भारित रकम के लिए बाध्य चेर्नॉफ़

Question

पर विचार करें , जहां lambda_i> 0 और Y_i एक मानक के रूप में सामान्य वितरित किया जाता है। (निश्चित) गुणांक lambda_i के एक कार्य के रूप में, X पर किस प्रकार की एकाग्रता की सीमा साबित हो सकती है?$X = \sum_i \lambda_i Y_i^2$

यदि सभी लैम्बडा_इ बराबर हैं तो यह एक चेर्नॉफ बाउंड है। केवल अन्य परिणाम मैं के बारे में पता कर रहा हूँ अरोड़ा और कन्नन के एक समाचार पत्र से एक लेम्मा है ( "सीखना मनमाना Gaussians के मिश्रण", STOC'01, लेम्मा 13), जो फार्म की एकाग्रता साबित होता , यानी बाध्य गुणांकों के वर्गों का योग पर निर्भर करता है।$Prob(X < E[X] - t) < exp(-t^2/(4 \sum_i \lambda_i^2)$

उनके लेम्मा का प्रमाण चेरनॉफ बाउंड के सामान्य प्रमाण के अनुरूप है। क्या अन्य "कैनोनिकल" ऐसी सीमाएं हैं, या एक सामान्य सिद्धांत है कि लैम्ब्डा_आई के कौन से कार्य ऐसे हैं कि उनका लारजेन्स अच्छा घातीय एकाग्रता सुनिश्चित करता है (यहां, फ़ंक्शन केवल वर्गों का योग था)? शायद एन्ट्रापी के कुछ सामान्य उपाय?

अरोड़ा-कन्नन लेम्मा के लिए एक अधिक मानक संदर्भ भी महान होगा, अगर यह मौजूद है।

Comments

आपको उनकी बाध्यता को पुन: प्रस्तुत करने में कितनी दूरी मिली? घातीय mgf विधि के इस विशेष उदाहरण के लिए कुछ चतुर सीमा और केस विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

— थॉमस अहले

Answer 1

दुबाशी और पंचोंसी की किताब में कई ऐसी सीमाएं एक साथ एकत्र की गई हैं, जिनकी तुलना में कई अधिक को यहां सूचीबद्ध किया जा सकता है। यदि आपको लगता है कि तुरंत पहुंचना मुश्किल है, तो चुंग और लू द्वारा चेरनॉफ़ जैसी सीमाओं का एक ऑनलाइन सर्वेक्षण है

Comments

धन्यवाद, यह बहुत अच्छा लग रहा है। विशेष रूप से, चुंग और लू सर्वेक्षण के प्रमेय 3.5 अरोरा-कन्नन लेम्मा I के समान प्रतीत होते हैं। लैम्ब्डा_आई ^ 2 का योग होना स्वाभाविक है क्योंकि यह केवल X का प्रसरण है।

— थॉमस

चुंग और लू लिंक मर चुका है। हालाँकि, इंटरनेट आर्काइव में यह है: web.archive.org/web/20070714095538/http://… । शीर्षक है "एकाग्रता असमानताएं और मार्टिंगेल असमानताएं: एक सर्वेक्षण" और लेखक फैन चुंग और लिनयुआन लू हैं।

— जप्पल