क्या ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म को स्क्वायर रूट बाउंडेड नॉनडेटर्मिनिज़्म के साथ तय किया जा सकता है?

Question

बंधे हुए nondeterminism एक फ़ंक्शन $g(n)$ को एक नई श्रेणी - बनाने के लिए संसाधन-बाध्यता नियतात्मक ट्यूरिंग मशीनों द्वारा स्वीकृत भाषाओं के एक वर्ग $C$ के साथ जोड़ते हैं । इस वर्ग में वे भाषाएँ शामिल हैं जिन्हें कुछ nondeterministic Turing machine द्वारा स्वीकार किया जाता , जो को परिभाषित करने के लिए उसी संसाधन सीमा का पालन करती हैं , लेकिन जहाँ M को अधिकांश g (n) nondeterministic मूव्स पर बनाने की अनुमति है। (मैं Kintala और फिशर द्वारा मूल के बजाय गोल्डस्मिथ, लेवी और मुंडनक की धारणा का उपयोग कर रहा हूं, और n इनपुट का आकार है।)$g$$C$$M$$C$$M$$g(n)$$n$

मेरा प्रश्न:

क्या कोई निरंतर ऐसा है जो GRAPH ISOMORPHISM - ?$c\ge0$$c\sqrt{n}$$\mathsf{PTIME}$

( संपादित करें: यहोशू ग्रूचो ने कहा कि इस प्रश्न का एक सकारात्मक उत्तर जीआई के लिए एक एल्गोरिथ्म का अर्थ होगा जो वर्तमान में ज्ञात की तुलना में बेहतर स्पर्शोन्मुख रनटाइम सीमा है। मैं इसलिए अनुमति देता है, इस सीमा को आराम करने में खुशी होगी। nondeterministic चलता है।)$o(\sqrt{n}\log n)$

---

पृष्ठभूमि

प्रत्येक निश्चित स्थिर , - , के रूप में nondeterministic मूव्स निर्धारक रूप से पता लगाने के लिए बहुपदों की बहुपद संख्या में बनाते हैं। इसके अलावा , और पैडिंग के माध्यम से संपूर्ण भाषाओं को प्रदर्शित कर सकते हैं - प्रत्येक ।$c \ge 0$$\mathsf{PTIME} = {c\log n}$$\mathsf{PTIME}$$c\log n$$\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$$n^\varepsilon$$\mathsf{P}$$\varepsilon > 0$

किंताला और फिशर ने देखा कि यह निर्णय लेना कि यदि वर्टिकल साथ इनपुट ग्राफ में a -clique -complete है , लेकिन - । इसे देखने के लिए, उन वर्टीकल को छोड़ दें, जो सबसे अधिक हैं पड़ोसी। यदि बहुत कम शेष हैं, तो अस्वीकार करें। अन्यथा शेष कोने आकार का एक ग्राफ बनाते हैं । फिर अंदाज़ा लगाएं -subset of vertices using nondeterministic चरण और सत्यापित करें कि वे बहुपद समय में एक प्रतिरूप बनाते हैं।$V$$(|V|/3)$$\mathsf{NP}$$O(\sqrt{n})$$\mathsf{PTIME}$$|V|/3 - 2$$\Omega(|V|^2)$$|V|/3$$|V| = O(\sqrt{n})$

कुछ अन्य भाषाओं में घने रेखांकन के हैं भी - । यह किसी भी समस्या के लिए मामला है, जहां कोने का एक सबसेट प्रमाण पत्र के रूप में कार्य करता है, और इनपुट ग्राफ का आकार । उदाहरण घने रेखांकन के मामले के लिए प्रेरित पथ या 3-रंग के वादे संस्करण हैं। उदाहरण के लिए, अन्य समस्याओं के लिए बड़े प्रमाणपत्रों की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए हैमिल्टनियन सर्किट को परिभाषित करने वाले शीर्षकों की एक सूची के लिए बिट्स की आवश्यकता होती है। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या कोई ऐसी समस्या के बारे में निर्णय लेने के लिए प्रमाण पत्र का अनुमान लगाने के लिए बहुत छोटी संख्या का उपयोग कर सकता है।$L$$\mathsf{NP}$$O(\sqrt{n})$$\mathsf{PTIME}$$\Omega(|V|^2)$$\Omega(|V| \log |V|)$

यह देखते हुए कि - में एनपी-पूर्ण भाषाएं हो सकती हैं, फिर यह पूछना दिलचस्प लगता है कि पदानुक्रम में संभावित रूप से आसान भाषाएं कहां आती हैं। एक सैनिक उम्मीद कर सकते हैं, एक भाषा है कि एनपी पूरा हो प्रतीत नहीं होता है के रूप में, के करीब पदानुक्रम में होने के लिए - की तुलना में - । हालांकि, जीआई के लिए स्पष्ट प्रमाण पत्र का उपयोग कर मानचित्र निर्दिष्ट करता हैबिट्स, जो ।$n^\varepsilon$$\mathsf{P}$$\log n$$\mathsf{P}$$n$$\mathsf{P}$$|V|\log |V|$$\omega(\sqrt{n})$

इस प्रश्न के बारे में सोचने का एक और तरीका: जीआईआर के लिए सबसे कम संभव प्रमाण पत्र के सेट के बीच एक मानचित्र निर्दिष्ट कर रहा है?

संपादित करें: कुछ और (सही) टिप्पणी जोशुआ ग्रोको की टिप्पणियों को संबोधित करने के लिए अनुसरण करती है।

यदि कोई प्रमाण पत्र बिट्स का उपयोग करता है और बहुपद समय में जांचा जा सकता है, तो brute force GI ले लिए एक एल्गोरिथ्म देता है समय। आकार के प्रमाण पत्र के साथ$f(n) = \Omega(\log n)$$poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$$O(\sqrt{n})$ , क्रूर बल 2 O ( √ का एल्गोरिथ्म देता हैn )समय, आकार का एक प्रमाण पत्र, जबकिहे($2^{O(\sqrt{n})}$n लॉगएन)2 O ( ields) लेने के लिए एक क्रूर बल दृष्टिकोण देता है$O(\sqrt{n}\log n)$n लॉगएन)समय। लंबे समय से ऊपरी Luks की बाध्य है2हे($2^{O(\sqrt{n}\log n)}$n लॉग एन )समय, जो इन दो सीमा के बीच निरंतर घातांक तक है।$2^{O(\sqrt{n\log n})}$

ये विचार बताते हैं कि जीआई के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण हो सकता है। लुक्स का दृष्टिकोण एक संबद्ध समूह के जनरेटर के सबसेट की पहचान करने पर इसके मूल पर भरोसा करता है। एक nondeterministic मशीन इसलिए समूह के सबसेट का अनुमान लगा सकती है। इन सबसेट को फिर से नियतात्मक एल्गोरिथ्म प्राप्त करने के लिए पूरी तरह से जाँच की जा सकती है। यदि तत्वों की सूची को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है, या तो क्योंकि संबद्ध समूह कभी भी ग्राफ के आकार से बहुत बड़ा नहीं है, या क्योंकि आवश्यक जनरेटर की संख्या हमेशा छोटी होती है, और प्रत्येक उम्मीदवार की जांच करने में बहुत लंबा समय नहीं लगता है, फिर यह जीआई के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण प्राप्त कर सकते हैं।

• चंद्रा एमआर किंताला और पैट्रिक सी। फिशर, रिलेटिविंड पॉलीनोमिअल-टाइम बाउंड कम्प्यूटेशन में एनएंडेटर्मिनिज़्म को परिष्कृत करते हुए , एसआईएएम जर्नल ऑन कंप्यूटिंग 9 (1), 46–53, 1980. डोई: 10.1137 / 0209003
• जुडी गोल्डस्मिथ, मैथ्यू ए। लेवी, मार्टिन मुंडनक, लिमिटेड नॉनडेर्मिनिज़्म, सिगच न्यूज़ 27 (2), 20–29, 1996. doi: 10.1145 / 235767.235769
• लेस्ज़लो बाबाई और यूजीन एम। लुक्स , ग्राफिकल की कैन्यिकल लेबलिंग , एसटीओसी 1983, 171–183। doi: 10.1145 / 800061.808746

Comments

इसलिए, यदि ग्राफ़ को आकार n 2 के आसन्न मैट्रिक्स के रूप में दिया गया है, तो इसका मतलब है कि मैं वर्टेक्स सेट आकार n के लिए गैर-नियतात्मक चालें wrt की एक रैखिक संख्या बना सकता हूं ? $n^2$$n$

— जॉन डी।

@user17410: Yes, the representation should not matter too much, as long as the size of any instance is $O(|V|^2)$. (If they are unreasonably padded to have size $\Omega((|V|\log|V|)^2)$ then of course the square root bound is enough.)

— András Salamon

I think you may be asking for an algorithm better than the best known... If I understand, a $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ algorithm would yield a $2^{O(\sqrt{n})}$ deterministic algorithm. The current best known deterministic algorithm takes time $2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$.

— Joshua Grochow

@AndrásSalamon: Brute force = $n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$ NOT $2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$... Also, I don't see why a certificate of size $\sqrt{n}$ leads to a brute force algorithm of time $2^{\sqrt{n} \log n}$ rather than $2^{O(\sqrt{n})}$ - can you elaborate? Maybe I am missing something in the definition of the "PTIME" notation?

— Joshua Grochow

@MohammadAl-Turkistany: Maybe, but I'll have to think about it a bit. There are points in Babai's algorithm where, once the color-degree is below polylog it applies the bounded-deg GI test, as in the previous best algorithm, and it's not clear if one can either make the polylog deg GI test into polylog-bounded nondeterminism, or whether one can continue Babai's recursion further to get the degree down to, say, constant color-degree. If and when I figure that out I'll update my answer - if you have thoughts on this I'm happy to chat, but this is probably not the right place to work through it.

— Joshua Grochow

Answer 1

First, (as has now been edited into the question statement) a positive answer to your question would immediately improve the state of the art in worst-case bounds for graph isomorphism. For a $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ algorithm yields a $2^{O(\sqrt{n})}$-time deterministic algorithm, but the current best known for GI is only $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

Second, it is not even immediately clear to me whether or not the current best algorithm is in fact a $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ algorithm, although the first part of it clearly is, in some sense. The algorithm first guesses a set of vertices of size $\sqrt{n/\log n}$ to individualize (Zemlyachenko's trick - see here for an exposition in English), which can be done by guessing $\sqrt{n \log n}$ bits nondeterministically. However, after guessing those and individualizing (in deterministic poly time), it applies the best-known bounded-degree isomorphism test, which takes time $n^{O(d /\log d)}$ (Theorem 9.1 of this paper), and applies it in the case of $d=O(\sqrt{n \log n})$. I'd have to think carefully about whether the latter algorithm could be turned into a $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ algorithm (seems like an interesting question...)

Comments

Do you have links to versions not behind a paywall? I have never seen an actual implementation of Zemlyachenko's trick or the bounded degree isomorphism test. Partitioning vertices by degree like NAUTY speeds things up, but those with the same degree you still have to check all prime cycle permutations on them AFIK.

— Chad Brewbaker

@Chad: I'm unfortunately not aware of non-paywalled versions of those articles. However, Zemlyachenko's trick is quite simple to implement in practice and essentially reduces the degree. For practical implementation of Zemlyachenko's trick, i think the only question is the trade-off between enumerating sets of vertices to individualize (exponential in the size of the set) and any potential gains made by effectively reducing the degree. I do not know if it is actually implemented in NAUTY or other practical isomorphism algorithms.

— Joshua Grochow

@Chad: By the way, testing prime cycle permutations only suffices for detecting a nontrivial automorphism; it does not suffice for testing isomorphism. For example, if $G$ is a graph without nontrivial automorphisms, let $\pi$ be any permutation - not necessarily a prime cycle. Then $\pi(G)$ is isomorphic to $G$, and $\pi$ is the only isomorphism between $G$ and $\pi(G)$. But this isomorphism would not be detected by only considering prime cycles.

— Joshua Grochow

At the cost of doubling $n$, ISO can be computed with AUT by putting both graphs in an adjacency matrix.

— Chad Brewbaker

@Chad: If you do that, then there are already $n!$ prime-cycle permutations of order 2, so you've lost any potential savings. This is related to the fact that the reduction you describe is from ISO to computing a generating set for the automorphism group. There is no known poly-time reduction from ISO to the problem of merely deciding whether a graph has a nontrivial automorphism.

— Joshua Grochow