देवलिकार के कागज के बारे में गुरुवत्स की दसियों-श्रेणी की व्याख्या करें

[नोट: मेरा मानना है कि यह प्रश्न किसी भी तरह से देओललीकर के कागज की शुद्धता या गलतता पर टिका है।]

स्कॉट आरोनसन के ब्लॉग पर Shtetl ऑप्टिमाइज्ड , पी बनाम एनपी पर हाल ही में देओलिकर के प्रयास के बारे में, लियोनिद गुरविट्स ने निम्नलिखित टिप्पणी की :

मैंने दृष्टिकोण को समझने / सुधारने की कोशिश की, और यहाँ मेरा, शायद बहुत कम से कम है, प्रयास: कागज में असतत संभावित वितरण को टेंसर्स के रूप में देखा जा सकता है, या बहुत विशेष मल्टीलाइनर बहुपद के रूप में देखा जा सकता है। मान्यताओं "पी = एनपी" किसी भी तरह एक (बहुपद)? और अंत में, ज्ञात संभाव्य परिणामों का उपयोग करते हुए, वह एक ही रैंक पर नॉनमैचिंग (घातांक) कम हो जाता है। यदि मैं सही हूं, तो यह मंजर एक बहुत ही चतुर है, एक अच्छे अर्थ में, पिछले बीजगणितीय-ज्यामितीय दृष्टिकोण को आगे बढ़ाने का तरीका है।

देओललीकर के प्रमाण में संदिग्ध / ज्ञात दोषों के बावजूद, मैं उत्सुक हूं:

देओलिकर के पेपर में चर्चा किए गए वितरण को किस तरह से टेंसर्स के रूप में माना जा सकता है, और उनके परिणामों के बयान (उनकी शुद्धता की परवाह किए बिना) टेंसर-रैंक के बारे में बयानों में कैसे अनुवाद करते हैं?

cc.complexity-theory lower-bounds tensor-rank

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

बस यही देखा। खुद गुरवित्स से क्यों नहीं पूछते? ...

— रयान विलियम्स

@ रेयान: मैंने किया :)। उसने जल्दी से जवाब दिया कि वह अभी व्यस्त है, लेकिन अंततः इसे प्राप्त करेगा। कुछ समय हो गया है और मैं उम्मीद कर रहा था कि यहाँ कोई व्यक्ति तेजी से टिप्पणी को स्पष्ट करने में सक्षम हो सकता है।

— जोशुआ ग्रूचो

[मैं कुछ पढ़ रहा था मुझे लगा कि वह पूरी तरह से असंबंधित है और फिर एक "अहा पल" था, इसलिए मुझे लगता है कि मैंने उत्तर के कम से कम हिस्से का पता लगा लिया है। मुझे यकीन नहीं है कि यह वही है जो गुरविट्स के दिमाग में था, लेकिन यह मेरे लिए समझ में आता है।]

N द्विआधारी चर पर एक वितरण टेन्सर उत्पाद के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है (एन कारकों) (वास्तव में जुड़े प्रक्षेपीय अंतरिक्ष, लेकिन हम उस करने के लिए मिल जाएगा)। अगर हम में से प्रत्येक के प्रति के आधार तत्वों लेबल द्वारा और $x_1,...,x_n$ $\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$ $\mathbb{R}^2$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ , तो इस टेंसर उत्पाद स्थान का एक आधार सभी एन-बिट स्ट्रिंग्स के सेट द्वारा दिया गया है। यदि हमारे पास इस टेंसर उत्पाद का एक तत्व है जिसके गुणांक 1 के बराबर है, तो हम किसी भी n-बिट स्ट्रिंग के गुणांक की व्याख्या उस स्ट्रिंग के होने की संभावना के रूप में कर सकते हैं - जहां, एक संभावना वितरण! अब, चूँकि हम केवल संभाव्यता वितरण चाहते हैं (गुणांक 1 का योग है) हम उस संपत्ति को प्राप्त करने के लिए टेंसर उत्पाद में किसी भी वेक्टर को सामान्य कर सकते हैं। केवल सामान्यीकृत टेंसरों पर विचार करके, हम वास्तव में केवल इस टेंसर उत्पाद के अनुमानित स्थान के तत्वों पर विचार कर रहे हैं।

अब हमें टनलर-रैंक को पोलोगल-पैरामीरीज़बिलिटी की देओलिकर की धारणा से जोड़ना होगा। के अनुसार यह पेज टेरी ताओ से, ऐसा लगता है polylog-parametrizability की Deolalikar की धारणा है कि वितरण है कि "क्षमता के तरीके पर निर्भर" किया जा सकता है के रूप में जहां पा (i) polylog (एन) चर का एक सेट, "मैं के माता-पिता" होने के लिए परिभाषित किया गया है और $\mu$ $\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$ पर एक वितरण है यह है कि केवल इन माता पिता के चर पर निर्भर करता है। इसके अलावा, माता-पिता का निर्देशित ग्राफ एसाइक्लिक होना चाहिए। $p_i( - ; x_{pa(i)})$ $x_i$

चलो एक बहुत ही सरल प्रकार के वितरण के साथ शुरू करते हैं। मान लीजिए संतुष्ट कुछ वितरण के लिए (जहां पर केवल निर्भर करता है )। तो फिर यह उम्मीद है कि स्पष्ट है कि इसी टेन्सर रैंक 1 टेन्सर है: $\mu$ $\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$ $p_i$ $p_i$ $x_i$ । $(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

$x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$ $i$ $O(1)$ $(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$ $2^{n/2}$ $2^{n/2}$ $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$ $O(n)$ $O(1)$ $O(n)$ $2^n$

मुझे अभी भी दो मुद्दों को बनाने में परेशानी हो रही है, और उन पर आगे के उत्तर की सराहना करेंगे:

बाद के पत्राचार को सटीक बनाना
पॉलीलॉग-पैराड्राइजेबल वितरण के लिए टेंसर के लिए सूत्र लिखना, और इसके रैंक पर ऊपरी सीमा प्राप्त करना।

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

क्या तुमने कभी इस पर वापस जाना है?

— टी ....