सरलता का प्रमाण proof (n lg n) अद्वितीयता / विशिष्टता के लिए सबसे खराब स्थिति है?

Question

तत्व विशिष्टता / विशिष्टता की समस्या (बीजगणितीय गणना के पेड़ों या प्रतिकूल तर्कों के आधार पर) के लिए लॉगलाइनियर लोअर बाउंड के लिए कई सबूत हैं, लेकिन मैं एक ऐसा खोज रहा हूं जो एल्गोरिथ्म विश्लेषण और डिजाइन में पहले कोर्स में उपयोग करने के लिए पर्याप्त सरल है। छँटाई के लिए निचली सीमा के समान "कठिनाई का स्तर" ठीक होगा। इसके अलावा, कोई भी दृष्टिकोण (जैसे, संयोजन या सूचना सिद्धांत पर आधारित) ठीक होगा। कोई सुझाव?

Comments

आपके दिमाग में कम्प्यूटेशन का कौन सा मॉडल है? यदि आइटम छोटे पूर्णांक हैं तो एक को छाँटकर कर सकते हैं। आइटम केवल असमानता के लिए तुलना की जा सकती अगर वहाँ एक हो रहा है Ω ( एन 2 ) के लिए बाध्य कम है। क्या यह उस उत्तर से अनुमान लगाने के लिए सही है जिसे आप देख रहे हैं कि आइटम रैखिक रूप से ऑर्डर किए गए हैं और उनकी तुलना <, =>> के लिए की जा सकती है, लेकिन कोई अन्य ऑपरेशन नहीं? $o(n \log n)$$\Omega(n^2)$

— वारेन शूडी

उनकी टिप्पणी में वारेन का सवाल एक अच्छा फोन है। इससे संबंधित, डेविड एप्पस्टीन द्वारा एक अन्य प्रश्न पर टिप्पणी व्यावहारिक है, जहां वह कम्प्यूटेशनल मॉडल को निर्दिष्ट करने के महत्व पर जोर देता है जब हम इस तरह के निचले सीमा के बारे में बात करते हैं। वैसे, मुझे यकीन नहीं है कि यह "बीजीय संगणना पेड़ों" (गणना का एक मॉडल) और "प्रतिकूल तर्क" (एक प्रमाण विधि) को एक साथ सूचीबद्ध करने के लिए समझ में आता है।

— त्सुयोशी इटो

बहुत अच्छे अंक। मेरा आवेदन यहाँ कमी द्वारा कठोरता प्रमाणों के बारे में बता रहा है - उदाहरण के लिए विशिष्टता से छँटाई (और कई अन्य समस्याओं) को कम करके। इसलिए, मैं समान बुनियादी कार्यों को मान रहा हूं जब तुलना छँटाई के साथ काम करना (ताकि कमी काम करे)। (या, मुझे लगता है, वास्तविक संख्याओं के साथ रैम के बराबर कुछ भी।)

— मैग्नस लाइ हेटलैंड

Answer 1

भिन्नता का कोई भी प्रमाण (प्रमाण) जो केवल <, = और> का उपयोग करता है, क्रमबद्ध क्रम में आसन्न तत्वों के प्रत्येक जोड़े के बीच तुलना को शामिल करना चाहिए। इसलिए विशिष्टता का कोई भी प्रमाण पत्र क्रमबद्ध करने के लिए पर्याप्त जानकारी देता है और इसलिए छंटाई के लिए मानक सूचना-सिद्धांतात्मक सीमा किसी भी नियतात्मक विशिष्टता एल्गोरिथ्म पर भी लागू होती है।

Comments

यह तर्क पेड़ों की तुलना करने के लिए काम करता है, लेकिन अधिक सामान्य निर्णय वृक्ष मॉडल के लिए (सीधे) नहीं।

— जेफ

जेफ: मैं सहमत हूं। मुझे संदेह है कि मैग्नस के उद्देश्यों के लिए एक सरल पर्याप्त प्रमाण है जो अधिक सामान्य मॉडल में काम करता है।

— वारेन शूडी

सही। तुलनात्मक पेड़ मेरे आवेदन के लिए ठीक है - इसलिए मुझे लगता है कि मैं जो देख रहा हूं, वह बहुत करीब है। मेरा आवेदन हार्डिंग प्रूफ़ के विचार को समझा रहा था, जिसमें छँटाई को कम करना भी शामिल था, इसलिए यह तथ्य कि यहाँ छँटाई के साक्ष्य का उपयोग पूरी तरह से शॉर्ट-सर्किट के रूप में किया जाता है। मुझे लगता है कि मुझे स्पष्ट रूप से कहा जाना चाहिए था कि :-)

— मैग्नस ले हेटलैंड

Answer 2

मुझे यकीन नहीं है कि अगर मैं प्रश्न को सही ढंग से समझता हूं, लेकिन डोबकिन और लिप्टन [DL79] द्वारा प्रमाण कि n संख्याओं पर विशिष्टता की समस्या के लिए on ( n लॉग एन ) की आवश्यकता होती है, रैखिक निर्णय ट्री मॉडल में तुलना मजबूत परिणाम की तुलना में बहुत आसान है। बेन-या [बेन83] द्वारा बीजगणितीय संगणना ट्री मॉडल (आश्चर्यजनक रूप से नहीं)।

संदर्भ

[बेन Ben३] माइकल बेन-या। बीजीय संगणना पेड़ों के लिए निचली सीमा। में कम्प्यूटिंग (STOC 1983) के सिद्धांत पर पंद्रहवीं वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही , पीपी। 80-86 अप्रैल 1983 http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] डेविड पी। डोबकिन और रिचर्ड जे। लिप्टन। आदिमों के अलग-अलग सेटों के तहत संगणना की जटिलता पर। कंप्यूटर और सिस्टम विज्ञान के जर्नल , 18 (1): 86-91, फरवरी 1979। http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

Comments

संक्षेप में: सभी संभावित सूचनाओं के स्थान R ^ n पर विचार करें। सकारात्मक इनपुट के सेट में n है! जुड़े घटकों, प्रत्येक क्रमपरिवर्तन के लिए एक। दूसरी ओर, सबसेट इनपुट जो किसी रैखिक निर्णय पेड़ में किसी भी पत्ती तक पहुंच सकता है, उत्तल है, और इसलिए जुड़ा हुआ है। इस प्रकार, किसी भी रैखिक निर्णय पेड़ जो विशिष्टता को निर्धारित करता है कम से कम n है! पत्ते।

— जेफ

पूर्णांक इनपुट के विशेष मामले के लिए एक अधिक सूक्ष्म तर्क की आवश्यकता होती है। लुबिव और रैक्स देखें, "पूर्णांक तत्व विशिष्टता समस्या के लिए एक निचली सीमा", सूचना और गणना 1991; याओओ, "पूर्णांक इनपुट के साथ बीजीय संगणना पेड़ों के लिए निचली सीमाएं", FOCS 1989.

— जेफ

@ जेफ: आपकी संक्षिप्त व्याख्या अद्भुत है। दिलचस्प परिणामों के लिए सूचक के लिए धन्यवाद। यह मेरे लिए कभी नहीं हुआ कि बेन-या द्वारा निचली सीमा उस मामले पर तुरंत लागू नहीं होती है जहां इनपुट पूर्णांक तक सीमित है!

— ०४ पर त्सुयोशी इतो

जेफ: ये एक जवाब में होना चाहिए!

— सुरेश वेंकट

त्सुकोशी इतो और जेफ़ई दोनों के लिए धन्यवाद। मैंने R ^ n स्पेस प्रूफ पहले देखा है (एक सेटिंग में प्रतिकूल तर्कों का उपयोग करके)। मुझे लगा कि जब मैंने पहली बार इसे पढ़ा था तो मेरे लक्षित दर्शकों के लिए यह बहुत जटिल था, लेकिन मुझे लगता है कि यह वास्तव में नहीं है। धन्यवाद। (मैंने पूर्णांक मामले पर पेपर भी देखा है - मुझे लगता है कि मैं अपने व्याख्यान में नहीं जाऊंगा ... :)

— मैग्नस ले हेटलैंड