्छ विकल्प में दिलचस्पी होगी। $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(अब संकेतन के कुछ संक्षिप्त स्मरणों के लिए:

$ACC^0$ एक ऐसा वर्ग है जिसे फैन के परिवार द्वारा , , और गेटों के साथ सर्किट निरंतर आकार के लिए निरंतर गहराई वाले सर्किट में पहचाना जाता है । एक गेट रिटर्न iff इसके इनपुट का योग से विभाज्य है । $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ वर्ग के साथ लगातार गहराई से सर्किट द्वारा मान्यता प्राप्त है असीम प्रशंसक में के द्वार। $MAJORITY$

$NC^1$ वर्ग के साथ लघुगणक गहराई सर्किट द्वारा मान्यता प्राप्त है , , घिरे पंखे में के द्वार। $AND$ $OR$ $NOT$

यह ज्ञात है कि सर्किट आकार इनपुट की संख्या में बहुपद होने के लिए प्रतिबंधित होने पर ) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— रेयान विलियम्स
स्रोत

ध्यान दें कि एक बहुपद के आकार की गहराई सर्किट में सममित द्वार से मिलकर एक बहुपद के आकार की गहराई सर्किट से MAJ द्वार शामिल हो सकते हैं। (यहां हमेशा की तरह आकार तारों की संख्या है)। तो मूल रूप से आप पूछ रहे हैं कि क्या गहराई अपने आप कम हो सकती है?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— क्रिस्टोफर अर्नसेफेल्ट हैनसेन

हाँ, यह देखने का एक तरीका है! सामान्य तौर पर, मैं या किसी भी दिलचस्प निश्चित-गहराई सिमुलेशन की तलाश कर रहा हूं ।

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— रयान विलियम्स

रयान, मैं यह नहीं देखता कि आप किस तरह का उत्तर चाह रहे हैं। यदि आप वास्तव में सममित फाटकों के बारे में बात कर रहे हैं, तो (चूंकि इन्हें गहराई दो में बहुमत द्वारा सिम्युलेटेड किया जा सकता है), आपका प्रश्न TC0 के निरंतर गहराई तक गिरने के बराबर है (शायद आकार में कुछ हल्के सुपर-बहुपद वृद्धि के साथ) - एक प्रसिद्ध खुली समस्या। यदि आप समरूपता को "आराम" करने के लिए तैयार हैं, तो बैरिंगटन का परिणाम उतना अच्छा लगता है जितना आप उम्मीद कर सकते हैं?

— नोआम

@ नोअम: मैं देखना चाहूंगा कि क्या कोई अन्य दिलचस्प जवाब है; अगर वहाँ नहीं हैं, तो मैं लांस को 300 दूंगा। मध्यवर्ती संभावनाएं भी हैं, उदाहरण के लिए आउटपुट में एक सममित समारोह के साथ गहराई-तीन सर्किट लेकिन जरूरी नहीं कि अन्य दो परतों पर सममित हो। वैसे भी, आपको इसके बारे में 5 मिनट के लिए सोचना पहले से ही 300 इनाम के लायक है।

— रयान विलियम्स

और अब (8 नवंबर के बाद) हम इस सवाल का मूल जानते हैं ...

— स्लिमटन

जवाबों:

यहाँ Boaz द्वारा जवाब के लिए मेरी टिप्पणी का एक मामूली विस्तार है। अग्रवाल, अल्लेंडर और दत्ता अपने पेपर पर , और अंकगणित सर्किट में अंकगणित सर्किट के $TC^0$ $AC^0$ मामले में का लक्षण वर्णन देते हैं। अर्थात्, वे बताते हैं कि एक भाषा में है तभी वहाँ एक समारोह में और एक पूर्णांक ऐसा है कि $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ यदि और केवल यदि । $f(x) = 2^{|x|^k}$

ध्यान दें कि पर निरंतर गहराई अंकगणित सर्किट का एक विशेष रूप है (केवल स्थिरांक 0 और 1 की अनुमति है, और चर इनपुट या )। $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

यह देखते हुए कि जैसा कि बोअज़ अपने उत्तर में बताते हैं, अंकगणित सर्किट के लिए एक गैर-तुच्छ गहराई में कमी है, यह देखने के लिए कुछ हो सकता है।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन
स्रोत

बैरिंगटन के प्रमेय ने आपको लिए पॉली-साइज़ डेप्थ -3 सर्किट प्राप्त करने के लिए एक शीर्ष गेट के साथ मिलना चाहिए जो बहुत अजीब नहीं है (5 चक्रों को गुणा करता है)। $NC^1$

— लांस फोर्टे
स्रोत

मैं सहमत हूं कि बैरिंगटन की प्रमेय का तात्पर्य यहाँ कुछ दिलचस्प है। लेकिन यह आउटपुट गेट एक बहुत ही "गैर-सममित" फ़ंक्शन है :)

— रयान विलियम्स

वास्तव में ऐसा लगता है कि आपको एक गहराई 1 सर्किट मिलता है ... 5x5 बूलियन मैट्रिक्स के रूप में एक प्रतिनियुक्ति का प्रतिनिधित्व करते हुए, यह सिर्फ क्रमचय-गुणन गेट के लिए अनुमान है।

— नोआम

मुझे एक उत्तर नहीं पता है, और मुझे लगता है कि यह एक खुला प्रश्न है। याओ / बेगेल-तराई और बैरिंगटन के समान ऐसे "आश्चर्यजनक सिमुलेशन" के बहुत कम ज्ञात उदाहरण हैं। इन पंक्तियों के साथ एक बात जो मन को भाती है वह है वैलेंटाइन का परिणाम है कि हर जिसे -depth द्वारा गणना की जा सकती है सर्किट, में मौजूद है जो इनपुट पर सहमत है। (और अगर लिए सर्किट केवल रैखिक संचालन का उपयोग करता है तो लिए सर्किट कम सीमा / मैट्रिक्स कठोरता कनेक्शन के लिए अग्रणी है)। लेकिन विपरीत $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$ यह कई-आउटपुट कार्यों के बारे में है, और केवल रैखिक आकार के सर्किट के लिए भी है। यह भी ध्यान दें कि गहराई 4 में एक गैर-तुच्छ कमी अंकगणितीय सर्किट के लिए जानी जाती है।

— बोअज बराक
स्रोत

दिलचस्प बात यह है वहाँ भी की एक लक्षण वर्णन है : अंकगणित सर्किट के मामले में cse.iitk.ac.in/users/manindra/other/...

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt हैनसेन

4 की गहराई तक अंकगणितीय सर्किट में कमी एक और अच्छा उदाहरण है। मुझे पता है कि Valiant ने दिखाया कि आप किसी भी रैखिक आकार, लॉग-डेप्थ सर्किट के को काट सकते हैं ताकि शेष सर्किट में केवल गहराई हो। मुझे लगता है कि यह " जो साथ सहमत है " पर जोर देता है ?

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

— रायन विलियम्स

क्रिस्टोफर, क्या आप एक अलग उत्तर के रूप में अपना लिंक जोड़ सकते हैं? धन्यवाद!

— रयान विलियम्स

@ रयान हाँ, इन तारों को एक विशिष्ट मान से ठीक करने पर, हम देखते हैं कि शेष सर्किट (जहां प्रत्येक आउटपुट पर आदानों पर निर्भर करता है) पर मूल कार्य से सहमत हैं) इनपुट्स

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$

— बोआज बाराक