गाऊसी जटिलता पर निचले सीमा

Question

मैट्रिक्स को ऊपरी-त्रिकोणीय रूप में लाने के लिए आवश्यक प्राथमिक पंक्ति और स्तंभ संचालन की न्यूनतम संख्या होने के लिए n × n मैट्रिक्स की गाऊसी जटिलता को परिभाषित करें । यह 0 और n 2 (गॉसियन एलिमिनेशन के माध्यम से) के बीच की मात्रा है । धारणा किसी भी क्षेत्र पर समझ में आता है।$n \times n$$0$$n^2$

यह समस्या निश्चित रूप से बहुत बुनियादी है और इसका अध्ययन किया गया है। हैरानी की बात है, मैं किसी भी संदर्भ का पता नहीं है। इसलिए, मैं किसी भी संदर्भ के साथ खुश रहूंगा। लेकिन, ज़ाहिर है, मुख्य सवाल यह है:

क्या कोई गैर-तुच्छ स्पष्ट निचले सीमा ज्ञात हैं?

Nontrivial से मेरा मतलब है सुपरलाइनर। बस स्पष्ट होने के लिए: परिमित क्षेत्रों में एक गिनती तर्क से पता चलता है कि एक यादृच्छिक मैट्रिक्स में जटिलता क्रम n ^ 2 है (एक समान दावा अनंत क्षेत्रों पर सच होना चाहिए)। इसलिए, हम जो देख रहे हैं , वह मैट्रिसेस का एक स्पष्ट परिवार है, उदाहरण के लिए, हैमरर्ड मैट्रिसेस। यह बूलियन सर्किट जटिलता के समान है, जहां हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक फ़ंक्शन में उच्च जटिलता है, लेकिन हम इस संपत्ति के साथ स्पष्ट कार्यों की तलाश कर रहे हैं।

Comments

मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं है कि यहाँ क्या सवाल है। क्या आप मैट्रिस के विशिष्ट रूपों के बारे में पूछ रहे हैं, या सामान्य मामला (जिस मामले में एक साधारण गिनती तर्क काम करने लगता है)?

— जो फिट्जिमंस

@ जो, जैसा कि उल्लेख किया गया है, मैं मैट्रिसेस के एक स्पष्ट परिवार के लिए पूछ रहा हूं , उदाहरण के लिए, हैडमर्ड मैट्रिस। हमेशा की तरह, यादृच्छिक मैट्रिस धोखा दे रहे हैं। यह उसी तरह से है जैसे हम इस तथ्य से खुश नहीं हैं कि एक यादृच्छिक फ़ंक्शन को बड़े सर्किट की आवश्यकता होती है। मैंने इस बिंदु पर जोर देने के लिए एक पैराग्राफ जोड़ा।

— मोरिट्ज़

हो सकता है कि इसे उत्तर के रूप में लिखा जाना चाहिए :)

— सुरेश वेंकट

ठीक है, ऐसा करेंगे।

— जो फिट्ज़सिमों

वास्तव में, मेरा मानना ​​है कि मेरी पद्धति त्रुटिपूर्ण रही होगी।

— जो फिट्जसिमों

Answer 1

यह एक बहुत ही कठिन समस्या प्रतीत होती है, एक अधिक व्यापक रूप से अध्ययन से संबंधित है।

मान लीजिए कि हम एक वर्गाकार इन्वर्टिबल मैट्रिक्स ए पर विचार करते हैं, और सी (ए) को परिभाषित करते हैं, तो पहचान मैट्रिक्स को ए कम करने के लिए आवश्यक प्रारंभिक पंक्ति संचालन की संख्या। यह जटिलता माप एक मोरिट्ज के सुझाव से बड़ा है, इसलिए इसके लिए सुपरलाइनियर सीमा को साबित करना केवल आसान हो सकता है।

अब, पंक्ति संचालन प्रतिवर्ती है । यह निम्नानुसार है कि सी (ए) को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि पहचान मैट्रिक्स से शुरू होकर, ए का उत्पादन करने के लिए आवश्यक पंक्ति संचालन की न्यूनतम संख्या ।

ध्यान दें कि इस तरह के फैशन में ए का निर्माण एक्स से एक्स के लिए मानचित्र की गणना करने के लिए एक अंकगणित सर्किट को जन्म देता है। प्रत्येक गेट का फैन 2 है, और गैर-इनपुट फाटकों की संख्या पंक्ति संचालन की संख्या से मेल खाती है।

रिवर्स दिशा (सर्किट से पंक्ति-ऑप दृश्यों तक) में कोई स्पष्ट कमी नहीं है। फिर भी, हम प्रतिबंधित सर्किट मॉडल में अक्ष के अंकगणितीय सर्किट जटिलता के संदर्भ में सी (ए) को चिह्नित कर सकते हैं: मेरा दावा है कि सी (ए) ए के लिए अंकगणितीय सर्किट में किनारों की न्यूनतम संख्या के आधे के बराबर है, सबसे अधिक 2 और चौड़ाई n पर फैनिन , जहां हम फैनिन के फाटकों में अग्रणी किनारों के लिए शुल्क नहीं लेते हैं। (मैं यहां सर्किट चौड़ाई की सामान्य धारणा का उपयोग कर रहा हूं।) इससे पहले स्केच किए गए सरल विचार का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

अब यहां अच्छी तरह से अध्ययन की गई समस्याओं का कनेक्शन है: 30 साल से अधिक समय से एक स्पष्ट रेखीय मानचित्र एक्स (किसी भी परिमित क्षेत्र पर) प्रदर्शित करने के लिए यह एक प्रसिद्ध खुली समस्या है, जिसे एक फैनिन -2 सर्किट में फाटकों की एक शानदार संख्या की आवश्यकता होती है। क्लासिक संदर्भ वैलेन्ट है, "निम्न-स्तरीय जटिलता में ग्राफ-थ्योरिटिक तर्क" और लोकम द्वारा हाल ही में किए गए एफटीटीसीएस सर्वेक्षण भी मददगार हैं।

सी (ए) का अध्ययन करने में, हम एक अतिरिक्त चौड़ाई प्रतिबंध लगा रहे हैं, लेकिन चूंकि हमारा प्रतिबंध इतना कमजोर है (चौड़ाई एन) मैं समस्या के आसान होने की आशा नहीं करता हूं। लेकिन हे - मुझे गलत साबित होना अच्छा लगेगा।

Comments

इसके अलावा, उनके ब्लॉग पर गोवर्स में गॉसियन उन्मूलन की जटिलता से संबंधित एक चर्चा थी। मैंने इसे ध्यान से नहीं पढ़ा है (यह एक लंबे संवाद के रूप में है), लेकिन यह मददगार हो सकता है: gowers.wordpress.com/2009/11/03/…

— एंडी ड्रकर

बस इसे सही ढंग से समझने के लिए, चौड़ाई प्रतिबंध इसलिए आता है क्योंकि आपके पास प्रति कॉलम अधिकांश एन ऑपरेशन हैं, और आप कॉलम द्वारा कॉलम आगे बढ़ा सकते हैं?

— मोरिट्ज़

मैं पंक्ति संचालन के संदर्भ में सोच रहा हूं। चौड़ाई n प्रतिबंध इस तथ्य से मेल खाता है कि हमारे पास काम करने के लिए n पंक्तियाँ हैं जिनमें हमारे सभी मध्यवर्ती काम होंगे। N सर्किट डी गेट्स एट टी ऑपरेशन के अनुप्रयोगों के बाद n पंक्तियों की अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करता है। (शायद तुम मेरे जैसी ही बात कह रहे हो)

— एंडी ड्रकर

यदि हम इसके बजाय अपने गौसियन उन्मूलन में अतिरिक्त 'सहायक कार्यक्षेत्र' पंक्तियों की अनुमति देते हैं, तो मेरा मानना ​​है कि हम पहचान को कम करने की जटिलता के बीच एक सटीक पत्राचार करेंगे, और अक्ष के रैखिक अंकगणितीय सर्किट जटिलता (जो मूल रूप से अंकगणितीय ckt जटिलता है, गुणन एक स्थिर कारक से परे रैखिक कार्यों की गणना करने में मदद नहीं करता है)।

— एंडी ड्रकर

हां, मेरा यही मतलब है। मैं दूसरे कथन से भी सहमत हूं। एक सामान्य रेखीय सर्किट जब भी :-) चाहता है तो नई पंक्तियों को बनाने की कोशिश कर सकता है :-)

— Moritz

Answer 2

संदर्भ हैं, और वे काफी पुराने हैं। मैं बूलियन मैट्रिक्स गुणन के लिए दहनशील एल्गोरिदम पर काम करते समय उनके सामने आया।

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

जेडब्ल्यू मून और एल। मोजर। एक मैट्रिक्स न्यूनीकरण समस्या। गणना 20 का गणित (94): 328– 330, 1966।

लेख JSTOR पर सुलभ होना चाहिए।

मुझे पूरा यकीन है कि निचली बाउंड सिर्फ एक गिनती का तर्क है, और निचले बाउंड को प्राप्त करने वाले कोई स्पष्ट मैट्रिस नहीं दिए गए थे।