क्या डीएफए के बारे में कोई खुली समस्या बाकी है?

Question

अंडरगार्मेंट में निर्धारक परिमित राज्य ऑटोमेटा (डीएफए) का अध्ययन करने के बाद, मुझे लगा कि वे बहुत अच्छी तरह से समझ गए हैं। मेरा सवाल यह है कि क्या कुछ ऐसा है जिसे हम अभी भी उनके बारे में नहीं समझते हैं। डीएफए के सामान्यीकरण से मेरा मतलब नहीं है लेकिन मूल अनमॉडिफाइड डीएफए जो हम अंडरग्राउंड में पढ़ते हैं।

यह एक अस्पष्ट प्रश्न है लेकिन मुझे आशा है कि आपको यह विचार मिलेगा। मैं यह समझना चाहता हूं कि क्या यह कहना उचित है कि हम डीएफए को पूरी तरह से समझते हैं। इसलिए मेरा वास्तव में उन सवालों से मतलब है जो स्वाभाविक रूप से डीएफए के बारे में हैं, न कि कृत्रिम रूप से डीएफए के बारे में समस्या की तरह दिखने वाली समस्याएं। मुझे इस तरह की समस्या का एक उदाहरण देना चाहिए। यदि L = NP है तो L खाली भाषा है और यदि P, NP नहीं है तो कुछ नियत गैर-नियमित भाषा है। क्या L को DFA द्वारा स्वीकार किया जा सकता है? यह प्रश्न डीएफए के बारे में है, लेकिन यह उनके बारे में आत्मा में नहीं है। मुझे आशा है कि मेरी बात स्पष्ट है और मुझे लोगों से पांडित्यपूर्ण उत्तर नहीं मिले।

संक्षेप में यह कहना उचित है

हम अनिवार्य रूप से डीएफए को पूरी तरह से समझते हैं।

मुझे खेद है कि अगर यह पता चला कि यह अनुसंधान का एक बड़ा क्षेत्र है, जिसके बारे में मुझे जानकारी नहीं थी और मैंने सिर्फ लोगों के एक पूरे समुदाय का अपमान किया है।

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पहली खुली समस्या मेरे दिमाग में आई कि क्या conerný अनुमान सही है। en.wikipedia.org/wiki/Synchronizing_word और liafa.jussieu.fr/~jep/Problemes/Cerny.html निम्नलिखित ब्लॉग पोस्ट आपके लिए भी दिलचस्प हो सकती है: rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/…

— अबूज़र यकरिल्मज़

क्या एनएफए और नियमित अभिव्यक्ति के बारे में खुली समस्याएं गिनाती हैं?

— हसीन-चिह चांग 14 '11

@ Hsien-Chih: प्रश्न की व्याख्या करने में जितना संभव हो उतना प्रतिबंधात्मक हो। मैंने यह मान लिया था कि कोई भी खुली समस्या नहीं है, लेकिन उत्तर बताते हैं कि यह सच नहीं है।

— कनाडाई हंस

डीएफए और नियमित अभिव्यक्ति समतुल्य हैं। एनएफए और डीएफए, अभिव्यंजक शक्ति के बराबर हैं, हालांकि एक एनएफए में इसके संबंधित डीएफए की तुलना में बहुत कम राज्य हो सकते हैं।

— चेपनर

@chepner हालाँकि DFAs, NFA, और रेगेक्सेन अभिव्यंजक शक्ति में बराबर हैं, लेकिन किसी भी तरह से यह इंगित नहीं करता है कि एक के बारे में जानने से दूसरे के बारे में सब कुछ जानने का अर्थ है। उदाहरण के लिए, डीएफए को कम करने का तरीका जानना सीधे तौर पर आपको एनएफए को कम करने का तरीका नहीं बताता है - जो वास्तव में काफी कठिन समस्या है !

— डैनियल वैगनर

Answer 1

शालिट द्वारा लिखित "औपचारिक भाषाओं और ऑटोमेटा सिद्धांत में एक दूसरा पाठ्यक्रम" पुस्तक में वर्णित एक समस्या है।

चलो और वी के साथ दो अलग-अलग शब्द हो | यू | = | वी | = एन । सबसे छोटे DFA का आकार क्या है जो u स्वीकार करता है लेकिन v , या इसके विपरीत को अस्वीकार करता है ?$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

रॉबसन, अपने कागज "में छोटे ऑटोमेटा के साथ अलग तार " 1989 में एक ऊपरी बाध्य साबित कर दिया । सबसे अच्छा में लोअर बाउंड जाना जाता Ω ( लॉग इन करें n ) ।$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

एक सर्वेक्षण के लिए इसे देखें ।

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Loughborough विश्वविद्यालय में BCTCS 2014 में मेरी हालिया बातचीत में, मैं इस समस्या पर किसी भी प्रगति के लिए 100 GBP की पेशकश करता हूं। ओह, और वहाँ अन्य खुली समस्याएं भी सूचीबद्ध हैं! Cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/bc4.pdf देखें ।

— जेफरी श्लिट

मैं इसे स्वीकार करूंगा क्योंकि यह पहला था, लेकिन वे सभी महान जवाब हैं। सभी को धन्यवाद और उन्हें आते रहो!

— कनाडाई हंस

अब विकिपीडिया में en.wikipedia.org/wiki/Separating_words_problem के

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 2

यहाँ डीएफए के बारे में एक बहुत ही सरल निर्णय समस्या है। डीएफए एम को देखते हुए, क्या एम कम से कम एक अभाज्य संख्या के आधार -2 प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है?

वर्तमान में, हम यह भी नहीं जानते कि क्या यह समस्या पुनरावर्ती रूप से हल करने योग्य है।

यदि यह पुनरावृत्ति करने योग्य है, और हमारे पास इसके लिए एक एल्गोरिथ्म था, तो हम लंबे समय से खुली समस्या का समाधान कर सकते हैं कि क्या कोई फ़र्मैट प्राइम्स हैं (फॉर्म नियम) सबसे बड़े ज्ञात 65537 (क्योंकि) से बड़ा है फॉर्म 1 0 + 1 के आधार -2 प्रतिनिधित्व के साथ कोई भी प्रधानमंत्री एक फर्मेट प्राइम होना चाहिए।$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

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संख्या सिद्धांत में कई अन्य अनुमान हैं जो पीरियड्स से संबंधित हैं जैसे कि एर्डोस विसंगति की समस्या और कुछ को डीएफए योगों में

— बाँधना

क्या मैं इसे सही ढंग से समझता हूं कि अगर हमारे पास इस समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो यह Sierpinski की समस्या और Riesel समस्या को भी हल करेगा? ( en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_number , en.wikipedia.org/wiki/Riesel_number )

— sdcvvc

हाँ, sdcvvc, यह मामला है।

— जेफरी शालिट

Answer 3

Importanterný अनुमान अभी भी खुला और महत्वपूर्ण है। यह डीएफए के बारे में है जिसमें एक सिंक्रनाइजिंग शब्द है (संपत्ति के साथ एक शब्द जो विभिन्न राज्यों में शुरू हुई ऑटोमेटन की दो प्रतियां हमेशा एक ही राज्य में होती हैं, दोनों शब्द प्रसंस्करण के बाद एक दूसरे के समान हैं) और पूछते हैं कि क्या ( -स्टेट के लिए) ऑटोमेटा) ऐसे शब्द की लंबाई सबसे कम होती है ( n - 1 ) 2 । सबसे अच्छा साबित सीमा रूप ओ ( एन 3 ) के हैं ।$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

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क्षमा करें, अबूज़र यकरिल्मज़ ने उत्तर के रूप में इसे पोस्ट करने से पहले आपकी टिप्पणी पर ध्यान नहीं दिया। लेकिन मेरा मानना ​​है कि यह एक जवाब होने के योग्य है और सिर्फ एक टिप्पणी नहीं ...

— डेविड एप्पस्टीन

कोई समस्या नहीं है :) मुझे लगता है कि मैंने जो दूसरी खुली समस्या जुड़ी थी, वह भी काफी दिलचस्प है।

— अबुजर यकारिलमेज़

मुझे पता है कि यह एक प्रसिद्ध प्रश्न है, लेकिन क्या एक त्वरित व्याख्या है कि यह एक महत्वपूर्ण क्यों है? हम क्या सीख होता अगर वास्तव में बंधे हुए है के बजाय एन 3 / 6 ? $(n-1)^2$$n^3/6$

— साशो निकोलेव

@SashoNikolov कम से कम कार्यों का उपयोग करके, इसे (उदाहरण के लिए एक उपग्रह) का निरीक्षण किए बिना किसी ज्ञात स्थिति में एक सिस्टम को रीसेट करने में सक्षम होना व्यावहारिक हित का हो सकता है।

— डेनिस

हां, मैंने पहली बार इस समस्या को नटराजन के काम के माध्यम से असेंबली लाइनों के घटकों को डिजाइन करने पर सीखा है जो यांत्रिक रूप से उन भागों को कुछ ज्यामितीय झुकावों में होने के लिए मजबूर करते हैं। कम रीसेट दृश्यों (एक स्वचालित पुनर्संयोजन चरणों का प्रतिनिधित्व करने वाले एक automaton में) = छोटे विधानसभा लाइनों।

— डेविड एपपस्टीन

Answer 4

मैं एक अन्य शोध समस्या की ओर संकेत करना चाहता हूं, जो डीएफए के बारे में बहुत बुनियादी अवधारणाओं के परस्पर संबंध की चिंता करता है।

यह सर्वविदित है कि किसी भी एन-राज्य एनएफए को अधिकांश राज्यों में होने वाले समकक्ष डीएफए में परिवर्तित किया जा सकता है। यह सबसे खराब स्थिति में सबसे अच्छा संभव है, इस अर्थ में कि nondeterministic राज्य जटिलता n की नियमित भाषाएं हैं (यानी, न्यूनतम एनएफए में राज्यों की संख्या), लेकिन नियतात्मक राज्य जटिलता 2 एन । भाषा परिवारों के उदाहरण भी हैं, जहां नॉनडेटर्मिनिज़्म एक द्विघात कारक को बचा सकता है, और ऐसे मामलों में जहां नॉनडेटर्मिनिज़्म किसी भी राज्य को बचाने में मदद नहीं करता है। इस प्रकार एक प्राकृतिक प्रश्न निम्नलिखित है:$2^n$$2^n$

मैजिक नंबर की समस्या

क्या n और 2 n के बीच प्रत्येक लिए , एक नियमित भाषा L n ऐसी है कि nondeterministic राज्य जटिलता और निर्धारक राज्य जटिलता के बीच की खाई बिल्कुल α है ?$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

यदि हम गणितीय दृष्टिकोण से पावरसेट निर्माण और माइहिल-नेरोड संबंध को पूरी तरह से समझते हैं, तो मैं उम्मीद करूँगा कि प्रत्येक लिए ऐसी भाषाओं का निर्माण करने में सक्षम है , या वैकल्पिक रूप से α के मूल्यों को निर्दिष्ट करने के लिए जिसके लिए यह असंभव है (यदि है) ऐसे मूल्य मौजूद हैं, इन्हें "मैजिक नंबर" कहा जाता है)।$\alpha$$\alpha$

यह ज्ञात है कि इनपुट वर्णमाला आकार लिए जादू संख्याएं हैं , और 2009 के बाद से, कि वर्णमाला का आकार कम से कम 3 है तो कोई जादू संख्या नहीं है । लेकिन अगर मैं गलत नहीं हूं, तो द्विआधारी अक्षर का मामला अभी भी खुला है।$1$$3$

गेलिना जिरसकोवा। मैजिक नंबर और टर्नरी वर्णमाला। भाषा सिद्धांत (DLT 2009) में विकास पर 13 वां अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन, कंप्यूटर विज्ञान में व्याख्यान नोट्स की मात्रा 5583, पृष्ठ 300311।

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यह एक बड़ी समस्या है! लेकिन जिसने भी "जादू नंबर" शब्द का आविष्कार किया है उसे गोली मार दी जानी चाहिए।

— जेफरी शालित

Answer 5

शीर्षक: दो डीएफए के लिए अंतर-शून्यता

विवरण: दो डीएफए के और डी 2 को देखते हुए , क्या एक स्ट्रिंग एक्स मौजूद है जैसे कि डी 1 और डी 2 दोनों एक्स स्वीकार करते हैं ?$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

ओपन प्रॉब्लम: क्या हम दो डीएफए के समय के लिए अंतर-शून्यता को हल कर सकते हैं ?$o(n^2)$

हम में इस समस्या को हल कर सकता है समय जहां δ <2, तो मजबूत घातीय समय परिकल्पना खंडन किया जाएगा।$O(n^{\delta})$$\delta$

व्याख्या: उप-क्रमबद्ध समय में नियमित भाषाओं के प्रतिच्छेदन का निर्णय लेना

आपको यह मददगार लग सकता है: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

आपका दिन अच्छा रहे! :)

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हाय MW खुशी है कि आप इस सवाल पर गौर किया। हाल ही में आपको इस अन्य प्रश्न पर उद्धृत किया गया है जो P / L को अलग कर रहा है । जैसा कि आपने हाल ही में साबित किया है, उपरोक्त प्रश्न (कई डीएफए के चौराहे गैर-शून्यता को हल करने की जटिलता पर ऊपरी सीमा) बारीकी से पी / एनएल को अलग करने () की प्रमुख खुली समस्या से संबंधित है।

— vzn

आपका बहुत बहुत धन्यवाद! आप कौन हैं vzn? मैं आपके ब्लॉग पर गया और चारों ओर देखा, लेकिन यह पता नहीं लगा सका।

— माइकल वीहर

नोट: छोटी से छोटी स्ट्रिंग द्वारा स्वीकार और डी 2 लंबाई है Ω ( एन 2 ) सबसे खराब स्थिति में। $D_1$$D_2$$\Omega(n^2)$

— माइकल वीहर

Answer 6

यहां डीएफए और मशीन लर्निंग सिद्धांत से संबंधित एक खुली समस्या है: समान रूप से यादृच्छिक (यादृच्छिक बदलाव और स्वीकार / अस्वीकार व्यवहार) डीएफए पीएसी मॉडल में सीखने योग्य है?

नोट: हमें लगता है कि मनमाने ढंग से डीएफए क्रिप्टोग्राफिक कठोरता परिणामों के सीखने योग्य बी / सी नहीं हैं । यादृच्छिक DFA के लिए, हमारे पास केवल SQ कम सीमाएँ हैं , जो उतनी मजबूत नहीं हैं।

Answer 7

न्यूनतम कवर ऑटोमेटा संबंधित सामानों में से एक है। एक परिमित भाषा को देखते हुए , हम के लिए एक न्यूनतम DFA प्राप्त कर सकते हैं एल । लेकिन अगर हम डीएफए की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं तो हम छोटे को पा सकते हैं। हम जानते हैं कि परिमित भाषा L में सबसे लंबे शब्द की लंबाई l है । डीएफसीए को डीएफए के रूप में परिभाषित करें जो केवल एल में शब्दों को स्वीकार करता है या संभवतः ऐसे शब्द हैं जो एल से अधिक लंबे हैं । तब इस DFCA में L के लिए DFA से छोटा आकार हो सकता है । व्यवहार में किसी शब्द की लंबाई की जाँच करना कोई मायने नहीं रखता। यदि हमारे पास एक छोटा DFCA है जो मूल स्वीकार करता है तो हम शब्दों को l से बड़े लंबाई के साथ अस्वीकार कर सकते हैं । इस वर्ग पर कुछ शोध हुए हैं (2001 में शुरू किए गए), और उदाहरण के लिए एक है$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$न्यूनतम डीएफसीए खोजने के लिए ओ ( एन 2 ) एल्गोरिदम। एक इष्टतम चल रहा समय एल्गोरिथ्म अभी तक ज्ञात नहीं है। इसके अलावा DFA के अन्य पहलू भी हैं जिन पर हम DFCA के बारे में विचार कर सकते हैं।$O(n^2)$

Answer 8

कितनी नियमित भाषाएं हैं जिनके न्यूनतम डीएफए में बिल्कुल राज्य हैं?$n$

यह मुझे लगता है कि एक बंद-फार्मूला मौजूद होना चाहिए, लेकिन कोई भी ज्ञात नहीं है। कुछ विषम सीमाएँ ज्ञात हैं:

$n$

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यह वास्ताव में अच्छा है। मैं दूसरे दिन बस इस बारे में सोच रहा था और मुझे नहीं पता था कि दूसरों ने इस पर काम किया है। साझा करने के लिए धन्यवाद। :)

— माइकल वीहर

आप क्यों मानते हैं कि एक बंद सूत्र है? मुझे लगता है कि यह बहुत संभावना नहीं है।

— डोमटॉर्प

उस समस्या के बारे में जाने जाने के लिए यह प्रश्न भी देखें: आकार n के DFA द्वारा स्वीकार की जाने वाली भाषाओं की संख्या क्या है

— हरमन ग्रबेर

Answer 9

यहाँ एक DFA से संबंधित प्रश्न है जो मैं यहाँ पहले कर रहा हूँ, और यह अभी भी खुला है जहाँ तक मैं जानता हूँ:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

इस सवाल के मशीन लर्निंग के निहितार्थ हैं ।

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समस्या की जटिलता की वर्तमान स्थिति क्या है?

— रयान

जेरेमिया ब्लॉकी के कुछ आंशिक परिणाम थे; जहाँ तक मुझे पता है यह ज्ञान की स्थिति है: cs.cmu.edu/~jblocki/Slides/ComputationalComplexityofKn.pdf

— आर्येह

Answer 10

("बॉक्स के बाहर सोच रहा है ...) यह डीएफए से जुड़ी कुछ हद तक वंचित समस्या है (इसे कहीं और नहीं देखा है) लेकिन टीसीएस में एक विषय को प्रकट करता है कि यहां तक ​​कि कई" सरल "कम्प्यूटेशनल ऑब्जेक्ट्स (जैसे डीएफए) जटिल गुण हो सकते हैं। , राइस प्रमेय में सन्निहित एक पहलू / विषय भी। (कुछ मायनों में परम "जटिलता" "अनिश्चयता" उर्फ ​​ट्यूरिंग पूर्णता है।)

डीएफए के एक परिवार और एक "प्रतिपादक" ऑपरेटर "।" पर विचार करें। यह ऑपरेटर एक नियमित अभिव्यक्ति (RE) "x and n" लेता है और इसे दोहराता है$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$, एक आरएल (और एक डीएफए) भी है।

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

अब, इस प्रश्न के साथ इसे और अधिक टाई करने के लिए, जबकि यह व्यापक रूप से नोट नहीं किया गया है (कुछ द्वारा तुच्छ माना जाता है), टीसीएस / गणित में कई खुली समस्याएं कसौटी के साथ जुड़ी हुई हैं, जो कि हॉल्टिंग समस्या के लिए एक ओरेकल दिया गया है, वे "हो सकते हैं" हल किया"।

इसलिए, एक अर्थ में, डीएफए के बारे में इस बुनियादी समस्या का उपयोग करते हुए यह सब एक साथ बांधना, जो कि अनिर्णायक है, डीएफए के बारे में हमेशा खुली समस्याएं होंगी, क्योंकि डीएफए के बारे में हमेशा "खुली" समस्याएं होंगी (जैसे कि यह एक अनिर्णायक समस्याओं के बराबर है) । वास्तव में रिवर्स प्रमेय का उपयोग करते हुए यह निर्माण कुछ मायनों में होता है, मूल रूप से टीसीएस में किसी भी अपेक्षाकृत "सरल" अभी तक के गैर-कम्प्यूटेशनल संपत्ति का उपयोग अनिर्णायक समस्याओं के निर्माण के लिए किया जा सकता है।

[१] शब्द समस्याओं के लिए समय की आवश्यकता होती है / स्टॉकमेयेर और मेयर

[२] मेयर, एआर और एल। स्टॉकमेयेर। स्क्वेरिंग के साथ नियमित अभिव्यक्तियों के लिए समतुल्य समस्या के लिए घातीय स्थान की आवश्यकता होती है। स्विचिंग और ऑटोमेटा थ्योरी पर 13 वें IEEE संगोष्ठी, अक्टूबर 1972, पीपी .25–129।

[३] भाषा, ऑटोमेटा और अभिकलन / हॉपक्रॉफ्ट / उलेमन का परिचय ।

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मुझे लगता है कि आप "अनिर्णायक" और "खुले" अवधारणाओं को भ्रमित कर रहे हैं।

— लेव Reyzin

जैसा कि माना जाता है कि यह कम से कम कहने के लिए एक असामान्य और / या अपरंपरागत दृष्टिकोण है, लेकिन केवल वही नहीं है जिसने इसकी जासूसी की है। इस पेपर में मिशेल द्वारा यह उद्धरण देखें व्यस्त बीवर प्रतियोगिता से संख्या सिद्धांत में समस्याएं । इसी तरह की भावनाओं ने प्रश्न पर खुले प्रसिद्ध संख्या सिद्धांत सिद्धांत व्यक्त किए हैं जो एक साधारण समस्या है जिसकी अनिश्चिता अज्ञात है । यह भी देखें कि स्वचालित सिद्धांत बनाम अनिर्णय साबित हो रहा है

— vzn

आपकी "असंदिग्ध" समस्या का कोई इनपुट नहीं है, इसलिए यह अयोग्य नहीं हो सकता। एक ट्यूरिंग मशीन है जो खाली स्ट्रिंग को स्वीकार करती है यदि $DFA_n \ne \Sigma^*$$n$$\{1^n \mid DFA_n \ne \Sigma^*\}$

$DFA'$